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平行四邊形教案范文集合9篇
作為一名為他人授業(yè)解惑的教育工作者，編寫(xiě)教案是必不可少的，編寫(xiě)教案有利于我們弄通教材內(nèi)容，進(jìn)而選擇科學(xué)、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。教案要怎么寫(xiě)呢？下面是小編為大家收集的平行四邊形教案9篇，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。
平行四邊形教案 篇1
教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能目標(biāo)
(1)理解平行四邊形的定義及有關(guān)概念
(2)能根據(jù)定義探索并掌握平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等的性質(zhì)
(3)了解平行四邊形在實(shí)際生活中的應(yīng)用,能根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明
2.過(guò)程與方法目標(biāo)
(1)經(jīng)歷用平行四邊形描述、觀察世界的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的形象思維和抽象思維
(2)在進(jìn)行性質(zhì)探索的活動(dòng)過(guò)程中,發(fā)展學(xué)生的探究能力.
(3)在對(duì)性質(zhì)應(yīng)用的過(guò)程中,提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和演繹能力
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)
在探究討論中養(yǎng)成與他人合作交流的習(xí)慣;在性質(zhì)應(yīng)用過(guò)程中培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣;在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn),提高克服困難的勇氣和信心。
教學(xué)重點(diǎn):
(1)平行四邊形的性質(zhì)
(2)平行四邊形的概念、性質(zhì)的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)的探究
教學(xué)過(guò)程：
一、設(shè)置疑問(wèn)，導(dǎo)入新課
教師活動(dòng)：介紹四邊形與我們生活的密切聯(lián)系，指出長(zhǎng)方形、正方形、梯形都是特殊的四邊形。提出問(wèn)題(1)四邊形與平行四邊形(教材91頁(yè)章前圖)(2)四邊形與平行四邊形有怎樣的從屬關(guān)系?
學(xué)生活動(dòng)：(1)利用章前圖尋找四邊形
(2)說(shuō)說(shuō)四邊形與平行四邊形的關(guān)系
【設(shè)計(jì)意圖】指明學(xué)習(xí)任務(wù)，理清四邊形與特殊的四邊形之間的關(guān)系，引出課題
二、問(wèn)題探究
(1)教師活動(dòng)：教師用多媒體展示圖片，庭院的竹籬笆，電動(dòng)伸縮門，活動(dòng)衣架等
學(xué)生活動(dòng)：欣賞圖片并舉例結(jié)合小學(xué)已有的知識(shí)以及對(duì)圖片的觀察和思考，歸納：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，再動(dòng)手根據(jù)定義畫(huà)出平行四邊形
【設(shè)計(jì)意圖】由現(xiàn)實(shí)生活入手，使學(xué)生獲得平行四邊形的感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)能調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)好奇心和求知欲，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力
(2)教師活動(dòng)：提出問(wèn)題根據(jù)定義畫(huà)一個(gè)平行四邊形，觀察這個(gè)四邊形，除了“兩組對(duì)邊分別平行以”外它的邊角之間還有其他的關(guān)系嗎?度量一下，是否和你的猜想一致?然后深入到小組中參與活動(dòng)與指導(dǎo)
學(xué)生活動(dòng)動(dòng)手畫(huà)圖，猜想，度量，驗(yàn)證，得出
�、倨叫兴倪呅蔚膶�(duì)邊相等
�、谄叫兴倪呅蔚膶�(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)
(3)教師活動(dòng):你能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎?
學(xué)生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并與前面所學(xué)知識(shí)聯(lián)系，證明線段和角相等的辦法是三角形全等，而四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題是作對(duì)角線
學(xué)生活動(dòng):獨(dú)立完成證明，一名同學(xué)板演
【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)歷猜想—實(shí)踐---驗(yàn)證的過(guò)程，從中體會(huì)親自動(dòng)手實(shí)踐學(xué)到知識(shí)的樂(lè)趣，獲得成功得體驗(yàn)在尋找證明線段和角相等的辦法---三角形全等，一方面體會(huì)知識(shí)的前后連貫性，另一方面意在培養(yǎng)學(xué)生良好的`學(xué)習(xí)習(xí)慣完成證明，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度
三、講解例題，鞏固練習(xí)
教師活動(dòng)：例1.小明用一根36米長(zhǎng)的繩子圍成一個(gè)平行四邊形場(chǎng)地，其中一邊長(zhǎng)16米，其它三邊長(zhǎng)多少?引導(dǎo)學(xué)生審題
學(xué)生活動(dòng)：弄清題意，自己嘗試
教師活動(dòng)：示范解題過(guò)程
強(qiáng)調(diào)平行四邊形性質(zhì)的幾何表達(dá)
在中
①AB∥CD AD∥BC
�、贏B=CD AD=BC
③∠A=∠C ∠B=∠D
學(xué)生活動(dòng)：生練習(xí)課后習(xí)題
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，這是解題的關(guān)鍵，同時(shí)體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué)訓(xùn)練學(xué)生能清晰有條理的表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到“言之有理，落筆有據(jù)”
四、小結(jié)
教師提出問(wèn)題：
1.通過(guò)學(xué)習(xí)，本節(jié)課你學(xué)到了那些知識(shí)?
2.在對(duì)平行四邊形性質(zhì)的探究過(guò)程中，你有那些認(rèn)識(shí)?
3.在應(yīng)用平行四邊形性質(zhì)解題時(shí)，應(yīng)注意哪些問(wèn)題?
學(xué)生活動(dòng)：交流獲得的知識(shí)和得到的感受
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)整理，一方面讓學(xué)生理清本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面感受探究過(guò)程的樂(lè)趣，體驗(yàn)克服困難的勇氣樹(shù)立自信心。
布置作業(yè)：教材99頁(yè)第1題，第2題，第6題
板書(shū)設(shè)計(jì)：
1.平行四邊形的定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形
2.平行四邊形的表示: 3.平行四邊形的性質(zhì): ①平行四邊形的對(duì)邊相等
�、谄叫兴倪呅蔚膶�(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)
平行四邊形教案 篇2
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．能運(yùn)用勾股定理解決生活中與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題；
2．能從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)滲透方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。
3．進(jìn)一步發(fā)展有條理思考和有條理表達(dá)的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值
【學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)】
重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用
難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題
【新知預(yù)習(xí)】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長(zhǎng).
【導(dǎo)學(xué)過(guò)程】
一、情境創(chuàng)設(shè)
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計(jì)算各條拉索的長(zhǎng)？
二、探索活動(dòng)
活動(dòng)一 如圖，起重機(jī)吊運(yùn)物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長(zhǎng).
活動(dòng)二 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？
活動(dòng)三 一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如圖所示的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過(guò)70km/h，如圖一輛小汽車在一條城市中的直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀的正前方30m處，過(guò)了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？
2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測(cè)得內(nèi)部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問(wèn)吸管需要多長(zhǎng)？
【反饋練習(xí)】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個(gè)直角三角形的模具，量得其中兩邊的長(zhǎng)分別為5cm，3cm，則第三邊的長(zhǎng)是______;
(3)甲乙兩人同時(shí)從同一地出發(fā)，甲往東走4km，乙往南走6km，這時(shí)甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm ,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．無(wú)法確定
3.如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到收購(gòu)站E的距離相等，則收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？
【課后作業(yè)】P67 習(xí)題2.7 1、4題
八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)教案：由中點(diǎn)想到什么
第十八講 由中點(diǎn)想到什么
線段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它關(guān)聯(lián)著三角形中線、直角三角形斜邊中線、中心對(duì)稱圖形、三角形中位線、梯形中位線等豐富的知識(shí)，恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，由中點(diǎn)想到什么?常見(jiàn)的聯(lián)想路徑是：
1．中線倍長(zhǎng)；
2．作直角三角形斜邊中線；
3．構(gòu)造中位線；
4．構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結(jié)論：
例題求解
【例1】 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)， AB=10cm，則MD的長(zhǎng)為 ．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥 取AB中點(diǎn)N，為直角三角形斜邊中線定理、三角形中位線定理的運(yùn)用創(chuàng)造條件．
注 證明線段倍分關(guān)系是幾何問(wèn)題中一種常見(jiàn)題型，利用中點(diǎn)是一個(gè)有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線定理；
(2)運(yùn)用中位線定理；
(3)倍長(zhǎng)(或折半)法．
【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB=CD，另一組對(duì)邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN．則AB與MN的關(guān)系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB (20xx年河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題) 思路點(diǎn)撥 中點(diǎn)M、N不能直接運(yùn)用，需增設(shè)中點(diǎn)，常見(jiàn)的方法是作對(duì)角線的中點(diǎn)． 【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE、CD，求證：C D=2EC． (浙江省寧波市中考題) 思路點(diǎn)撥 聯(lián)想到與中位線相關(guān)的豐富知識(shí)，將線段倍分關(guān)系的`證明轉(zhuǎn)化為線段相等關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)添輔助線． 【例4】 已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分別為F、G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交，易證FG= (AB+BC+AC)． 若(1)BD、CF分別是△ABC的內(nèi)角平分線(如圖2)； (2)BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明． (20xx年黑龍江省中考題) 思路點(diǎn)撥 圖1中FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系的求法(關(guān)鍵是作輔助線)，對(duì)尋求后兩個(gè)圖形中線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系起著重要作用，而由平分線、垂線發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)，這是解題的基礎(chǔ)． 注 三角形與梯形的中位線．在位置上涉及到平行，在數(shù)量上是上下底和的一半，它起著傳遞角的位置關(guān)系和線段長(zhǎng)度的功能，在證明線段倍分關(guān)系、兩直線位置關(guān)系、線段長(zhǎng)度的計(jì)算等方面有著廣泛的應(yīng)用． 【例5】 如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K、L分別為MN、PQ的中點(diǎn)，求證：KL∥AE且KL= AE． (20xx年天津賽區(qū)試題) 思路點(diǎn)撥 通過(guò)連線，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個(gè)中點(diǎn)的 利用創(chuàng)造條件，這是解本例的突破口． 注 需要什么，構(gòu)造什么，構(gòu)造基本圖形、構(gòu)造線段的和差(倍分)關(guān)系、構(gòu)造角的關(guān)系等，這是作輔助線的有效思考方法之一． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．BD、CE是△ABC的中線，G、H分別是BE、CD的中點(diǎn)，BC=8，則GH= ． (20xx年廣西中考題) 2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的中點(diǎn)，則 ；若 D2、E2分別是D1B、E1C的中點(diǎn)，則 ：若 D3、E3分別是D2B、E2C的中點(diǎn).則 ……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，則DnEn= (n≥1且 n為整數(shù)). (200l年山東省濟(jì)南市中考題) 3．如圖，△ABC邊長(zhǎng)分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值是 ． 4．如圖， 梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線的長(zhǎng)等于 cm． (20xx年天津市中考題) 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=( ) A．40 B．48 C 50 D．56 6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，若AD=6cm，BC=18?，則EF的長(zhǎng)為( ) A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm 7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點(diǎn)C落在AB上的E點(diǎn)，DE、DF三等分∠ADC，AB的長(zhǎng)為6，則梯形ABCD的中位線長(zhǎng)為( ) A．不能確定 B．2 C． D． +1 (20xx年浙江省寧波市中考題) 8．已知四邊形ABCD和對(duì)角線AC、BD，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個(gè)命題： ①若所得四邊形MNPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形； �、谌羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形； �、廴羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則AC⊥BD； �、苋羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AC=BD； ⑤若所得四邊形MNPQ為矩形，則∠BAD=90°； �、奕羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AB=AD． 以上命題中，正確的是( ) A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④ (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 9．如圖，已知△ABC中，AD是 高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G 是CE的 中點(diǎn)；(2)∠B=2∠BCE． (20xx年上海市中考題) 10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連結(jié)BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點(diǎn)，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點(diǎn)． 11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長(zhǎng)線交BE于F． (1)求證：EF＝FB； (2)S△BCE能否為S梯形ABCD的 ?若不能，說(shuō)明理由；若能，求出AB與CD的關(guān)系． 12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長(zhǎng)為 ． (20xx年四川省競(jìng)賽題) 13．四邊形ADCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC= ． (重慶市競(jìng)賽題) 1 4．四邊形ABCD中，AD>BC，C、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線分別與EF的延長(zhǎng)線交于H、G，則∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”號(hào)) 15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線AD=2，AB+AC=3+ ，則S△ABC等于( ) A． B． C． D． 16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點(diǎn)，設(shè)∠DAQ=α，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP＝2α，則CP的長(zhǎng)是( ) A．1 D．2 C．3 D． 17．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設(shè)△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系式是( ) A． B． C． D． 18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB到E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、 CB的垂線，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE=∠PBF． (20xx年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結(jié)論． (山東省競(jìng)賽題) 20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結(jié)DE，設(shè)M為D正的中點(diǎn)． (1)求證：MB=MC； (2)設(shè)∠BAD=∠CAE，固定△ABD， 讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問(wèn)：MB；MC是否還能成立?并證明其結(jié)論． (江蘇省競(jìng)賽題) 21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線MN，過(guò)A、B、C、D4個(gè)頂點(diǎn)分別作MN的垂線AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1． (1)求證AA1+ CCl = BB1 +DDl； (2)如圖乙，直線MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)A與點(diǎn)B、C、D位于直線MN兩側(cè)，這時(shí)過(guò)A、B、C、D向直線MN引垂線，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl 之間存在什么關(guān)系? 練習(xí)要求：使學(xué)生進(jìn)一步掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，能正確、熟練地計(jì)算它們的面積。 練習(xí)重點(diǎn)：正確運(yùn)用公式計(jì)算所學(xué)的圖形的面積。 教具準(zhǔn)備：投影 教學(xué)過(guò)程： 一、基本練習(xí) 1.回答下列各圖面積地計(jì)算公式和字母公式。 長(zhǎng)方形長(zhǎng)×寬ab 正方形邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)a2 平行四邊形底×高ah 三角形底×高÷2ah÷2 梯形（上底＋下底）×高÷2（a＋b）h÷2 2.平行四邊形、三角形、梯形的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？ 二、指導(dǎo)練習(xí) 1．練習(xí)十八第12題：計(jì)算下面每個(gè)圖形的面積。 3米8米12米 5.6米9.5米12米 5厘米 5.4 分5.8厘米5.2厘米 米 3分米5厘米7厘米 �、攀—�(dú)立審題，計(jì)算每個(gè)圖形的面積。 ⑵師巡視，看同學(xué)們?cè)谟?jì)算書(shū)三角形和梯形的的面積時(shí)是否注意了“除以2” ⑶指6名學(xué)生板演，集體訂正。 2．練習(xí)十八第15題。生獨(dú)立審題并計(jì)算出三角形的面積，注意單位的換算。 三、課堂練習(xí) 練習(xí)十八第14題 四、攻破難題 1.16題：一個(gè)魚(yú)塘的形狀是梯形，它的上底長(zhǎng)21米，下底長(zhǎng)45米，面積是759平方米。它的高是多少？ 分析與解： �、乓阎菪蔚拿娣e＝（上底＋下底）×高÷2 �、粕系祝碌祝�21＋45＝66米 �、歉撸�759÷66×2＝23米20厘米 2.17題：已知右面梯形的上底 是20厘米，下底是34厘米，其中涂色 部分的面積是340平方厘米。這個(gè)梯形 的面積是多少？34厘米 分析與解：要求梯形的面積，但不知道高。根據(jù)陰影部分是三角形，又知道三角形的面積和底，可以求出它的高，也就是梯形的高，再算出梯形的面積。 高：340×2÷34＝20厘米， 面積：（34＋20）×20÷2＝540平方厘米 3.18題：在下面的`梯形中，剪下一個(gè)最大的三角形，剩下的是什么圖形？剩下的圖形的面積是多少平方厘米？ 15厘米 12厘米 25厘米 分析與解：以下底為底，一上底上的任意一點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)剪下的三角形都是最大的。因?yàn)樗械娜切蔚牡缀透叨紱](méi)有變，剩下的圖形可能是一個(gè)三角形，也可能是兩個(gè)三角形。 �。�15＋25）×12÷2＝240平方厘米 25×12÷2＝150平方厘米 240－150＝90平方厘米 4.思考題4厘米 右圖中，梯形的面積是7212 平方厘米。請(qǐng)你算出陰影厘 部分的面積。米 解法一：先算出沒(méi)有陰影部分 的面積：4×12÷2＝24平方厘米， 再用梯形的面積減去這個(gè)三角形 的面積：72－24＝48平方厘米。 解法二：陰影部分是一個(gè)三角形，這個(gè)三角形的高是12厘米，底與梯形的下底是同一條線段，先算出梯形的下底： 72×2÷12－4＝8厘米 再算陰影部分的面積：8×12÷2＝48平方厘米。 五、作業(yè) 練習(xí)十八11、13題 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) �。薄⒔�(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過(guò)程，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達(dá)能力。 2、 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算 二、學(xué)習(xí)過(guò)程 �。ㄒ唬┳詫W(xué)導(dǎo)航 1、創(chuàng)設(shè)情境 某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長(zhǎng)m米、寬a米的長(zhǎng)方形林區(qū)的長(zhǎng)、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。 這塊林區(qū)現(xiàn)在的長(zhǎng)為 米，寬為 米。因而面積為_(kāi)_______米2。 還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。 由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 = 如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？ 2、概括： 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則： 3、計(jì)算 （1） （2） 4、練一練 �。�1） �。ǘ┖献鞴リP(guān) 1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設(shè)計(jì)一個(gè)準(zhǔn)備臺(tái)，要求四面的過(guò)道寬都為x米，已知廚房的長(zhǎng)寬分別為8米和5米，用代數(shù)式表示該廚房過(guò)道的總面積。 2、解方程 �。ㄈ┻_(dá)標(biāo)訓(xùn)練 1、填空題： �。�1） = = �。�2） = 。 2、計(jì)算 �。�1） （2） （3） (4) �。ㄋ模┨嵘� 1、怎樣進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算？ 2、若 的乘積中不含 和 項(xiàng)，則a= b= 應(yīng)用題 第三十五講 應(yīng)用題 在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧． 當(dāng)今數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問(wèn)題，成為各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一個(gè)熱點(diǎn)． 應(yīng)用性問(wèn)題能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會(huì)，使學(xué)生充分到數(shù)學(xué)與自然和人類社會(huì)的密切聯(lián)系，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心． 解答應(yīng)用性問(wèn)題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．其求解程序如下： 在初中范圍內(nèi)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等． 例題求解 一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題 數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，由于它能夠有效、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法． 【例1】(20xx年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對(duì)5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示： 景點(diǎn)ABCDE 原價(jià)（元）1010152025 現(xiàn)價(jià)（元）55152530 平均日人數(shù)（千人）11232 �。�1）該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門票的平均收費(fèi)不變，平均日總收入持平。問(wèn)風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的？ �。�2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對(duì)于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問(wèn)游客是 怎樣計(jì)算的？ �。�3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際？ 思路點(diǎn)撥 （1）風(fēng)景區(qū)是這樣計(jì)算的： 調(diào)整前的平均價(jià)格： ，設(shè)整后的平均價(jià)格： ∵調(diào)整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數(shù)不變． ∴平均日總收入持平． �。� 2）游客是這樣計(jì)算的： 原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日總收入增加了 �。�3）游客的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際． 二、用方程模型解應(yīng)用題 研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現(xiàn)實(shí)生恬中有關(guān)問(wèn)題常常要用到方程<組)的知識(shí)，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識(shí)和理解現(xiàn)實(shí)世界． 【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了測(cè)試：當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2min內(nèi)可以通過(guò)560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4mln內(nèi)可以通過(guò)800名學(xué)生． (1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過(guò)多少名學(xué)生? (2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過(guò)這4道門安全撤離．假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測(cè)試中通過(guò)的學(xué)生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時(shí)一般問(wèn)什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過(guò)量不小于學(xué)生總數(shù)． (1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過(guò)x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過(guò)y名學(xué)生，由題意得： ,解得： (2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)． 擁擠時(shí)5min4道門能通過(guò)． 5×2(120+80)(1－20％)=1600(名), 因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定． 三、用不等式模型解應(yīng)用題 現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問(wèn)題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對(duì)所研究的問(wèn)題有比較清楚的認(rèn)識(shí)． 【例3】 (蘇州中考題)我國(guó)東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地?cái)M建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)，決定選用A、B兩種型號(hào)的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，根據(jù)產(chǎn)品說(shuō)明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機(jī)在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表： 日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6 日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機(jī)O≥36≥150 B型發(fā)電機(jī)O≥24≥90 根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答： (1)若這個(gè)發(fā)電場(chǎng)購(gòu)x臺(tái)A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)，則預(yù)計(jì)這些A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí)； (2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺(tái)O.3萬(wàn)元，B型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺(tái)O.2萬(wàn)元．該發(fā)電場(chǎng)擬購(gòu)置風(fēng)力發(fā)電機(jī)共10臺(tái)，希望購(gòu)機(jī)的費(fèi)用不超過(guò)2.6萬(wàn)元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請(qǐng)你提供符合條件的購(gòu)機(jī)方案． 根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答： 思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x； (2)設(shè)購(gòu)A型發(fā)電機(jī)x臺(tái)，則購(gòu)B型發(fā)電機(jī)(10—x)臺(tái), 解法一根據(jù)題意得： 解得5≤x ≤6． 故可購(gòu)A型發(fā)電機(jī)5臺(tái)，B型發(fā)電機(jī)5臺(tái)；或購(gòu)A型發(fā)電機(jī)6臺(tái)，B型發(fā)電視4臺(tái)． 四、用函數(shù)知識(shí)解決的應(yīng)用題 函數(shù)類應(yīng)用問(wèn)題主要有以下兩種類型：(1)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式． 【例4】 (揚(yáng)州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤(rùn)楊”報(bào)刊零售點(diǎn)．對(duì)經(jīng)營(yíng)的某種晚報(bào)，楊嫂提供丁如下信息： �、儋I進(jìn)每份0.20元，賣出每份0.30元； ②一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份； ③一個(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同．當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙，以每份0.10元退回給報(bào)社； (1)填表： 一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150 當(dāng)月利潤(rùn)(單位：元) (2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)該種晚報(bào)x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤(rùn)為y元，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤(rùn)的最大值． 思路點(diǎn)撥(1)填表： 一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150 當(dāng)月利潤(rùn)(單位：元)300390 (2)由題意可知，一個(gè)月內(nèi)的20天可獲利潤(rùn)： 20×=2x(元)；其余10天可獲利潤(rùn)： 10=240—x(元)； 故y=x+240，(120≤x≤200)， 當(dāng)x=200時(shí)，月利潤(rùn)y的最大值為440元． 注 根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍． 另外，初三還會(huì)提及統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題． 【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成． �。�1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)． (2)如果請(qǐng)甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用200 0元；如果請(qǐng)乙工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用1400元．在規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A．請(qǐng)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；B．請(qǐng)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工 程； C．請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程．以上方案哪一種花錢最少? 思路點(diǎn)撥 這是一道策略優(yōu)選問(wèn)題．工程問(wèn)題中：工作量=工作效率×工時(shí)． (1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，根據(jù)題意得： , x=30合題意， 所以，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用20天，乙隊(duì)需30天． (2)各種方案所需的費(fèi)用分別為： A．請(qǐng)甲隊(duì)需20xx×20=40000元； B．請(qǐng)乙隊(duì)需1400×30=4200元； C．請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作需(20xx+1400)×12=40800元． 所隊(duì)單獨(dú)請(qǐng)甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢最少． 【例6】 (2全國(guó)聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊(duì)前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達(dá)目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊(duì)行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問(wèn)：科學(xué)考察隊(duì)的生態(tài)區(qū)考察了多少天? 思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵! 設(shè)考察隊(duì)到 生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60， 17x－25y=－1，即25y－17x=1． ① 這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè) 法求出①的一組合題意的解，然后計(jì)算出z的值． 為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負(fù)整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法． 25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25． 與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2． 下面再求出①的合題意的解． 由不定方程的知識(shí)可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t， ∴ x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察的'天數(shù)是23天． 注 本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來(lái)解，希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法． 【例7】 (江蘇省第17屆初中競(jìng)賽題)華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，規(guī)定如下： (1)若一次購(gòu)物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購(gòu)物滿200元，但不超過(guò)500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠； (3)若一次購(gòu)物超過(guò)500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折 優(yōu)惠． 小明兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購(gòu) 買小明分兩次購(gòu)買的同樣多的物品，他需付款多少? 思路點(diǎn)撥 應(yīng)付198元購(gòu)物款討論： 第一次付款198元，可是所購(gòu)物品的實(shí)價(jià)，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論． 情形1 當(dāng)198元為購(gòu)物不打折付的錢時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為198元 ． 又554=450+104，其中450元為購(gòu)物500元打九折付的錢，104元為購(gòu)物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所購(gòu)物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購(gòu)買小呀花198 +630=828(元)所購(gòu)的全部物品，小亮一次性購(gòu)買應(yīng)付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 當(dāng)198元為購(gòu)物打九折付的錢時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購(gòu)220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 綜上所述，小亮一次去超市購(gòu)買小明已購(gòu)的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元 【例8】 (20xx年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2 天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少? 思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問(wèn)題是甲、乙、丙單獨(dú)做各需的天數(shù)及獨(dú)做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮： 設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成． 則 ，解得 再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w元， 則 ，解得 于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是45500×4=182000 (元)． 由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500×6= 177000 (元)． 而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少． 學(xué)歷訓(xùn)練 �。ˋ級(jí)） 1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴(kuò)散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過(guò)氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來(lái)多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液? 2．(山東省競(jìng)賽題)某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水，對(duì)自來(lái)水妁收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過(guò)10t部分按0.45元／噸收費(fèi)；超過(guò)10t而不超過(guò)20t部分按每噸0.8元收費(fèi)；超過(guò)20t部分按每噸1.50元收費(fèi)，某月甲戶比乙戶多繳水費(fèi)7.10元，乙戶比丙戶多繳水費(fèi)3.75元，問(wèn)甲、乙、丙該月各繳水費(fèi)多少?(自來(lái)水按整噸收費(fèi)) 3．(江蘇省競(jìng)賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問(wèn)：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題? 4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問(wèn)選擇哪一種出租車比較合適? (提示：根據(jù)目前出租車管理?xiàng)l例，車型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少) �。˙級(jí)） 1．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺(tái)抽水機(jī)抽水，40min可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺(tái)． 2．(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價(jià)：800元／臺(tái)．甲商場(chǎng)用如下辦法促銷： 購(gòu)買臺(tái)數(shù)1~5臺(tái)6~10臺(tái)11~15臺(tái)16~20臺(tái)20臺(tái)以上 每臺(tái)價(jià)格760元720元680元640元600元 乙商場(chǎng)用如下辦法促銷：每次購(gòu)買1~8臺(tái)，每臺(tái)打九折；每次購(gòu)買9~16臺(tái)，每臺(tái)打八五折； 每次購(gòu)買17~24臺(tái)，每臺(tái)打八折；每次購(gòu)買24臺(tái)以上，每臺(tái)打七五折． （1）請(qǐng)仿照甲商場(chǎng)的促銷列表，列出到乙商場(chǎng)購(gòu)買VCD的購(gòu)買臺(tái)數(shù)與每臺(tái)價(jià)格的對(duì)照表； (2)現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買10臺(tái)VCD，B單位要買16臺(tái)VCD，C單位要買20臺(tái)VCD，問(wèn)他們到哪家商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少? 3．(河北創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題)某錢幣收藏愛(ài)好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請(qǐng)你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案． 4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運(yùn)動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級(jí)到達(dá)扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級(jí))．問(wèn)： (1)扶梯露在外面的部分有多少級(jí)? (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級(jí)數(shù)和扶梯的級(jí)數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級(jí)臺(tái)階? 5．某化肥廠庫(kù)存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問(wèn)在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍． 6．(黃岡競(jìng)賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場(chǎng)，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場(chǎng)．問(wèn)建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運(yùn)輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a 多邊形的邊角與對(duì)角線 j.Co M 第十四講 多邊形的邊角與對(duì)角線 邊、角、對(duì)角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對(duì)角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問(wèn)題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識(shí)． 多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個(gè)常數(shù)，把內(nèi)角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角問(wèn)題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問(wèn)題的常用技巧． 將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)處理是解多邊形問(wèn)題的基本策略，連對(duì)角線或向外補(bǔ)形、對(duì)內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把 凸 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出 對(duì)角線． 例題求解 【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為20xx°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ． (江蘇省競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù) 為 ，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0° 鏈接 世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過(guò)程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些幾何圖形． 【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角為鈍角的個(gè)數(shù)的探討． 【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開(kāi)成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫(huà)出所拼四邊形的示意圖(標(biāo)出圖中直角)，并分別寫(xiě)出所拼四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)． (烏魯木齊市中考題) 思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結(jié)合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對(duì)角線有不同情形． 注 教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個(gè)話題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，“數(shù)學(xué)建�！本褪峭ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)化(引元、畫(huà)圖等)把實(shí)際問(wèn)題特化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)方法(模型)解決問(wèn)題． 本例通過(guò)設(shè)元，把“沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過(guò)不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形． (1)請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫(xiě)表中空格： (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形? (3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請(qǐng)畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說(shuō)明你的理由． (陜西省中考題) 思路點(diǎn)撥 本例主要研究?jī)蓚�(gè)問(wèn)題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開(kāi)放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內(nèi)角的和為360°，這樣，將問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解． 【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'． �。�1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說(shuō)明理由． (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長(zhǎng)比五邊形ABCD正的周長(zhǎng)至少增加25個(gè)單位． (江蘇省競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點(diǎn)分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長(zhǎng)等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長(zhǎng)逼近估算． 1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長(zhǎng)為16cm、寬為12cm的長(zhǎng)方形，再沿對(duì)角線把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來(lái)，其中周長(zhǎng)最大的是 ?，周長(zhǎng)最小的是 cm． (選6《莢國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》) 2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 ． 4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案： (1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊； (2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊． (江西省中考題) 5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 6．一個(gè)凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是( ) A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條 7．有一個(gè)邊長(zhǎng)為4m的正六邊形客廳，用邊長(zhǎng)為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( ) A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 8．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD． �。�1）)畫(huà)出四邊形ABCD； (2)求出四邊形ABCD的對(duì)角線BD的長(zhǎng)． (上海市閔行區(qū)中考題) 9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數(shù)． (北京市競(jìng)賽題) 10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對(duì)邊A3A4的中點(diǎn)，連結(jié)A1B1，我們稱A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對(duì)線，如果五邊形的每條中對(duì)線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對(duì)角線和它平行． (安徽省中考題) 11．如圖，凸四邊形有 個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重慶市競(jìng)賽題) 12．如圖，延長(zhǎng)凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長(zhǎng)凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于 ． ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 13．設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長(zhǎng)是 ；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍． (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) 14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競(jìng)賽題) 15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余(n一1)個(gè)內(nèi)角的和為2750°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長(zhǎng)為( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競(jìng)賽題) 注 按題中的方法'不斷地做下去，就會(huì)成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支． 17．如圖，設(shè)∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山東省競(jìng)賽題) 18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過(guò)45°． 19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，求n． (上海市競(jìng)賽題) 20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長(zhǎng)分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長(zhǎng)． 21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面上的情況，如果折疊起來(lái)，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)而成的，其折疊過(guò)程可由圖2的變換反映出來(lái)． 如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長(zhǎng)時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化? (淄博市中考題) 22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形或正三角形無(wú)重疊、無(wú)間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內(nèi)角的大小，并畫(huà)出這樣的 凸n邊形的草圖． 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科． 幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見(jiàn)的合同變換． 如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換． 平移前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等． 如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角． 旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等． 通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問(wèn)題的條件相對(duì)集中，從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問(wèn)題的解決． 注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關(guān)系，而線段本身的大小要改變． 例題求解 【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ． 思路點(diǎn)撥 通過(guò)旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形． 【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線 段x、m、n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變 思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可． 注 下列情形，常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換： (1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°； (2)圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形； (3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合． 【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對(duì)邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等． (全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換． 注 平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當(dāng)?shù)奈恢�，使分散的條件相對(duì)集中，促使問(wèn)題的解決． 【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過(guò)平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中． 注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識(shí)： (1)兩點(diǎn)間線段最短，垂線段最短； (2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； (3)同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角(大角對(duì)大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角． 【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長(zhǎng)． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形，不能直接應(yīng)用，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ． 2．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ． 3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長(zhǎng)為 ． 4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( ) A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題) 5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè) (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長(zhǎng)為( ) A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題) 7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別為 和 ，對(duì)角線BD、FH都在直線 上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長(zhǎng)叫做兩個(gè)正方形的中心距，當(dāng)中心O2在直線 上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有變化． (1)計(jì)算：O1D= ，O2F= ； (2)當(dāng)中心O2在直線 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ； (3)隨著中心O2在直線 上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)． (徐州市中考題) 8．圖形的操做過(guò)程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長(zhǎng)均為a，豎直 方向的邊長(zhǎng)均為b）： 在圖a中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）； 在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）； �。�1）在圖c中,請(qǐng)你類似地畫(huà)一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫(huà)出陰影； �。�2）請(qǐng)你分別寫(xiě)出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ； �。�3）聯(lián)想與探索： 如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說(shuō)明你的猜想是正確的． (20xx年河北省中考題) 9．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM． 說(shuō)明及要求：本題是《幾何》第二冊(cè)幾15中第13題，現(xiàn)要求： (1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，使A點(diǎn)落在CB上，請(qǐng)對(duì)照原題圖在圖中畫(huà)出符合要求的圖形(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)． (2)在①所得的圖形中，結(jié)論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)在①得到的圖形中，設(shè)MA的延長(zhǎng)線與BN相交于D點(diǎn)，請(qǐng)你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論． 10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2． 11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ． (紹興市中考題) 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無(wú)法確定 13．如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達(dá)到的最大值為( ) A． B． C ．5 D．6 (20xx年武漢市選拔賽試題) 14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC． 15．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長(zhǎng)為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿 ，求△ABC的面積． 16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來(lái)往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來(lái)往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來(lái)往的路程是多少米? (“五羊杯”競(jìng)賽題) 17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ． (1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競(jìng)賽題) 18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值． (2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度也為定值a． (3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長(zhǎng)度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫(xiě)出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由． 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與能力目標(biāo)：通過(guò)學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐推導(dǎo)出平行四邊形面積計(jì)算公式，能正確求平行四邊形的面積。 2、過(guò)程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)操作、觀察、比較，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，滲透轉(zhuǎn)化的思想方法。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、抽象、概括和解決實(shí)際問(wèn)題的能力；使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。 教學(xué)重點(diǎn)： 探究并推導(dǎo)平行四邊形面積的計(jì)算公式，并能正確運(yùn)用。 教學(xué)難點(diǎn)： 平行四邊形面積公式的推導(dǎo)方法――轉(zhuǎn)化與等積變形。 教學(xué)方法： 利用知識(shí)遷移及剪、移、拼的實(shí)際操作來(lái)分解教學(xué)難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理解平行四邊形與長(zhǎng)方形的等積轉(zhuǎn)化，通過(guò)剪、移、拼找出平行四邊形底和高與長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的關(guān)系，把握面積始終不變的特點(diǎn)，歸納出平行四邊形等積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形面積。 教具、學(xué)具準(zhǔn)備： 多媒體課件、平行四邊形紙片、長(zhǎng)方紙卡，剪刀等。 教學(xué)過(guò)程： 一、情境激趣 二、自主探究 古時(shí)候，有一位老地主給他的兩個(gè)兒子分地，大兒子分了一塊長(zhǎng)方形的地，小兒子分得了一塊平行四邊形的地�？墒莾蓚�(gè)兒子都覺(jué)得自己分的地太少，對(duì)方的土地多，為此兩個(gè)兒子爭(zhēng)論不休。老地主十分苦惱，不知如何是好。這個(gè)難題同學(xué)們想想辦法能解決嗎？ 在很久以前，我們的祖先計(jì)算平行四邊形的面積和計(jì)算長(zhǎng)方形的面積一樣，采取了數(shù)方格的方法。老師也為你們準(zhǔn)備了一個(gè)格子圖，你們來(lái)數(shù)一數(shù)它們的面積是多少？ 1、數(shù)方格，比較兩個(gè)圖形面積的大小。 �。�1）提出要求：每個(gè)方格表示1平方厘米，不滿一格的都按半格計(jì)算。 �。�2）小組合作，學(xué)生用數(shù)方格的方法計(jì)算兩個(gè)圖形的面積并填寫(xiě)研究報(bào)告單。 �。�3）反饋匯報(bào)數(shù)的結(jié)果，得出：用數(shù)方格的方法知道了兩個(gè)圖形的面積一樣大。 �。�4）提出問(wèn)題：如果平行四邊形很大，用數(shù)方格的方法麻煩嗎？ （學(xué)生：麻煩，有局限性。） �。�5）觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 出示表格平行四邊形底底邊上的高面積 長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬面積 �。�6）引導(dǎo)學(xué)生交流自己的發(fā)現(xiàn)。 反饋：平行四邊形的底和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等，平行四邊形的高和長(zhǎng)方形的寬相等，平行四邊形的面積和長(zhǎng)方形的面積相等；平行四邊形的面積等于底乘高。 �。�7）提出猜想：猜想：平行四邊形的面積=底高是否適合所有的平行四邊形面積呢？ 2、動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想。 �。�1）提出要求：小組分工合作，利用三角尺、剪刀，動(dòng)手剪一剪、拼一拼，把平行四邊形想辦法轉(zhuǎn)變成一個(gè)長(zhǎng)方形。完成后和小組的同學(xué)互相交流自己的方法。 �。�2）學(xué)生展示，平行四邊形變成長(zhǎng)方形的'方法。（沿著平行四邊形的高將平行四邊形剪成兩個(gè)直角梯形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。） （3）觀察并思考： �、倨闯傻拈L(zhǎng)方形和原來(lái)的平行四邊形比較，什么變了？什么沒(méi)變？ �、谄闯傻拈L(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別與原來(lái)平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？ �。�5）交流反饋，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論 �、傩螤钭兞耍娣e沒(méi)變。 �、谄闯傻拈L(zhǎng)方形，長(zhǎng)與原來(lái)平行四邊形的底相等，寬與原來(lái)平行四邊形的高相等。 �。�6）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式得出平行四邊形面積公式并用字母表示。 觀察面積公式，要求平行四邊形的面積必須知道哪兩個(gè)條件？ �。ㄆ叫兴倪呅蔚牡缀透撸� （7）請(qǐng)大家想一想，我們是怎樣推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式的？ （轉(zhuǎn)化圖形的形狀） �。�8）探究活動(dòng)小結(jié)：我們把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了同它面積相等的長(zhǎng)方形，利用長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式得出了平行四邊的面積等于底乘高，驗(yàn)證了前面的猜想。 3、運(yùn)用公式，解決問(wèn)題。 �。�1）出示例1 例1、學(xué)校1棟樓前停車場(chǎng)，每個(gè)車位都是一個(gè)平行四邊形，它的底是6米，高是4米，一個(gè)車位的面積有多少平方米？ �。�2）學(xué)生獨(dú)立完成并反饋答案。 三、看書(shū)釋疑P79~81 四、鞏固運(yùn)用 1、判斷，平行四邊形面積的概念。 �。�1）、兩個(gè)平行四邊形的高相等，它們的面積就相等（ ） （2）、平行四邊形的高不變，底越長(zhǎng)，它的面積就越大（ ） 。 �。�3）、一個(gè)平行四邊形的底是9厘米，高是3分米，它的面積是27平方厘米。 2、計(jì)算，平行四邊形的面積。 3、拓展1，你有幾種方法求下面圖形的面積？ 4、拓展2 比較，等底等高的平行四邊形的面積。 五、課堂總結(jié) 通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？（學(xué)生自由回答。） 教學(xué)目標(biāo)： 1．使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行四邊形面積的計(jì)算公式，并會(huì)運(yùn)用公式正確地計(jì)算平行四邊形的面積 2．通過(guò)操作、觀察、比較，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思考方法解決問(wèn)題的能力和邏輯思維能力． 3．對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯詐唯物主義觀點(diǎn)的啟蒙教育． 教學(xué)重點(diǎn)： 理解公式并正確計(jì)算平行四邊形的面積． 教學(xué)難點(diǎn)： 理解平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程． 學(xué)具準(zhǔn)備： 每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)平行四邊形。 教學(xué)過(guò)程： 一、導(dǎo)入新課。 1．請(qǐng)同學(xué)翻書(shū)到86頁(yè)，仔細(xì)觀察，找一找圖中有哪些學(xué)過(guò)的圖形？ 2．好，下面誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你找到了哪些學(xué)過(guò)的圖形？ 3．請(qǐng)觀察這兩個(gè)花壇，哪一個(gè)大呢？假如這塊長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)是3米，寬是2米，怎樣計(jì)算它的面積呢？根據(jù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬（板書(shū)），得出長(zhǎng)方形花壇的面積是6平方米，平行四邊形面積我們還沒(méi)有學(xué)過(guò)，所以不能計(jì)算出平行四邊形花壇的面積，這節(jié)課我們就學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算。 二、民主導(dǎo)學(xué) �。ㄒ唬�、數(shù)方格法 用展示臺(tái)出示方格圖 1．這是什么圖形？（長(zhǎng)方形）如果每個(gè)小方格代表1平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？（18平方厘米） 2．這是什么圖形？（平行四邊形）每一個(gè)方格表示1平方厘米，自己數(shù)一數(shù)是多少平方厘米？ 請(qǐng)同學(xué)認(rèn)真觀察一下，平行四邊形在方格紙上出現(xiàn)了不滿一格的，怎么數(shù)呢？可以都按半格計(jì)算。然后指名說(shuō)出數(shù)得的結(jié)果，并說(shuō)一說(shuō)是怎樣數(shù)的。 3．請(qǐng)同學(xué)看方格圖填87頁(yè)最下方的表，填完后請(qǐng)學(xué)生回答發(fā)現(xiàn)了什么？ 小結(jié)：如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別等于平行四邊形的底和高，則它們的面積相等。 �。ǘ┮敫钛a(bǔ)法 以后我們遇到平行四邊形的地、平行四邊形的'零件等等平行四邊形的東西，都像這樣數(shù)方格的方法來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積方不方便？那么我們就要找到一種方便、又有規(guī)律的計(jì)算平行四邊形面積的方法。 �。ㄈ└钛a(bǔ)法 這是一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)同學(xué)們把自己準(zhǔn)備的平行四邊形沿著所作的高剪下來(lái)，自己拼一下，看可以拼成我們以前學(xué)過(guò)的什么圖形？ [教學(xué)目標(biāo)] 1、知識(shí)與技能 直觀地認(rèn)識(shí)平行四邊形 學(xué)會(huì)從各種平面圖或?qū)嵨镏斜嬲J(rèn)平行四邊形 培養(yǎng)初步的觀察能力，空間觀念和動(dòng)手能力。 2、過(guò)程與方法 讓學(xué)生在觀察、操作、合作交流中探索新知 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀 滲透事物之間相互聯(lián)系及轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想。 [教學(xué)重點(diǎn)] 引導(dǎo)學(xué)生直觀的認(rèn)識(shí)平行四邊形 [教學(xué)難點(diǎn)] 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀感知抽象出平行四邊形。 [教學(xué)關(guān)鍵] 在教學(xué)過(guò)程中，盡可能為學(xué)生提供觀察、操作的機(jī)會(huì)，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，使學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)升華為理性認(rèn)識(shí)。 [教學(xué)方法] 演示法、觀察法、操作法等。 [教具準(zhǔn)備] 多媒體課件、可拉動(dòng)的長(zhǎng)方形框架、釘子板，方格紙 [學(xué)具準(zhǔn)備] 可拉動(dòng)的長(zhǎng)方形框架，一張長(zhǎng)方形的.紙。 [教學(xué)過(guò)程] 一、復(fù)習(xí)引入 游戲引入（出示課件） 以“七個(gè)小矮人”中的開(kāi)心果講游戲規(guī)則，老師先發(fā)一些基本圖形給學(xué)生，有三角形、圓形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等，叫到什么圖形的時(shí)候，大一部分同學(xué)就起立把圖形舉高讓大家看，最后，只剩下平行四邊形沒(méi)有叫著，揭示課題：今天我們就來(lái)認(rèn)識(shí)這一種新的四邊形。 板書(shū)課題：平行四邊形 二、探索新知 1、觀察感知（課件展示） 教學(xué)例1：課件出示生活中的實(shí)物圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組交流討論，這些圖形都有什么共同點(diǎn)？ 交流抽象：在小組討論的基礎(chǔ)上進(jìn)行全班交流，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：以上的圖形都含有，指出這種圖形就是我們今天要認(rèn)識(shí)的平行四邊形，課件出示平行四邊形的圖和文字。 2、操作感知 教學(xué)例2 拉一拉： �、拍隳馨验L(zhǎng)方形變成平行四邊形嗎？你是怎樣變的？捏住長(zhǎng)方形的兩個(gè)對(duì)角，向相反的方向拉動(dòng)，這樣就變成了一個(gè)平行四邊形。在學(xué)生獨(dú)立操作、感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作、交流：長(zhǎng)方形有什么變化？ 全班交流時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：通過(guò)拉動(dòng)長(zhǎng)方形框架使它變成了平行四邊形，在拉動(dòng)的過(guò)程中，四條邊的長(zhǎng)短不變，所以平行四邊形的對(duì)邊相等；四個(gè)角變了，原來(lái)是四個(gè)直角，拉成平行四邊形后，四個(gè)角分別變成了兩個(gè)銳角和兩個(gè)鈍角。 �、普f(shuō)一說(shuō)，長(zhǎng)方形和平行四邊形有什么區(qū)別？（長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，平行四邊形的角不是。初步理解長(zhǎng)方形是一種特殊的平行四邊形） �、钦f(shuō)一說(shuō)平行四邊形有什么特點(diǎn)？ 平行四邊形有四條邊，對(duì)邊相等，有四個(gè)角，對(duì)角相等。 三、動(dòng)手實(shí)踐 1、圍一圍： 你能根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)，在釘子板上圍一個(gè)平行四邊形嗎？試試看 2、涂一涂： 把下面的圖形是平行四邊形的涂上自己喜歡的顏色（106頁(yè)課堂活動(dòng)的第2題） 3、剪一剪 �、耪�(qǐng)?jiān)陂L(zhǎng)方形紙上剪出一個(gè)平行四邊形。（注意先要照著書(shū)上的方法，對(duì)折，再對(duì)折，然后把其中的兩個(gè)長(zhǎng)方形再對(duì)折，剪去其中的一個(gè)三角形。教師要引導(dǎo)學(xué)生怎樣折紙） 四、知識(shí)拓展 讓學(xué)生用七巧板拼擺出自己喜歡的各種圖形，發(fā)展他們的創(chuàng)新思維和求異思維，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。 五、全課小結(jié) 通過(guò)我們的觀察、動(dòng)手操作、小組合作等，我們已經(jīng)知道了平行四邊形的奧秘，你有什么收獲？還有什么不懂得地方？ 其實(shí)生活中無(wú)處不有我們的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要我們做生活的有心人，你就會(huì)真正成為數(shù)學(xué)和生活的主人？ [板書(shū)設(shè)計(jì)] 平行四邊形 有四條邊，對(duì)邊相等 有四個(gè)角，對(duì)角相等 教學(xué)內(nèi)容： 人教版五年級(jí)上冊(cè)第六單元86頁(yè)---88頁(yè)， 教學(xué)目標(biāo)： 1、通過(guò)學(xué)生自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，突出平行四邊形面積公式，能正確運(yùn)用平行四邊形的面積公式進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。 2、 讓學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)操作觀察比較等活動(dòng)初步認(rèn)識(shí)，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。 3、培養(yǎng)學(xué)生，觀察分析，概括推導(dǎo)，和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 4、使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的'聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。 教學(xué)重點(diǎn)： 理解，并掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式，會(huì)計(jì)算平行四邊形的面積， 教學(xué)難點(diǎn)： 通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法理解平行四邊形的面積計(jì)算公式、 教學(xué)過(guò)程： 一、回憶舊知，談話導(dǎo)入 1、今天我們來(lái)平行四邊形面積的計(jì)算，在以前我們學(xué)過(guò)哪些圖形面積的計(jì)算?(長(zhǎng)方形和正方形)是怎樣算的呢? 2、出示，方格紙中的長(zhǎng)方形，每小格代表1平方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方形的面積怎樣計(jì)算呢? 教材分析 “平行四邊形的面積”是本冊(cè)書(shū)第五單元“多邊形的面積的計(jì)算”第一小節(jié)的內(nèi)容。前面學(xué)過(guò)了長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算，平行四邊形和三角形的特征及底和高的概念，幾何圖形的認(rèn)識(shí)貫穿在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，并且是按照從易到難的順序呈現(xiàn)的。所以，要使學(xué)生理解掌握好平行四邊形面積公式，必須以長(zhǎng)方形的面積和平行四邊形的底和高為基礎(chǔ)，而且這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)運(yùn)用會(huì)為學(xué)生學(xué)習(xí)后面的三角形、梯形等平面圖形的面積奠定良好的基礎(chǔ) 學(xué)情分析 1. 學(xué)生已經(jīng)掌握了平行四邊形的特征和長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法。這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。 2. 但是小學(xué)生的空間想象力不夠豐富，對(duì)平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)有一定的困難。因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)就要讓學(xué)生充分利用好已有知識(shí)，調(diào)動(dòng)他們多種感官全面參與新知的發(fā)生發(fā)展和形成過(guò)程。 教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能目標(biāo)：了解平行四邊形面積的含義，掌握平行四邊形面積的計(jì)算公式，會(huì)計(jì)算平行四邊形的面積并能解決實(shí)際中的問(wèn)題。 2.過(guò)程與方法目標(biāo)： �。�1）通過(guò)操作、觀察、討論、比較活動(dòng)，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)圖形轉(zhuǎn)化來(lái)計(jì)算平行四邊形面積的過(guò)程。 �。�2）通過(guò)平行四邊形面積公式推導(dǎo)過(guò)程的講解，培養(yǎng)學(xué)生在動(dòng)手操作、探索的過(guò)程中形成觀察、分析、概括、推導(dǎo)能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。 3.情感目標(biāo)：通過(guò)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探索的精神，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式，并能正確運(yùn)用。 難點(diǎn)：把平行四邊轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，找到長(zhǎng)方形與平行四邊形的關(guān)系，從而順利推倒出平行四邊形面積計(jì)算公式。 教學(xué)過(guò)程 （一）情境引入，以舊探新 這是一幅街區(qū)圖，上部是住宅小區(qū)，中部是街道，下部是學(xué)校的大門內(nèi)外，圖上的學(xué)校將是我們城關(guān)一小未來(lái)的面貌。為了使我們的學(xué)校變得更美麗，學(xué)校準(zhǔn)備在大門前修建兩個(gè)花壇，那要考慮什么實(shí)際問(wèn)題呢？（修多大的花壇，也就是要計(jì)算它們的面積有多大）。（課件依次出現(xiàn)） 這塊花壇既不是長(zhǎng)方形也不是正方形，如何求出這塊地的面積？ 為了解決上面的問(wèn)題我們必須知道如何計(jì)算一個(gè)平行四邊形的面積，今天我們就來(lái)一起學(xué)習(xí)平行四邊形的面積。（板書(shū)：平行四邊形的.面積） (二)自主探究 方法一：用數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積 以前我們用數(shù)方格的方法求長(zhǎng)方形的面積。今天，我們也用同樣的方法求平行四邊形的面積。（出示課前準(zhǔn)備好的方格紙，每個(gè)方格按1㎡） 1.用方格紙制作成的平行四邊形放在邊長(zhǎng)是1米的方格中，數(shù)一數(shù)占幾個(gè)方格（不滿一格按半格計(jì)算）平行四邊形的面積就是幾平方米。這塊空地的面積是24平方米。 根據(jù)這個(gè)例子，讓同學(xué)將書(shū)本80頁(yè)下面的表格補(bǔ)充完整，也會(huì)發(fā)現(xiàn)上面的規(guī)律！ 2.填表并討論：用數(shù)方格的方法可以得到了一個(gè)平行四邊形的面積，但是這個(gè)方法比較麻煩，也不是處處適用。 �。�1）觀察上表你發(fā)現(xiàn)了什么？（觀察得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和平行四邊形的底相等，長(zhǎng)方形的寬和平行四邊形的高相等，它們的面積也相等，） �。�2）根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)你能想到什么?(平行四邊形的面積就等于底乘高) �。ㄈ﹦�(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想，得出結(jié)論 方法二：“割補(bǔ)”法：通過(guò)數(shù)方格我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積等于底乘高，是不是所有平行四邊形的面積都可以用底乘高來(lái)進(jìn)行計(jì)算呢?這就是我們這節(jié)課要研究的中心內(nèi)容：平行四邊形面積的計(jì)算。 1.提出假設(shè)：能不能把它轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形呢？（用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形） 2.動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：（1）提出要求：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的多個(gè)平行四邊形紙片及剪刀，自己動(dòng)手，運(yùn)用所學(xué)過(guò)的割補(bǔ)法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。那樣的話我們就能不用方格就可以算出平行四邊形的面積了。（在操作過(guò)程中教會(huì)學(xué)生運(yùn)用了一種重要的數(shù)學(xué)方法“轉(zhuǎn)化”，就是把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)方形，“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在以后學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到。） （2）學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作，教師巡視指導(dǎo)。 3.小組討論：觀察拼出來(lái)的長(zhǎng)方形和原來(lái)的平行四邊形你發(fā)現(xiàn)了什么？ �。�1）平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形后，什么變了？什么沒(méi)變？（形狀變了，面積沒(méi)變） �。�2）剪拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？（長(zhǎng)與原來(lái)平行四邊形的底相等，寬與原來(lái)平行四邊形的高相等。） �。�3）剪拼成的長(zhǎng)方形面積怎樣計(jì)算？得出：（面積=長(zhǎng)×寬） �。�4）平行四邊形的面積公式怎樣表示？為什么？（平行四邊形的面積=底×高） 4.全班交流推導(dǎo)公式： �。�1）誰(shuí)愿意把你的轉(zhuǎn)化方法說(shuō)給大家聽(tīng)呢？請(qǐng)上臺(tái)來(lái)交流！ �。�2）有沒(méi)有不同的剪拼方法？（繼續(xù)請(qǐng)同學(xué)演示）。 研究得出：沿著平行四邊形的任意一條高剪開(kāi)，都可以通過(guò)平移把平行四邊形拼合成一個(gè)長(zhǎng)方形。 �。�3）板書(shū)平行四邊形面積推導(dǎo)過(guò)程 �。�4）字母公式：在數(shù)學(xué)中一般用S表示圖形的面積，a表示圖形的底，h表示圖形的高，那么平行四邊形的面積計(jì)算公式用字母表示出來(lái)就是S=ah 三、運(yùn)用公式，解決實(shí)際問(wèn)題 知道了平行四邊形的面積公式，我們就可以利用它方便地計(jì)算平行四邊形的面積了。 1.出示書(shū)上８2頁(yè)的1題，請(qǐng)大家做一做。 2.匯報(bào)交流：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你是怎么做的？ 3.強(qiáng)化認(rèn)識(shí)：那請(qǐng)大家想一想，要求平行四邊形的面積，我們必須知道哪些條件？（底和高，強(qiáng)調(diào)高是底邊上的高） 四、鞏固練習(xí) 1、試一試 計(jì)算下列平行四邊形的面積，與同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的方法。 35cm 20dm 4.8m 26cm 28dm 5m 公式： 公式： 公式： 列式： 列式： 列式： 2、我能填得準(zhǔn)。 �。�1）平行四邊形的面積公式用字母表示為（ ）。 （2）一個(gè)平行四邊形的底是9cm，對(duì)應(yīng)的高是4cm，面積是（ ）。 五、課堂總結(jié) 反思一下剛才我們的學(xué)習(xí)過(guò)程，你有什么收獲？ 【平行四邊形教案】相關(guān)文章： 平行四邊形教案04-01 《平行四邊形的判定》教案06-03 認(rèn)識(shí)平行四邊形教案03-05 平行四邊形面積教案02-09 《平行四邊形的面積》教案02-17 平行四邊形的面積教案11-27 平行四邊形和梯形教案03-11 平行四邊形面積的計(jì)算教案03-03平行四邊形教案 篇3
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