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2022大學(xué)高數(shù)易錯知識點匯總
在我們平凡無奇的學(xué)生時代，說到知識點，大家是不是都習(xí)慣性的重視？知識點就是掌握某個問題/知識的學(xué)習(xí)要點。相信很多人都在為知識點發(fā)愁，以下是小編為大家整理的2022大學(xué)高數(shù)易錯知識點匯總，希望能夠幫助到大家。
大學(xué)高數(shù)易錯知識點1
1.在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點連續(xù)，則該函數(shù)在該點必有極限。若函數(shù)在某點不連續(xù)，則該函數(shù)在該點必?zé)o極限。
2.在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點可導(dǎo)，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。但是如果函數(shù)不可導(dǎo)，不能推出函數(shù)在該點一定不連續(xù)。
3.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。
4.若函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)存在原函數(shù)。若函數(shù)在某一區(qū)間上不連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)也可能存在原函數(shù)，不能說該函數(shù)在區(qū)間上必?zé)o原函數(shù)。
5. 在二元函數(shù)中，兩個偏導(dǎo)數(shù)存在與該函數(shù)的連續(xù)性沒有關(guān)系。但是若果二元函數(shù)可微，則該函數(shù)必然連續(xù)。
6.在一元函數(shù)中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點。函數(shù)的極值點必是函數(shù)的駐點或?qū)?shù)不存在的點。在多元函數(shù)中，若偏導(dǎo)數(shù)存在，則極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。
7.閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積。閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點的函數(shù)可積。
8.有限個無窮小量的.和仍是無窮小量。無限個無窮小量的和不一定是無窮小量。有限個無窮小量之積是無窮小量。無限個無窮小量的積不一定是無窮小量。無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。無窮小量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮小量。
9.兩個無窮大量之和不一定為無窮大量，兩個無窮大量之積必為無窮大量。無窮大量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮大量。
10.可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系：可導(dǎo)是對定義域內(nèi)的點而言的，處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù)，
只要一個函數(shù)在定義域內(nèi)某一點不可導(dǎo)，那么就不存在導(dǎo)函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導(dǎo)。
11.連續(xù)與可積的關(guān)系：如果函數(shù)在某區(qū)域連續(xù)，那么函數(shù)在該區(qū)域可積，反之，函數(shù)在某區(qū)域可積，不能保證函數(shù)在該區(qū)域連續(xù)，比如存在第一類間斷點的函數(shù)不連續(xù)，但可積。
12.切線與可導(dǎo)之間的關(guān)系：有切線不一定可導(dǎo)，是因為垂直于X軸的切線，它的斜率是無窮大，所以不可導(dǎo)。
可以得出結(jié)論： 可導(dǎo)必有切線，有切線不一定可導(dǎo)(豎直切線)
高數(shù)考試大題包括以下類型：
1.求極限
2.求不定積分或定積分
3.求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
4.求二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)
5.二重積分
6.求旋轉(zhuǎn)體積或面積
7.證明題
1.求極限：在求極限的問題中，極限包括函數(shù)的極限和數(shù)列的極限，但在考試中一般出的都是函數(shù)的極限，求函數(shù)的極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟。這種類型的題一般屬于簡單題，但往更難一點的方向出題的話，它會和變上限的定積分聯(lián)系在一起出題。
2.求不定積分和定積分，在這類題中，一般會用到換元積分法和分部積分法，還有牛頓萊布尼茨公式。一般情況下，多做些題就沒什么大問題。
3.求偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)包括一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)。重點談二階偏導(dǎo)數(shù)，尤其是二階混合偏導(dǎo)，在二階以上的混合偏導(dǎo)中，用到的一個最重要的法則是鏈?zhǔn)椒▌t。
4.證明題：這種題還是離不開公式定理。一般情況下，用羅爾定理和微分中值定理即可，若再復(fù)雜的話，有時候就需要微分中值定理和積分中值定理連用，對于這類題，有時間則做，沒時間就不做。
大學(xué)高數(shù)易錯知識點2
1、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的.充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導(dǎo)數(shù)f-′(x0)右導(dǎo)數(shù)f+′(x0)存在相等。
2、函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導(dǎo)。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。
3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。
4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導(dǎo)；函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導(dǎo)。
大學(xué)高數(shù)易錯知識點3
1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點
2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點
3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a，b)內(nèi)的每一點處均不為零，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必達法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。
5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加；(2)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。
如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。
6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。
在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導(dǎo)數(shù)為0的點)，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。
定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的`第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為負；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。
定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’
(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當(dāng)f’’(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)當(dāng)f’’
(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。
7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。
定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。
判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號，那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。
在做函數(shù)圖形的時候，如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點，這些點也要作為分點。
大學(xué)高數(shù)易錯知識點4
1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)；簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的'冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u.
2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。
大學(xué)高數(shù)易錯知識點5
1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的.路程
2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。
定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。
3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。
性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點c(a
大學(xué)高數(shù)易錯知識點6
1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計算或已知極限確定原式中的常數(shù)；討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點類型；無窮小階的比較；討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。
2.一元函數(shù)微分學(xué)：主要考查導(dǎo)數(shù)與微分的定義；各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計算；利用洛比達法則求不定式極限；函數(shù)極值；方程的的'個數(shù)；證明函數(shù)不等式；與中值定理相關(guān)的證明；最大值、最小值在物理、經(jīng)濟等方面實際應(yīng)用；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形；求曲線漸近線。
3.一元函數(shù)積分學(xué)：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計算；變上限積分的求導(dǎo)、極限等；積分中值定理和積分性質(zhì)的證明；定積分的應(yīng)用，如計算旋轉(zhuǎn)面面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功等。
4.多元函數(shù)微分學(xué)：主要考查偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷；多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟上的應(yīng)用；二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學(xué)一還要求會計算方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。
5.多元函數(shù)的積分學(xué)：包括二重積分在各種坐標(biāo)下的計算，累次積分交換次序。數(shù)一還要求掌握三重積分，曲線積分和曲面積分以及相關(guān)的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一階微分方程的通解或特解；二階線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解；微分方程的建立與求解。
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