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用分析法證明 已知
要證明(b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c>3
即是證明(b+c)/a-1+(a+c)/b-1+(a+b)/c-1>3
b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6
因為a，b，c>0，且不全等，所以b/a+a/b≥2
a/c+c/a≥2
b/c+c/b≥2
上式相加的時候，等號不能取到，因為不全等。故b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6
命題獲證
a²-b²=tan²α+2tanαsinα+sin²α-tan²α+2tanαsinα-sin²α
=4tanαsinα
左邊=16tan²αsin²α
=16tan²α(1-cos²α)
=16tan²α-16tan²αcos²α
=16tan²α-16sin²α/cos²α*cos²α
=16tan²α-16sin²α
右邊=16(tan²α-sin²α)
所以左邊=右邊
命題得證
要證|(a+b)/(1+ab)|<1
就是要證|a+b|<|1+ab|
就是要證(a+b)^2<(1+ab)^2
就是要證a^2+2ab^2+b^2<1+a^2b^2+2ab
就是要證a^2b^2-a^2-b^2+1>0
就是要證(a^2-1)(b^2-1)>0
而已知|a|<1 |b|<1
所以(a^2-1)(b^2-1)>0成立
|(a+b)/(1+ab)|<1成立
左邊通分整理
即證|(b-a)(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<|a-b|
把|a-b|約分
|(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<1
即證|a+b|<(a²+1)(b²+1)
顯然a和b同號時|a+b|較大
所以不妨設(shè)a>0,b>0
a+b a²-a+1/4=(a-1/2)²
b²-b+1/4=(b-1/2)²
所以a²-a+b²-b+1>0
a²b²>=0
所以a>0,b>0時
a+b 若都小于0，絕對值一樣
把以上倒推回去即可
證明：由a>0,b>0，ln x是增函數(shù)，要證：a^a b^b>= a^b b^a,
即證：aln a + bln b>= aln b + bln a
即證：a(ln a - ln b)+b(ln b-ln a)>=0
即證：(a-b)(ln a -ln b)>=0.
由于，ln x是增函數(shù)，因此，a-b與lna -lnb符號相同。
則(a-b)(ln a - ln b)>=0成立。
于是：原不等式成立。
【擴(kuò)展閱讀篇】
用文字記載一個星期來的自己的思想、學(xué)習(xí)、生活情況的文字記錄。
它有別于“流水賬”，日記，在于流水賬是有什么就記錄什么，不需要作任何修飾和認(rèn)識的升華，而且內(nèi)容不限，一周之內(nèi)可以記錄您每一天的任何事情。而周記就是：每周一次，并且對自己的生活學(xué)習(xí)思想認(rèn)識有一定的升華。 周記是對個人和某個團(tuán)體一周的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一周里讓你有所感觸的事。
編輯本段作用
從學(xué)生角度來說，周記用來了解學(xué)生的思想動態(tài)，學(xué)習(xí)情況，答疑解惑，并通過周記的形式而置一些跟教育主題有關(guān)的主題作文，提高學(xué)生的認(rèn)識，從而在全班范圍內(nèi)形成正確、積極、健康的輿論環(huán)境，并為主題班會準(zhǔn)備材料，提高同學(xué)們參與的積極性。
從老師的角度來說，周記用來回顧一周的得失，提出經(jīng)驗教訓(xùn)，讓班主任對班上情況有一個更加詳細(xì)和全面的了解，提高工作的針對性和準(zhǔn)確性。老師除了用來了解同學(xué)一周發(fā)生的事情外，還用來鍛煉同學(xué)的文章水平，使同學(xué)文章水平得以提高。
編輯本段格式
周記的題目(寫作范圍：讀后感;見聞;趣事;數(shù)學(xué)周記......)
1.記事
2.自評(優(yōu)，缺)
3.解決措施
4.下周計劃
5.自己的所見所聞所感
其實周記并沒有一種標(biāo)準(zhǔn)的格式，只需要同學(xué)們每周把自己的所看到的、聽到的、想到的、經(jīng)歷的東西記下來，形成的文字片斷或一篇文章，一周寫一則就可以了。
編輯本段怎么寫周記
不少同學(xué)又開始問了，周記怎么寫?小學(xué)初中周記開頭怎么寫?
如果是一個片斷，將事情寫清、將要表達(dá)的意思表達(dá)完整就行了，當(dāng)然，時間充裕，你可以將前因后果，你的想法補(bǔ)充完整，形成一篇文章。不論無論，周記沒有什么特殊規(guī)定的格式，跟我們平時說話寫文章一樣，要求就是條理清楚地說清一件事、一個想法。
周記的關(guān)鍵是要真，真事、真情、真想，不要虛構(gòu)。用力表達(dá)你正經(jīng)歷的、正思考的事，對提高你的寫作能力是有幫助的，不要當(dāng)作負(fù)擔(dān)，也不要覺得有任何壓力，因為真的，只要排列一下就行了。
同時，周記交給老師后，也可讓老師來了解你的生活、你的想法，或許對你有幫助。
去年也談過周記怎么寫，轉(zhuǎn)到下面，大家再看看。
老師布置了周記作業(yè)，怎么寫呢?許多同學(xué)發(fā)了愁。
其實周記也好，日記也好，都是要寫一段時間內(nèi)印象最深的事。周記就是本星期內(nèi)的事。
回想一下這個星期發(fā)生了什么，在學(xué)習(xí)上有什么問題，班級里有什么新鮮事，和朋友老師間關(guān)系如何，這些都可以寫，和日記相比周記可以寫的內(nèi)容更多了，需要突出一兩個重點。
如果大腦里立刻就想起一二件事情，記憶深刻，那么恭喜，你就有材料了，將它們的前因后果，事情經(jīng)過，個人感想寫清楚吧。
有人會問：不好意思，一想到過去的幾天，我印象里只記得吃了一次大餐，或者只記得被老師罵了一頓，或者跟同學(xué)鬧別扭心里不爽，這些都沒有重要意義，怎么能寫呢?告訴你，既然你想到了，就說明是值得寫的。有意義的事情，不一定非得是意義重大，思想崇高，自己的生活瑣事，也是值得一寫的，只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細(xì)小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子，串起了我們的歡笑，串起了我們的憂愁，串起了我們的無聊，引領(lǐng)著我們一天天，不知不覺地在長大。
更有一些同學(xué)說，這個周最無味，什么也沒有發(fā)生，沒什么可寫的。再想想，再想想，多個心眼，仔細(xì)觀察，你會找到的。
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