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最新向量法證明不等式計算方法

　　向量法會怎樣證明不等式呢?這類的不等式有有哪些解答竅門呢?下面就是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的向量法證明不等式內(nèi)容，希望大家喜歡。

最新向量法證明不等式計算方法

　　向量法證明不等式

　　高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變. 若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.

　　設(shè)a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

　　規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

　　(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

　　由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的`模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構(gòu)造n維向量來證明其他不等式.

　　一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

　　例1設(shè)a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.

　　證明：先證左邊，設(shè)m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

　　則由

　　綜上，原不等式成立.

　　點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.

　　作單位向量j⊥AC

　　j(AC+CB)=jAB

　　jAC+jCB=jAB

　　jCB=jAB

　　|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

　　即|CB|sinC=|AB|sinA

　　a/sinA=c/sinC

　　其余邊同理

　　在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為 BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得 i*BA+i*AC=0① 根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理 i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得 csinB-bsinC=0 所以b/sinB=c/sinC 類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB, 所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　步驟1

　　記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

　　∴a+b+c=0

　　則i(a+b+c)

　　=i·a+i·b+i·c

　　=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

　　=-asinC+csinA=0