- 相關(guān)推薦
數(shù)學(xué)中證明等差數(shù)列的常用方法
等差數(shù)列是數(shù)學(xué)的現(xiàn)象，這類的現(xiàn)象該怎么證明呢?證明的公式是怎樣的'呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的如何證明等差數(shù)列內(nèi)容，希望大家喜歡。
等差數(shù)列證明一
設(shè)等差數(shù)列 an=a1+(n-1)d
最大數(shù)加最小數(shù)除以二即
[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數(shù)為
Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2
得證
1 三個數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差數(shù)列
等差：an-(an-1)=常數(shù) (n≥2)
等比：an/(an-1=常數(shù) (n≥2)
等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)
等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
等差數(shù)列二
我們推測數(shù)列{an}的通項公式為an=5n-4
下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來證明：
1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立
2)假設(shè)當(dāng)n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1時，推測仍成立。
在新的數(shù)列中
An=S[4n-(4n-4)]
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d為原數(shù)列公差)
20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項公式，故它為一等差數(shù)列。
等差數(shù)列求和公式
設(shè)首項為 , 末項為 , 項數(shù)為 , 公差為 , 前 項和為 , 則有:
�、� ;
② ;
�、� ;
④ , 其中 ..
當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，(n，Sn)是二次函數(shù) 的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。
注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推導(dǎo)
證明：由題意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②
�、�+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即A1+An)
【數(shù)學(xué)中證明等差數(shù)列的常用方法】相關(guān)文章：
高一數(shù)學(xué)等差數(shù)列教案范文10-22
小升初數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題常用方法10-12
高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案之《等差數(shù)列》10-09