2017湖南省郴州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
高考數(shù)學(xué)選擇題主要考察考生基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握、基本解題技能的熟練與運(yùn)用,所以我們應(yīng)該通過多做數(shù)學(xué)高考模擬試卷來提升自己的熟練度，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2017湖南省郴州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能幫到你。
2017湖南省郴州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x>0}，則A∩B=( )
A.(2，4] B.[2，4] C.{0，3，4} D.{3，4}
2.設(shè)z=1﹣i(i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為 ，則向量 的模是( )
A.1 B. C. D.2
3.《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一段表述：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14 B.12 C.8 D.10
4.運(yùn)行如圖所示的程序，若輸入x的值為256，則輸出的y值是( )
A. B.﹣3 C.3 D.
5.某地市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知p(80<ξ≤100)=0.35，若按成績(jī)分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取( )
A.5份 B.10份 C.15份 D.20份
6.已知函數(shù)f(x)= sinx+3cosx，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥ 的概率為( )
A. B. C. D.
7.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則下面的四個(gè)值中不為定值的是( )
A.點(diǎn)Q到平面PEF的距離 B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
8.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為 ，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣1=0對(duì)稱，則橢圓C的方程為( )
A. B.
C. D.
9.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)，f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(α)=0，f'(α)>0，且f(x)在區(qū)間[α， +α)上沒有最小值，則ω取值范圍是( )
A.(0，2) B.(0，3] C.(2，3] D.(2，+∞)
10.如圖，在邊長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形ABCD中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量 =m +n (m，n為實(shí)數(shù))，則m+n的取值范圍是( )
A. B. C. D.
11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B. C.4π D.
12.已知函數(shù) ，若存在k使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.(0，1] C.[0，1] D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為 .
14.已知 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中含x的系數(shù)為 .
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對(duì)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，平面內(nèi)有一點(diǎn)D使得 ，則 = .
16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N+，Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3且(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗(yàn)算過程.
17.(12分)如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC= ，D是邊AB上一點(diǎn).
(1)求△ABC面積的最大值;
(2)若CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，求BC的長(zhǎng).
18.(12分)2017年郴州市兩會(huì)召開前夕，某網(wǎng)站推出兩會(huì)熱點(diǎn)大型調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，民生問題時(shí)百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%，現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25)，第2組[25，35)，第3組[35，45)，第4組[45，55)，第5組[55，65)，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出頻率分布直方圖中的a值，并求出這200的平均年齡;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率;
(3)若要從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中隨機(jī)選出3人，記關(guān)注民生問題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
19.(12分)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.
(Ⅰ)求證：直線l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余?若存在，求出|AQ|的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
20.(12分)已知拋物線E：y2=8x，圓M：(x﹣2)2+y2=4，點(diǎn)N為拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點(diǎn)Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點(diǎn)，求△QAB面積的最小值.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx.
(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)在 上的最小值;
(3)記函數(shù)y=f(x)的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂直交曲線C于點(diǎn)N，判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由.
[選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)系]
22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線l與x軸的交點(diǎn)為P，求|PM|•|PN|的值.
[選修4-5：不等式選講]
23.在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，y2)之間的“直角距離”為L(zhǎng)(P，Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知點(diǎn)A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三點(diǎn).
(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恒成立，求t的最小值.
2017湖南省郴州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x>0}，則A∩B=( )
A.(2，4] B.[2，4] C.{0，3，4} D.{3，4}
【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.
【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集即可.
【解答】解：由B中不等式變形得：x(x﹣2)>0，
解得：x<0或x>2，即B=(﹣∞，0)∪(2，+∞)，
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={3，4}，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.
2.設(shè)z=1﹣i(i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為 ，則向量 的模是( )
A.1 B. C. D.2
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模.
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù) ，然后求解向量 的模.
【解答】解：z=1﹣i(i是虛數(shù)單位)，
復(fù)數(shù) = = =1﹣i.
向量 的模： = .
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.
3.《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一段表述：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14 B.12 C.8 D.10
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】設(shè)第一層有a盞燈，則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果.
【解答】解：設(shè)第一層有a盞燈，
則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，
∴ =381，
解得a1=192，
∴a5=a1×( )4=192× =12，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頂層有幾盞燈的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
4.運(yùn)行如圖所示的程序，若輸入x的值為256，則輸出的y值是( )
A. B.﹣3 C.3 D.
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】由程序框圖依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果，直到滿足條件x≤2時(shí)，計(jì)算y的值.
【解答】解：輸入x=256>2，x=log2256=8，
x=8>2，x=log28=3，
x=3>2，x=log23<2，
此時(shí)y= = ，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題是循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，解答的關(guān)鍵是讀懂框圖的流程.
5.某地市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知p(80<ξ≤100)=0.35，若按成績(jī)分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取( )
A.5份 B.10份 C.15份 D.20份
【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.
【分析】由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得120分以上的概率，乘以100可得.
【解答】解：∵數(shù)學(xué)成績(jī)ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，P(80<ξ≤100)=0.35，
∴P(80<ξ≤120)=2×0.35=0.70，
∴P(ξ>120)= (1﹣0.70)=0.15，
∴100×0.15=15，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.
6.已知函數(shù)f(x)= sinx+3cosx，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥ 的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】幾何概型.
【分析】利用三角函數(shù)的輔助角公式求出當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥ 的等價(jià)條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵ sinx+3cosx=2 sin(x+ )≥ ，
∴sin(x+ )≥ ，
∵x∈[0，π]，x+ ∈[ ， ]，
∴ ≤x+ ≤ ，
∴0≤x≤ ，
∴發(fā)生的概率為P= ，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，利用輔助角公式求出不等式的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵.
7.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則下面的四個(gè)值中不為定值的是( )
A.點(diǎn)Q到平面PEF的距離 B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可以判斷A答案的對(duì)錯(cuò);根據(jù)線面角的定義，可以判斷C的對(duì)錯(cuò);根據(jù)等底同高的三角形面積相等及A的結(jié)論結(jié)合棱錐的體積公式，可判斷B的對(duì)錯(cuò);根據(jù)二面角的定義可以判斷D的對(duì)錯(cuò)，進(jìn)而得到答案.
【解答】解：A中，取B1C1的中點(diǎn)M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF為定值;
B中，∵P是動(dòng)點(diǎn)，EF也是動(dòng)點(diǎn)，推不出定值的結(jié)論，∴就不是定值.∴直線PE與平面QEF所成的角不是定值;
C中，∵△QEF的面積是定值.(∵EF定長(zhǎng)，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長(zhǎng)，即底和高都是定值)，
再根據(jù)A的結(jié)論P(yáng)到QEF平面的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定.∴三棱錐P﹣QEF的體積是定值;
D中，∵A1B1∥CD，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E、F為CD上任意兩點(diǎn)，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小為定值.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點(diǎn)到平面的距離，其中兩線平行時(shí)，一條線的上的點(diǎn)到另一條直線的距離相等，線面平行時(shí)直線上到點(diǎn)到平面的距離相等，平面平行時(shí)一個(gè)平面上的點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.
8.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為 ，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣1=0對(duì)稱，則橢圓C的方程為( )
A. B.
C. D.
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】由橢圓的離心率，求得b=c，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成x2+2y2=2b2，求得右焦點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣1=0對(duì)稱的點(diǎn)，代入橢圓方程，即可求得b和a的值，求得橢圓方程.
【解答】解：由橢圓的離心率e= = ，則a= c，
由b2=a2﹣c2=c2，則b=c，
則設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，
∴右焦點(diǎn)(b，0)關(guān)于l：y=﹣x+1的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x′，y′)，則 ，解得 ，
由點(diǎn)(1，1﹣b)在橢圓上，得1+2(1﹣b)2=2b2，b2= ，a2= ，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.
9.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)，f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(α)=0，f'(α)>0，且f(x)在區(qū)間[α， +α)上沒有最小值，則ω取值范圍是( )
A.(0，2) B.(0，3] C.(2，3] D.(2，+∞)
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】由題意， < ≤ T，即可得出結(jié)論.
【解答】解：由題意，f(α)=0，f'(α)>0，
且f(x)在區(qū)間[α， +α)上沒有最小值，
∴ < ≤ T，
∴ < ≤ • ，
∴2<ω≤3，
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
10.如圖，在邊長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形ABCD中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量 =m +n (m，n為實(shí)數(shù))，則m+n的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.
【分析】如圖所示， =( 4，0)， =(0，4).可得 =m +n =( 4m，4n).當(dāng)圓心為點(diǎn)B時(shí)，AP與⊙B相切且點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，P( 4﹣ ，﹣ ).
此時(shí)m+n取得最小值;當(dāng)圓心為點(diǎn)C時(shí)，AP經(jīng)過圓心時(shí)，P( ， ).此時(shí)m+n取得最大值.
【解答】解：如圖所示，邊長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形ABCD中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，向量 =m +n (m，n為實(shí)數(shù)); =( 4，0)， =(0，4).可得 =m +n =( 4m，4n).
當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，如圖：P( ， ).
此時(shí)m+n取得最大值：4m+4n=8+ ，可得m+n=2+ .
當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)B時(shí)，AP與⊙B相切且點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，P( 4﹣ ，﹣ ).
此時(shí)，4m+4n=4﹣ ，m+n取得最小值為：1﹣ ;
∴則m+n的取值范圍為 .
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B. C.4π D.
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖知該幾何體為四棱錐側(cè)面為左視圖，PE⊥平面ABC，E、F分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長(zhǎng)是2的正方形，設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2+2=1+(2﹣h)2，求出h，并求出球的半徑，利用球的表面積公式求解.
【解答】解：由三視圖知該幾何體為四棱錐側(cè)面為左視圖，
PE⊥平面ABC，E、F分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，
底面ABCD是邊長(zhǎng)是2的正方形，
設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h，
則h2+2=1+(2﹣h)2，
∴h= ，R2= ，
∴幾何體的外接球的表面積S=4πR2= π，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求幾何體外接球的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體以及正確確定外接球球心的位置是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力.
12.已知函數(shù) ，若存在k使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.(0，1] C.[0，1] D.
【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】畫出函數(shù)f(x)中兩個(gè)函數(shù)解析式對(duì)稱的圖象，然后求出能使函數(shù)值為2的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解答】解：∵函數(shù) ，∴函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示：
∴函數(shù)f(x)在[﹣1，k)上為減函數(shù)，在[k，a]先減后增函數(shù)，
當(dāng)﹣1
由于當(dāng)x=1時(shí)，﹣x3﹣3x+2=0，
當(dāng)x=a(a≥1)時(shí)，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a
故若存在k使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，2]，
則a∈[1， ]，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為 .
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】設(shè)雙曲線方程，由題意可得丨AB丨= =2×2a，求得b2=2a2，根據(jù)雙曲線的離心率公式e= = ，即可求得C的離心率.
【解答】解：設(shè)雙曲線方程： (a>0，b>0)，
由題意可知，將x=c代入，解得：y=± ，
則丨AB丨= ，
由丨AB丨=2×2a，
則b2=2a2，
∴雙曲線離心率e= = = ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
14.已知 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中含x的系數(shù)為 ﹣41 .
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和2求得m的值，再把二項(xiàng)式展開，求得該展開式中含x的系數(shù).
【解答】解：∵已知 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為m+1=2，∴m=1，
∴ =(x+ )•( •(2x)5﹣ •(2x)4+ •(2x)3﹣ •(2x)2+ •2x﹣ )，
則該展開式中含x的系數(shù)為﹣ ﹣ •4=﹣41，
故答案為：﹣41.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對(duì)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，平面內(nèi)有一點(diǎn)D使得 ，則 = 6 .
【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.
【分析】據(jù)題意，可分別以邊CB，CA所在直線為x軸，y軸，建立一平面直角坐標(biāo)系，得到A(0，3)，并設(shè)M(x，y)，D(x′，y′)，B(b，0)，這樣根據(jù)條件 即可得到 ，即得到 ，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出 的值.
【解答】解：根據(jù)題意，分別以CB，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：
A(0，3)，設(shè)M(x，y)，B(b，0)，D(x′，y′);
∴由 得：
3(x′﹣x，y′﹣y)=(b﹣x，﹣y)+2(﹣x，3﹣y);
∴ ;
∴ ;
∴ .
故答案為：6.
【點(diǎn)評(píng)】考查通過建立平面直角坐標(biāo)系解決向量問題的方法，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算.
16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N+，Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3且(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 (﹣ ， ) .
【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.
【分析】由數(shù)列遞推式求出首項(xiàng)，寫出n≥2時(shí)的遞推式，作差后對(duì)n分偶數(shù)和奇數(shù)討論，求出數(shù)列通項(xiàng)公式，可得函數(shù)an= ﹣1(n為正奇數(shù))為減函數(shù)，最大值為a1=﹣ ，函數(shù)an=3﹣ (n為正偶數(shù))為增函數(shù)，最小值為a2= ，再由(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【解答】解：由Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3，得a1=﹣ ;
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=(﹣1)nan+ +n﹣3﹣(﹣1)n﹣1an﹣1﹣ ﹣(n﹣1)+3
=(﹣1)nan+(﹣1)nan﹣1﹣ +1，
若n為偶數(shù)，則an﹣1= ﹣1，∴an= ﹣1(n為正奇數(shù));
若n為奇數(shù)，則an﹣1=﹣2an﹣ +1=2( ﹣1)﹣ +1=3﹣ ，
∴an=3﹣ (n為正偶數(shù)).
函數(shù)an= ﹣1(n為正奇數(shù))為減函數(shù)，最大值為a1=﹣ ，
函數(shù)an=3﹣ (n為正偶數(shù))為增函數(shù)，最小值為a2= ，
若(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立，
則a1
故答案為：(﹣ ， ).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.
三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗(yàn)算過程.
17.(12分)(2017•郴州三模)如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC= ，D是邊AB上一點(diǎn).
(1)求△ABC面積的最大值;
(2)若CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，求BC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由已知及余弦定理，基本不等式可得 ，利用三角形面積公式即可得解△ABC的面積的最大值.
(2)設(shè)∠ACD=θ，利用三角形面積公式可解得 ，可求 ，由余弦定理得即可解得AD的值，利用正弦定理可求sinA，進(jìn)而利用正弦定理可求BC的值.
【解答】(本題滿分為12分)
解：(1)∵ ，
∴由余弦定理可得： …(2分)
∴ ，…(4分)
∴ ，
所以△ABC的面積的最大值為 …(6分)
(2)設(shè)∠ACD=θ，在△ACD中， ，
∴ ，解得： ，∴ …(7分)
由余弦定理得： ，
∴ ，…(9分)
∵ ，∴ ，
∴ ，此時(shí) ，
∴ .…(12分)
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.
18.(12分)(2017•郴州三模)2017年郴州市兩會(huì)召開前夕，某網(wǎng)站推出兩會(huì)熱點(diǎn)大型調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，民生問題時(shí)百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%，現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25)，第2組[25，35)，第3組[35，45)，第4組[45，55)，第5組[55，65)，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出頻率分布直方圖中的a值，并求出這200的平均年齡;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率;
(3)若要從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中隨機(jī)選出3人，記關(guān)注民生問題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;頻率分布直方圖;離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(1)由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a.
(2)分層抽樣的方法在第3組中應(yīng)抽取7人，設(shè)事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率.
(3)X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B(3， )，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解答】解：(1)由頻率分布直方圖得：
(0.01+0.015+0.03+a+0.01)×10=1，
解得a=0.035.
(2)分層抽樣的方法在第3組中應(yīng)抽取 =7人，
設(shè)事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，
則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，
則抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率：
P(A)=1﹣P( )=1﹣ = .
(3)X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B(3， )，
且P(X=k)= ，k=0，1，2，3，
∴X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
EX=np=3× = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖、對(duì)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用.
19.(12分)(2017•郴州三模)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.
(Ⅰ)求證：直線l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余?若存在，求出|AQ|的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)利用三角形中位線定理推導(dǎo)出BC∥面EFA，從而得到BC∥l，再由已知條件推導(dǎo)出BC⊥面PAC，由此證明l⊥面PAC.
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線l上存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1.
【解答】(Ⅰ)證明：∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴BC∥EF，
又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l⊥面PAC.
(2)解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，
過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0， )，
E( )，F(xiàn)( )，
， ，
設(shè)Q(2，y，0)，面AEF的法向量為 ，
則 ，
取z= ，得 ， ，
|cos< >|= = ，
|cos< >|= = ，
依題意，得|cos< >|=|cos< >|，
∴y=±1.
∴直線l上存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的'合理運(yùn)用.
20.(12分)(2017•郴州三模)已知拋物線E：y2=8x，圓M：(x﹣2)2+y2=4，點(diǎn)N為拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點(diǎn)Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點(diǎn)，求△QAB面積的最小值.
【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合;軌跡方程.
【分析】(1)利用代入法，求曲線C的方程;
(2)設(shè)切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0)，圓心(2，0)到切線的距離d= =2，整理可得 ，表示出面積，利用函數(shù)的單調(diào)性球心最小值.
【解答】解：(1)設(shè)P(x，y)，則點(diǎn)N(2x，2y)在拋物線E：y2=8x上，
∴4y2=16x，
∴曲線C的方程為y2=4x;
(2)設(shè)切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0).
令y=0，可得x= ，
圓心(2，0)到切線的距離d= =2，
整理可得 .
設(shè)兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1+k2= ，k1k2= ，
∴△QAB面積S= |(x0﹣ )﹣(x0﹣ )|y0=2•
設(shè)t=x0﹣1∈[4，+∞)，則f(t)=2(t+ +2)在[4，+∞)上單調(diào)遞增，
∴f(t)≥ ，即△QAB面積的最小值為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，具體涉及到拋物線的基本性質(zhì)及應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，軌跡方程的求法和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用.
21.(12分)(2017•郴州三模)已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx.
(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)在 上的最小值;
(3)記函數(shù)y=f(x)的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂直交曲線C于點(diǎn)N，判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，由a>0，定義域?yàn)?0，+∞)，再由f′(x)>0求得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)a<0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)﹣ ，1，分﹣ >1， ≤﹣ ≤1，﹣ < ，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ，1]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，最后表示為關(guān)于a的分段函數(shù);
(3)設(shè)出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，得到N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求出AB的斜率，再由導(dǎo)數(shù)得到曲線C過N點(diǎn)的切線的斜率，由斜率相等得到ln = ，令 =t后構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt﹣ (t>1)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷不成立.
【解答】解：(1)∵f(x)=ax2+(1﹣2a)x﹣lnx，
∴f′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = ，
∵a>0，x>0，
∴2ax+1>0，解f′(x)>0，得x>1，
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，+∞);
(2)當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)=0，得x1=﹣ ，x2=1，
�、佼�(dāng)﹣ >1，即﹣
∴f(x)在[ ，1]上的最小值為f(1)=1﹣a.
②當(dāng) ≤﹣ ≤1，即﹣1≤a≤﹣ 時(shí)，
f(x)在[ ，﹣ ]上是減函數(shù)，在[﹣ ，1]上是增函數(shù)，
∴f(x)的最小值為f(﹣ )=1﹣ +ln(﹣2a).
�、郛�(dāng)﹣ < ，即a<﹣1時(shí)，f(x)在[ ，1]上是增函數(shù)，
∴f(x)的最小值為f( )= ﹣ a+ln2.
綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ，1]上的最小值為：
f(x)min= ;
(3)設(shè)M(x0，y0)，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x0= ，
直線AB的斜率k1= = [a(x12﹣x22)+(1﹣2a)(x1﹣x2)+lnx2﹣lnx1]
=a(x1+x2)+(1﹣2a)+ ，
曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率k2=f′(x0)=2ax0+(1﹣2a)﹣ =a(x1+x2)+(1﹣2a)﹣ ，
假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB，則k1=k2，
即 =﹣ ，
∴ln = = ，
不妨設(shè)x11，則lnt= ，
令g(t)=lnt﹣ (t>1)，則g′(t)= ﹣ = >0，
∴g(t)在(1，+∞)上是增函數(shù)，又g(1)=0，
∴g(t)>0，即lnt= 不成立，
∴曲線C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明等式恒成立問題，特別是對(duì)于(3)的證明，要求學(xué)生較強(qiáng)的應(yīng)變能力，是壓軸題.
[選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)系]
22.(10分)(2017•郴州三模)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線l與x軸的交點(diǎn)為P，求|PM|•|PN|的值.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，消去參數(shù)t可得普通方程.曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，利用平方關(guān)系可得直角坐標(biāo)方程.把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的極坐標(biāo)方程.
(II)P(1，0).把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為： +1=0，|PM|•|PN|=|t1•t2|.
【解答】解：(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，消去參數(shù)t可得：x+y﹣1=0.
曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，利用平方關(guān)系可得：x2+(y﹣2)2=4.
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4sinθ.
(II)P(1，0).把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為： +1=0，
t1+t2=3 ，t1•t2=1，
∴|PM|•|PN|=|t1•t2|=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2017•郴州三模)在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，y2)之間的“直角距離”為L(zhǎng)(P，Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知點(diǎn)A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三點(diǎn).
(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恒成立，求t的最小值.
【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間距離公式的應(yīng)用;函數(shù)恒成立問題.
【分析】(1)根據(jù)定義寫出L(A，B)，L(A，C)的表達(dá)式，最后通過解不等式求出x的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恒成立即當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，運(yùn)用分離變量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得右邊的最大值為4，令t不小于4即可.
【解答】解：(1)由定義得|x﹣1|+1>|x﹣5|+1，
即|x﹣1|>|x﹣5|，兩邊平方得8x>24，
解得x>3;
(2)當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，
也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，
因?yàn)閨x﹣1|﹣|x﹣5|≤|(x﹣1)﹣(x﹣5)|=4，所以t≥4，tmin=4.
故t的最小值為：4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義：直角距離的理解和運(yùn)用，考查絕對(duì)值不等式的解法，以及不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題.
【湖南省郴州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案】相關(guān)文章：
小升初數(shù)學(xué)模擬試卷及答案的總結(jié)09-15
蘇教版小升初數(shù)學(xué)模擬試卷及答案09-22