數(shù)學歸納法證明經(jīng)典事例

　　數(shù)學中的歸納法是很有作用的，關于這些的整除證明是怎樣的呢？下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的數(shù)學歸納法證明整除內(nèi)容，希望大家喜歡。

　　關于數(shù)學歸納法的簡介：

　　數(shù)學歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。

　　數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎，第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)(或n≥n且n∈N)結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。

　　運用數(shù)學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。

　　運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。

　　關于n的例子：

　　1.當n=1 的時候

　　上面的式子 = 3^4-8-9=64

　　成立

　　假設 當n=k 的時候

　　3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除

　　當n=k+1

　　式子= 3^(2k+4)-8k-17

　　=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64

　　因為 3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除

　　∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能夠被64整除

　　n=k+1 時 ，成立

　　根據(jù)上面的由數(shù)學歸納法

　　3的2n+2次方-8n-9(n屬于Nx)能被64整除。

　　2.n=1時 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性)

　　設當n=k時，仍然成立。

　　當n=k+1時，·····················(一般性)

　　3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17 =9x3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64

　　因為3^(2k+2)-8k-9能被64整除

　　不用寫了吧··

　　正確請采納

　　數(shù)學歸納法

　　當n=1 的時候

　　上面的式子 = 3^4-8-9=64

　　成立

　　假設 當n=k (k>=1)

　　3.當3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除

　　當n=k+1(k>=1)

　　式子= 3^(2k+4)-8k-17

　　=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64

　　由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出

　　n=k+1 時 ，成立

　　根據(jù)上面的由數(shù)學歸納法

　　3的2n+2次方-8n-9(n屬于Nx)能被64整

　　數(shù)學歸納法證明的步驟：

　　1.基本步驟

　�。ㄒ唬┑谝粩�(shù)學歸納法：

　　一般地,證明一個與自然數(shù)n有關的命題P(n）,有如下步驟：

　�。�1）證明當n取第一個值n0時命題成立.n0對于一般數(shù)列取值為0或1,但也有特殊情況；

　�。�2）假設當n=k（k≥n0,k為自然數(shù)）時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.

　　綜合（1）（2）,對一切自然數(shù)n（≥n0）,命題P(n）都成立.

　�。ǘ�）第二數(shù)學歸納法：

　　對于某個與自然數(shù)有關的命題P(n）,

　　（1）驗證n=n0時P(n）成立；

　　（2）假設n0≤nn0）成立,能推出Q(k）成立,假設 Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立；

　　綜合（1）（2）,對一切自然數(shù)n（≥n0）,P(n）,Q(n）都成立.

　　2.原理

　　最簡單和常見的數(shù)學歸納法是證明當n等于任意一個自然數(shù)時某命題成立。證明分下面兩步：

　　證明當n= 1時命題成立。

　　假設n=m時命題成立，那么可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數(shù)）

　　這種方法的原理在于：首先證明在某個起點值時命題成立，然后證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經(jīng)證明，那么任意值都可以通過反復使用這個方法推導出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：

　　證明第一張骨牌會倒。

　　證明只要任意一張骨牌倒了，那么與其相鄰的下一張骨牌也會倒。

　　3.解題要點

　　數(shù)學歸納法對解題的形式要求嚴格，數(shù)學歸納法解題過程中，

　　第一步：驗證n取第一個自然數(shù)時成立

　　第二步：假設n=k時成立，然后以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據(jù)進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

　　最后一步總結(jié)表述。

　　需要強調(diào)是數(shù)學歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：

　　證明1：所有的馬都是一種顏色

　　首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。

　　第二步，假設這個命題對n成立，即假設任何n匹馬都是一種顏色。那么當我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：

　　1, 2, 3……n, n+1

　　對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設可以得到，它們都是同一種顏色；

　　對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；

　　由于這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。

　　這個證明的錯誤來于推理的第二步：當n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數(shù)學歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數(shù)都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。

【數(shù)學歸納法證明經(jīng)典事例】相關文章：

高中數(shù)學歸納法證明題11-24

簽證資產(chǎn)證明事例及辦理11-23

數(shù)學歸納法教學設計（精選5篇）07-28

判別式法證明不等式事例11-23

安全知識事例11-23

作文事例11-28

作文新鮮的事例12-06

善意的謊言事例11-23

善意的謊言事例11-23