2017年全國統(tǒng)一考試考前數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
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2017年全國統(tǒng)一考試考前數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
(1)已知集合 ，則 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2)已知 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 滿足 ，則復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(3)在等差數(shù)列 中，已知 ，則數(shù)列 的前9項(xiàng)和 ( )
(A)9 (B)15 (C)18 (D)24
(4)已知 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是75，則常數(shù) 的值為( )
(A)25 (B)4 (C)5 (D)16
(5)周三下午有一節(jié)40分鐘的自習(xí)課，小聰和小明分別去教師辦公室單獨(dú)請(qǐng)羅老師講解數(shù)學(xué)疑難問題，兩人在自習(xí)課內(nèi)的任何時(shí)刻去是等可能的，若羅老師給每個(gè)人講解的時(shí)間都是10分鐘，則羅老師給他們兩人講解沒有時(shí)問沖突的概率為 ( )
(A) (B) (C) (D)
(6)已知函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，且當(dāng)
時(shí)， ，若 ，
則 ， ， 之間的大小關(guān)系是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(7)我國最早的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》提出的“盈不足”的算法是一
個(gè)驚世創(chuàng)造。其中有兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對(duì)穿，
初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，幾何日逢?”若用如圖所
示的程序框圖描述，則輸出的 ( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(8)已知 ， 分別為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，圓 與該雙曲線交于點(diǎn)P，若 ，則該雙曲線的離心率為(D)
(A) (B) (C) (D)
(9)如圖為一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體的體積為 ( )
(A)
(B)8
(C)7
(D)
(10)已知函數(shù) (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，當(dāng) 時(shí)， 的圖象大致是 ( )
(11)將函數(shù) 的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，再向左平移 個(gè)周期，得到函數(shù) 的圖象，則函數(shù) 的遞增區(qū)間是 ( )
， ，
(12)已知函數(shù) 的圖像在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直(e=2•71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，函數(shù) 滿足 ，若關(guān)于 的方程
在區(qū)間 上恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
(A) (B (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22--23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
二、填空題：本題共4小題，每小題5分。
(13)已知向量量 、 滿足： ，且 ，則 與 的夾角等于_________.
(14)已知拋物線 的準(zhǔn)線被圓C： 截得的弦長為4，則拋物線T的方程為_________
(15)已知⊿ABC與平面 ，且 ，CD AB于D，若邊AB 平面 ，邊BC、AC與平面 所成的角分別為 和 ，則CD與平面 所成角的大小為________.
(16)已知 為平面區(qū)域 ： 內(nèi)的整點(diǎn)( 均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)，記 ，數(shù)列 的前 和 ，若對(duì)于 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是___________.
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
(17)(本小題滿分12分)
在⊿ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為 、 、 ，已知
(I)求角B;
(1I)若 ，求△ABC的面積.
(18)學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各50名進(jìn)行問卷調(diào)查，其中每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間超過3小時(shí)的學(xué)生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調(diào)查結(jié)果如下表
古文迷 非古文迷 合計(jì)
男生 26 24 50
女生 30 20 50
合計(jì) 56 44 100
(I)根據(jù)上表數(shù)據(jù)判斷能否有60%的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)?
(II)現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進(jìn)行理科學(xué)習(xí)時(shí)間的`調(diào)查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù);
(III)現(xiàn)從(Ⅱ)中所抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的調(diào)查，記這3人中“古文迷”的人數(shù)為 ，求隨機(jī)變量 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式： .
參考數(shù)據(jù)
0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
0.455 0.708 1.32l 3.841 5.024 6.635
(19)(本小題滿分12分)
如圖.已知四棱錐，P-ABCD的底面ABCD是平行
四邊形.∠ADC PA=1.，AB=2，. PB ，
平面PAB 底面ABCD，直線PC與底面ABCD所成的
角為
(I)證明:平面PAD 平面PAC,
(II)求二面角B-PC-D的余弦值.
(20)(本小題滿分12分)
已知中心在原點(diǎn)的橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為雙曲線 的頂點(diǎn),，直線 與
與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，且M ，點(diǎn)P是橢圓E上異于M、N的任意一點(diǎn)，直線MN外的點(diǎn)Q滿足 .
(I)求點(diǎn)Q的軌跡方性.
(II)試確定點(diǎn)Q的坐標(biāo).使得△MNQ的面積最大，并求出最大面積。
(21)(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù) .已知 為函數(shù) 的導(dǎo)效.
(I)討論函放 的單調(diào)性.
(II)當(dāng) 時(shí)， 是函數(shù) 的圖像上的任意兩點(diǎn)，且
直線AB的斜率為
求證：
清考生在第22-23.中任選一.作答，如果.多一則按所做的第一題計(jì)分.
(22)(本小題滿分10分)選修4-4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系 中，已知曲線 的參數(shù)方程為 ，( 為參數(shù))，以坐
標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)， 軸的正半抽為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為
(I)求曲線 的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程.
(II)曲線 上有3個(gè)點(diǎn)到曲線 的距離等于1.求 的值.
(23)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)
(I)求不等式 的解集:
(II)若 的最小值為 ，正實(shí)教 、 滿足 ，求證: .
2017年全國統(tǒng)一考試考前數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C C A C D C B B D
二、填空題
13. 14. 15. 16.
17. 【解析】(I)由 ，得 ，
即 ，即 ，
因?yàn)?，所以 ，而 ，所以 ………………(6分)
(Ⅱ)由 ， ，得 .
又因?yàn)?，所以 ，即 ，則
于是 …………………………(12分)
18.【解析】(I)由列聯(lián)表得 ，
所以沒有60﹪的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān).……………………………(4分)
(II)調(diào)查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分層抽樣的方法
抽出5人，則“古文迷”的人數(shù)為 人，“非古文迷”有 人………(6分)
(III)因?yàn)?為所抽取的3人中“古文迷”的人數(shù)，所以 的所有可能取值是1,2,3
; ; ……(10分)
所以隨機(jī)變量 的分布列為
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