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2015年北京高考理數(shù)試題（文字版）
2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)
本試卷共5頁(yè). 150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考試生務(wù)必將答案答在答題卡上.在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分(選擇題共40分)
一、 選擇題共8小題。每小題5分.共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合勝目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜則A∩B=( )
A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.（3，＋∝）
2. 設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn).則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.設(shè)a，b∈R.“a=O”是‘復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ）
A. 2
B .4
C.8
D. 16
5.如圖. ∠ACB=90º。CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E.則( )
A. CE·CB=AD·DB
B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD ²
D.CE·EB=CD ²
6.從0，2中選一個(gè)數(shù)字.從1.3.5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三梭錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
8.某棵果樹(shù)前n前的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高。m值為（ ）
A.5
B.7
C.9
D.11
第二部分(非選擇題共110分)
二.填空題共6小題。每小題5分。共30分.
9.直線 (t為參數(shù))與曲線 (“為多α數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
10.已知﹛ ﹜等差數(shù)列 為其前n項(xiàng)和.若 = ， = ，則 =
11.在△ABC中，若α=2，b+c=7, =- ，則b=
12.在直角坐標(biāo)系xOy中.直線l過(guò)拋物線 =4x的焦點(diǎn)F.且與該撇物線相交于A、B兩點(diǎn).其中點(diǎn)A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60º.則△OAF的面積為
13.己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為l，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn).則 . 的'值為
14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)= -2，若同時(shí)滿(mǎn)足條件：
① x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0
② x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0
則m的取值范圍是
三、解答題公6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。
15．（本小題共13分）
已知函數(shù) 。
（1） 求f（x）的定義域及最小正周期；
（2） 求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。
16. （本小題共14分）
如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.
（1） 求證：A1C⊥平面BCDE；
（2） 若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大�。�
（3） 線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？
說(shuō)明理由
17．（本小題共13分）
近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類(lèi)，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類(lèi)投放情況，先隨機(jī)抽取了該市三類(lèi)垃圾箱總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）；
（1） 試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；
（2） 試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；
（3） 假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫(xiě)出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)s2的值。
（求： ，其中 為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)）
18．（本小題共13分）
已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx
(1) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；
(2) 當(dāng)a2=4b時(shí)，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值，
19．（本小題共14分）
已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
（1） 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；
（2） 設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線。
20．（本小題共13分）
設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿(mǎn)足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。
對(duì)于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）：
記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1） 對(duì)如下數(shù)表A，求K（A）的值；
1
1
-0.8
0.1
-0.3
-1
（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如
1
1
c
a
b
-1
求K（A）的最大值；
（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。
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