2017蘭州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
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2017蘭州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù) 滿足 ，則 的實(shí)部為( )
A. B. C.1 D.
3.設(shè)向量 ， ，則“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.若等比數(shù)列 的各項(xiàng)都是正數(shù)，且 成等差數(shù)列，則 ( )
A. B. C. D.
5.某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是( )
A. 2014 B.2015 C. 2016 D.2017
6.已知 ， ， 的坐標(biāo) 滿足 ，則 面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
8.某幾何體的三視圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是( )
�、僭搸缀误w的體積為 ;
②該幾何體為正三棱錐;
�、墼搸缀误w的表面積為 ;
�、茉搸缀误w外接球的表面積為 .
A.①②③ B.①②④ C. ①③④ D.②③④
9.若直線 把圓 分成面積相等的兩部分，則當(dāng) 取得最大值時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線 的距離是( )
A. 4 B. C. 2 D.
10.已知長(zhǎng)方體 中， ， 與底面 所成的角分別為 和 ，則異面直線 和 所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
11.已知 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，以 為直徑的圓與雙曲線右支的一個(gè)交點(diǎn)為 ， 與雙曲線相交于點(diǎn) ，且 ，則該雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D.
12.已知 ，定義運(yùn)算“ ”： ，函數(shù) ， ，若方程 只有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.若 ， ，則 .
14.觀察下列式子：1， ， ， ，…，由以上可推測(cè)出一個(gè)一般性結(jié)論：對(duì)于 ，則 .
15.已知函數(shù)：① ;② ;③ ;④ .其中，最小正周期為 且圖象關(guān)于直線 對(duì)稱的函數(shù)序號(hào)是 .
16.已知定義域?yàn)?的函數(shù) 滿足 ，當(dāng) 時(shí)， ，設(shè) 在 上的最大值為 ，且數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則 .
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17. 在 中， 的對(duì)邊分別為 ，若 .
(1)求角 ;
(2)如果 ，求 面積的最大值.
18. 現(xiàn)如今，“網(wǎng)購(gòu)”一詞不再新鮮，越來(lái)越多的人已經(jīng)接受并喜歡了這種購(gòu)物方式，但隨之也出現(xiàn)了商品質(zhì)量不能保證與信譽(yù)不好等問(wèn)題，因此，相關(guān)管理部門(mén)制定了針對(duì)商品質(zhì)量與服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出成功交易200例，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.
(1)依據(jù)題中的數(shù)據(jù)完成下表，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，能否有99.9%的把握認(rèn)為“商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)”有關(guān);
(2)若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行了5次購(gòu)物，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量 ，求 的分布列(概率用算式表示)、數(shù)學(xué)期望和方差.
19. 如圖所示的空間幾何體 中，四邊形 是邊長(zhǎng)為2的正方形， 平面 ， ， ， ， .
(1)求證：平面 平面 ;
(2)求平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值.
20. 已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，左頂點(diǎn)為 ，左焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在橢圓 上，直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，直線 分別與 軸交于點(diǎn) .
(1)求橢圓 的方程;
(2)以 為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21. 已知函數(shù) 在 處的切線方程為 .
(1)求實(shí)數(shù) 的值;
(2)設(shè) ，若 ，且 對(duì)任意的 恒成立，求 的最大值.
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) ，曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn) 的極坐標(biāo)為 ，直線 的極坐標(biāo)方程為 ，且 過(guò)點(diǎn) ;過(guò)點(diǎn) 與直線 平行的直線為 ， 與曲線 相交于兩點(diǎn) .
(1)求曲線 上的點(diǎn)到直線 距離的最小值;
(2)求 的值.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，解關(guān)于 的不等式 ;
(2)若函數(shù) 存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
2017蘭州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D C C D B D A A B
二、填空題
13. 14. 15. ② 16.
三、解答題
17. 解：(Ⅰ)∵ ，即
∴ 又∵ ∴
由于 為三角形內(nèi)角，故
(Ⅱ)在 中，由余弦定理得 ，所以
∵ ∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立
∴ 的`面積
∴ 面積的最大值為
18. 解：(Ⅰ) 根據(jù)題中條件可得關(guān)于商品和服務(wù)的 列聯(lián)表：
對(duì)服務(wù)好評(píng) 對(duì)服務(wù)不滿意 合計(jì)
對(duì)商品好評(píng)
對(duì)商品不滿意
合計(jì)
因此，有 %的把握認(rèn)為“商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)”有關(guān).
(Ⅱ)由題可得，每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都好評(píng)的概率為
的所有可能的取值為 ，則 ～ ，
所以 ， ， ，
， ，
分布列為：
由于 ～ ，
所以 ，
19. 解：(Ⅰ)證明：連接 交 于點(diǎn) ，則
設(shè) ， 的中點(diǎn)分別為 ， ，連接 ，則 ∥ ，
連接 ， ，則 ∥ 且 ，所以 ∥ ，所以 ∥
由于 平面 ，所以
所以 ， ，所以 平面
所以平面 平面
(Ⅱ)解法一：∵ ∥ ，∴ ∥
∴平面 與平面 所成的銳二面角即為平面 與平面 所成的銳二面角
連接 ，∵ 平面 ， ∴
∴ 為平面 與平面 所成二面角的一個(gè)平面角
∵ ， ∴
∴
即平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值為
解法二：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 ，
則 ，
依題意 為平面 的一個(gè)法向量，
設(shè) 為平面 的一個(gè)法向量，則
即 令 ，
則 ，所以
設(shè)平面 與平面 所成的銳二面角為 ，則
即平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值為
20. 解：(Ⅰ) 設(shè)橢圓 的方程為
∵橢圓的左焦點(diǎn)為 ， ∴ .
∵點(diǎn) 在橢圓 上， ∴ .
解得， ， .所以橢圓 的方程為 .
(Ⅱ)依題意點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，設(shè) (不妨設(shè) )，則
由 得
所以直線 的方程為
直線 的方程為
所以 ，
所以，
設(shè) 的中點(diǎn)為 ，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則以 為直徑的圓的方程為
，即
令 得 或 ，
即以 為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn) ，
21. 解：(Ⅰ) ，
所以 且 ， 解得 ，
(Ⅱ)由(Ⅰ)與題意知 對(duì)任意的 恒成立，
設(shè) ，則 ，
令 ，則 ，
所以函數(shù) 為 上的增函數(shù).
因?yàn)?，
所以函數(shù) 在 上有唯一零點(diǎn) ，即有 成立，
所以
故當(dāng) 時(shí)， ，即 ;當(dāng) 時(shí)， ，即
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增
所以
所以 ，因?yàn)?，所以 ，又因
所以 最大值為
22. 解：(Ⅰ)因?yàn)?，且 ，所以 ，即
所以直線 的極坐標(biāo)方程為
所以
即直線 的直角坐標(biāo)方程為
設(shè)曲線 上的點(diǎn)到直線 距離為 ，則
所以曲線 上的點(diǎn)到直線 距離的最小值為
(Ⅱ)設(shè) 的方程為 ，由于 過(guò)點(diǎn) ，所以 ，所以 的方程為
故 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，曲線 的普通方程為
所以 ，即有
所以
所以
23.解：(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，不等式為
即 或 或
解得： 或
所以所求不等式的解集為 ……………5分
(Ⅱ)函數(shù) 存在零點(diǎn)等價(jià)為關(guān)于 的方程 有解
因?yàn)?/p>
所以 ，即
解得
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是
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