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七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)
第一章豐富的圖形世界
¤1.
¤2.
¤3.球體：由球面圍成的(球面是曲面)
¤4.幾何圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的。
①幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面;
②面與面相交得到線;
③線與線相交得到點(diǎn)。
※5.棱：在棱柱中，任何相鄰兩個(gè)面的交線都叫做棱。
※6.側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等。
¤7.棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方形。
¤8.根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形……
¤9.長(zhǎng)方體和正方體都是四棱柱。
¤10.圓柱的表面展開圖是由兩個(gè)相同的圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形連成。
¤11.圓錐的表面展開圖是由一個(gè)圓形和一個(gè)扇形連成。
※12.設(shè)一個(gè)多邊形的邊數(shù)為n(n≥3，且n為整數(shù))，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有(n-3)條;可以把n邊形成(n-2)個(gè)三角形;這個(gè)n邊形共有 條對(duì)角線。
◎13.圓上兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，弧是一條曲線。
◎14.扇形，由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形。
¤15.凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。
第二章有理數(shù)及其運(yùn)算
※
※數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度(三者缺一不可)。
※任何一個(gè)有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。(反過來，不能說數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù))
※如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。(0的相反數(shù)是0)
※在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。
¤數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊。
※絕對(duì)值的定義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|。
※正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的數(shù);0的絕對(duì)值是0。
或
※絕對(duì)值的性質(zhì)：除0外，絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù);
互為相反數(shù)的兩數(shù)(除0外)的絕對(duì)值相等;
任何數(shù)的絕對(duì)值總是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0
※比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，絕對(duì)值大的反而校比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟如下：
①先求出兩個(gè)數(shù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值;
②比較兩個(gè)絕對(duì)值的大小;
③根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而斜做出正確的判斷。
※絕對(duì)值的性質(zhì)：
①對(duì)任何有理數(shù)a，都有|a|≥0
②若|a|=0，則|a|=0，反之亦然
③若|a|=b，則a=±b
④對(duì)任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a|
※有理數(shù)加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。
②異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0;絕對(duì)值不等時(shí)取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大數(shù)的絕對(duì)值減去較小數(shù)的絕對(duì)值。
③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。
※加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。
¤靈活運(yùn)用運(yùn)算律，使用運(yùn)算簡(jiǎn)化，通常有下列規(guī)律：①互為相反的兩個(gè)數(shù)，可以先相加;
②符號(hào)相同的數(shù)，可以先相加;
③分母相同的數(shù)，可以先相加;
④幾個(gè)數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。
※有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。
¤有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意兩“變”：①改變運(yùn)算符號(hào);
②改變減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)(變?yōu)橄喾磾?shù))
有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意一個(gè)“不變”：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。
¤有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算的步驟：
①寫成省略加號(hào)的代數(shù)和。在一個(gè)算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法，然后再省略加號(hào)和括號(hào);
②利用加法則，加法交換律、結(jié)合律簡(jiǎn)化計(jì)算。
(注意：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)有減法統(tǒng)一成加法時(shí)，減數(shù)應(yīng)變成它本身的相反數(shù)。)
※有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。
②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。
※如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1。(如：-2與 、 …等)
※乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。
¤有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟：①先確定積的符號(hào);
②求出各因數(shù)的絕對(duì)值的積。
¤乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。注意：
①零沒有倒數(shù)
②求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一個(gè)帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)。
③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。
※有理數(shù)除法法則：①兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。
②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。
※有理數(shù)的乘方
※注意：①一個(gè)數(shù)可以看作是本身的一次方，如5=51;
②當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。
※乘方的運(yùn)算性質(zhì)：
①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù);
②負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù);
③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù);
④1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0;
⑤-1的偶次冪得1;-1的奇次冪得-1;
⑥在運(yùn)算過程中，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值。
※有理數(shù)混合運(yùn)算法則：①先算乘方,再算乘除,最后算加減。
②如果有括號(hào),先算括號(hào)里面的。
第三章字母表示數(shù)
※代數(shù)式的概念：
用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘除、乘方、開方等)把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。
注意：①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外，還可以有括號(hào);
②代數(shù)式中不含有“=、>、<、≠”等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號(hào)和不等號(hào)兩邊的式子一般都是代數(shù)式;
③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式有意義，是實(shí)際問題的要符合實(shí)際問題的意義。
※代數(shù)式的書寫格式：
①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)，通常省略不寫，如vt;
②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a;
③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后與字母相乘，如 應(yīng)寫作 ;
④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號(hào)，即“×”號(hào)不省略;
⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫，如4÷(a-4)應(yīng)寫作 ;注意：分?jǐn)?shù)線具有“÷”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。
⑥在表示和(或)差的代差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如 平方米
※代數(shù)式的系數(shù)：
代數(shù)式中的數(shù)字中的數(shù)字因數(shù)叫做代數(shù)式的系數(shù)。如3x,4y的系數(shù)分別為3，4。
注意：①單個(gè)字母的系數(shù)是1，如a的系數(shù)是1;
②只含字母因數(shù)的代數(shù)式的系數(shù)是1或-1，如-ab的系數(shù)是-1。a3b的系數(shù)是1
※代數(shù)式的項(xiàng)：
代數(shù)式 表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的項(xiàng)，其中把不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)
注意：在交待某一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)與前面的.符號(hào)一起交待。
※同類項(xiàng)：
所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。
注意：①判斷幾個(gè)代數(shù)式是否是同類項(xiàng)有兩個(gè)條件：a.所含字母相同;b.相同字母的指數(shù)也相同。這兩個(gè)條件缺一不可;
②同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān);
③幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。
※合差同類項(xiàng)：
把代數(shù)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。
①合并同類項(xiàng)的理論根據(jù)是逆用乘法分配律;
②合并同類項(xiàng)的法則是把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。
注意：
①如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后結(jié)果為0;
②不是同類項(xiàng)的不能合并，不能合并的項(xiàng)，在每步運(yùn)算中都要寫上;
③只要不再有同類項(xiàng)，就是最后結(jié)果，結(jié)果還是代數(shù)式。
※根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)：
括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不改變符號(hào);括號(hào)前面是“-”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。
※根據(jù)分配律去括號(hào)：
括號(hào)前面是“+”號(hào)看成+1，括號(hào)前面是“-”號(hào)看成-1，根據(jù)乘法的分配律用+1或-1去乘括號(hào)里的每一項(xiàng)以達(dá)到去括號(hào)的目的。
※注意：
①去括號(hào)時(shí)，要連同括號(hào)前面的符號(hào)一起去掉;
②去括號(hào)時(shí)，首先要弄清楚括號(hào)前是“+”號(hào)還是“-”號(hào);
③改變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都變號(hào);不改變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都不變號(hào)。
第四章平面圖形及位置關(guān)系
一.線段、射線、直線
※1.正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區(qū)別：
名稱 圖形 表示方法 端點(diǎn) 長(zhǎng)度
直線 直線AB(或BA)
直線l 無端點(diǎn) 無法度量
射線 射線OM 1個(gè) 無法度量
線段 線段AB(或BA)
線段l 2個(gè) 可度量長(zhǎng)度
※2.直線公理:經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.
二.比較線段的長(zhǎng)短
※1.線段公理:兩點(diǎn)間線段最短;兩之間線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離.
※2.比較線段長(zhǎng)短的兩種方法:
①圓規(guī)截取比較法;
②刻度尺度量比較法.
※3.用刻度尺可以畫出線段的中點(diǎn),線段的和、差、倍、分;
用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍.
三.角的度量與表示
※1.角:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角;
這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn);
這兩條射線叫做角的邊.
※2.角的表示法：角的符號(hào)為“∠”
①用三個(gè)字母表示，如圖1所示∠AOB
②用一個(gè)字母表示，如圖2所示∠b
③用一個(gè)數(shù)字表示，如圖3所示∠1
④用希臘字母表示，如圖4所示∠β
※經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線。
※兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。
※兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。
1º=60’1’=60”
※角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示：
※一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角。如圖6所示：
※終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。如圖7所示：
※從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。
※經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。
※如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。
※互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。
※平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
※如圖8所示，過點(diǎn)C作直線AB的垂線，垂足為O點(diǎn)，線段CO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)C到直線AB的距離。
第五章一元一次方程
※在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)x(元)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1(次),這樣的方程叫做一元一次方程。
※等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。
※等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為0的數(shù))，所得結(jié)果仍是等式。
※解方程的步驟：解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為1等幾個(gè)步驟，把一個(gè)一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成x=m的形式。
第六章生活中的數(shù)據(jù)
※科學(xué)記數(shù)法：一般地，一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。
※統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：
折線統(tǒng)計(jì)圖：能夠清晰地反映同一事物在不同時(shí)期的變化情況。
條形統(tǒng)計(jì)圖：能夠清晰地反映每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目及之間的大小關(guān)系。
扇形統(tǒng)計(jì)圖：能夠清晰地表示各部分在總體中所占的百分比及各部分之間的大小關(guān)系
統(tǒng)計(jì)圖對(duì)統(tǒng)計(jì)的作用：
(1)可以清晰有效地表達(dá)數(shù)據(jù)。
(2)可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。
(3)可以獲得許多的信息。
(4)可以幫助人們作出合理的決策
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