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切比雪夫不等式的推導(dǎo)證明方法
切比雪夫不等式是一個(gè)有名的公式，關(guān)于這個(gè)公式的證明方法是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的切比雪夫不等式證明內(nèi)容，希望大家喜歡。
切比雪夫不等式證明方法一
試?yán)们斜妊┓虿坏仁阶C明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次，其出現(xiàn)正面的次數(shù)在400到600之間。
分析:將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次可看成是1000重貝努利試驗(yàn),因此
1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.
解:設(shè)X表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且
~XB(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npEX,
250)
2
答題完畢，祝你開(kāi)心!
1
1(
2
1
1000)1(= ××= =pnpDX,
而所求的概率為
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP
}100{< =EXXP
975.0
100
1
2
= ≥
DX
切比雪夫不等式證明方法二
切比雪夫(Chebyshev)不等式
對(duì)于任一隨機(jī)變量X ,若EX與DX均存在,則對(duì)任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式說(shuō)明，DX越小，則 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是說(shuō)，隨機(jī)變量X取值基本上集中在EX附近，這進(jìn)一步說(shuō)明了方差的意義。
同時(shí)當(dāng)EX和DX已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了概率P{|X-EX|>=ε}的一個(gè)上界，該上界并不涉及隨機(jī)變量X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實(shí)際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個(gè)具體問(wèn)題中，由它給出的概率上界通常比較保守。
切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中，與平均數(shù)超過(guò)K倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/K^2。
在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機(jī)變數(shù)的「幾乎所有」值都會(huì)「接近」平均。這個(gè)不等式以數(shù)量化這方式來(lái)描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
與平均相差2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/4
與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/9
與平均相差4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/16
切比雪夫定理介紹
由切比雪夫提出，描述如下：
設(shè)隨機(jī)變量X的.數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對(duì)任意常數(shù) ε>0，有P( | X - E(X) | ≥ ε ) ≤ D(X) / ε² ，或P( | X - E(X) | < ε ) ≥ 1 - D(X) / ε²。
在初等數(shù)論中，若a1≤a2≤……≤an，b1≤b2≤……≤bn，則a1bn+a2b(n-1)+……+anb1≤(a1+……+an)(b1+……+bn)/n≤a1b1+a2b2+……+anbn 。
19世紀(jì)俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫[3] 研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律中，論證并用標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)了一個(gè)不等式，這個(gè)不等式具有普遍的意義，被稱作切比雪夫定理 chebyshev's theorem 其大意是 ：
任意一個(gè)數(shù)據(jù)集中，位于其平均數(shù)m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的比例(或部分)總是至少為1-1/㎡，其中m為大于1的任意正數(shù)。對(duì)于m=2，m=3和m=5有如下結(jié)果：
所有數(shù)據(jù)中，至少有3/4(或75%)的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。
所有數(shù)據(jù)中，至少有8/9(或88.9%)的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。
所有數(shù)據(jù)中，至少有24/25(或96%)的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi) 。
其計(jì)算公式通常表示為：
μ為X的均值，sigma為X的標(biāo)準(zhǔn)差。
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