2017年正弦定理的證明方法

　　正弦定理是數(shù)學的王冠，關于它的證明方法是怎樣的呢？下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的正弦定理的證明方法內容，希望大家喜歡。

　　正弦定理的證明方法一

　　如圖1,△ABC中,AD平分乙A交BC于D,由三角形內角平分線有AB BDAC一DC由正弦定理有:由(1)(2)(3,得:韶=韶幼朋=Ac:.△ABc為等腰三角形。證明‘三角證法,:BE平分匕B二器二黯…(l)AB AC AB滋nC舀石乙二蕊麗勸元二舀麗””’‘(2)CF平分二C幼器二默…(2);EF//BC

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得證

　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

　　證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便

　　例如，用BC邊和經(jīng)過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：

　　2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)

　　角A=角D

　　得到：2RsinA=BC

　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

　　這樣就得到正弦定理了

　　正弦定理的證明方法二

　　一種是用三角證asinB=bsinA

　　用面積證

　　用幾何法，畫三角形的外接圓

　　聽說能用向量證，咋么證呢?

　　三角形ABC為銳角三角形時，過A作單位向量j垂直于向量AB，則j 與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90-B),j與向量CA夾角為(90+A),設AB=c,BC=a,AC=b,

　　因為AB+BC+CA=0

　　即j*AB+J*BC+J*CA=0

　　|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

　　所以asinB=bsinA

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得證用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得證

　　正弦定理證明具體步驟

　　步驟1.

　　在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

　　CH=a·sinB

　　CH=b·sinA

　　∴a·sinB=b·sinA

　　得到 a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

　　步驟2.

　　證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

　　作直徑BD交⊙O于D.

　　連接DA.

　　因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。

　　余弦定理

　　平面向量證法：

　　∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的`對角線代表兩個鄰邊大小)

　　∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗體字符表示向量)

　　又∵Cos(π-θ)=-CosC

　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

　　再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

　　同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

　　平面幾何證法：

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

　　則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根據(jù)勾股定理可得：

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

　　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

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