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房山區(qū)高二上學(xué)期理科數(shù)學(xué)期末考試題及答案
期末考試前的復(fù)習(xí)十分重要，關(guān)系到成績的高低。下面百分網(wǎng)小編為大家?guī)硪环莘可絽^(qū)高二上學(xué)期理科數(shù)學(xué)的期末考試題，文末附有答案，有需要的同學(xué)可以看一看，更多內(nèi)容歡迎關(guān)注應(yīng)屆畢業(yè)生網(wǎng)!
本試卷共6頁，150分�？荚嚂r長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。
第一部分 (選擇題 共50分)
一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
(1)已知拋物線的方程是 ，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查拋物線的定義。基礎(chǔ)題
(2)已知平面 的法向量為 ，平面 的法向量為 ，若 ，則
﹙A﹚ (B)
﹙C﹚ (D﹚
命題意圖：考查兩個平行平面的法向量的關(guān)系。知道空間向量平行的條件就可得出答案�；A(chǔ)題
(3)圓 與圓 的位置關(guān)系是
(A)相離 (B)相交
(C)外切 (D)內(nèi)切
命題意圖：考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程，圓與圓的位置關(guān)系。用畫圖或者兩圓心間的距離判斷可知答案。
(4)如圖，在四面體 中，設(shè) 是 的中點(diǎn)，則 等于
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查空間向量的加法。熟悉三角形法則平行四邊形法則就可得出答案。
(5)“直線 與平面 無公共點(diǎn)”是“直線 與平面 平行”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
命題意圖：考查直線與平面平行的定義，充要條件。理解直線與平面平行的定義，理解充要條件才不會錯選。
(6)若方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，性質(zhì)。此題若學(xué)生沒有關(guān)注到方程非標(biāo)準(zhǔn)方程，錯誤認(rèn)為 也能得出正確答案。因?yàn)榇祟}考查的重點(diǎn)是焦點(diǎn)在 軸上的橢圓方程的特點(diǎn)，學(xué)生能犯這個錯誤而選A也說明他知道這個知識點(diǎn)。初稿的方程是 ，但擔(dān)心學(xué)生因?yàn)?的粗心處理而錯選答案，所以改簡單了。
(7)設(shè) 表示直線， 表示兩個不同的平面，下列命題中正確的是
(A)若 ， ，則 (B)若 ， ，則
(C)若 ， ，則 (D)若 ， ，則
命題意圖：考查線面位置關(guān)系的判定。此題需要排除錯誤選項，對學(xué)生空間想象能力和對相關(guān)定理的熟練程度要求高。試卷講評時錯誤選項舉反例讓學(xué)生體會。答錯的學(xué)生建議面談糾正。
(8)棱長為 的正方體 中， 的值為
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查學(xué)生畫圖能力，考查空間向量的數(shù)量積。此題難度不大，方法有很多。
，或 或建系做。此題需要學(xué)生自己作圖分析，所以題目雖難度不大，但位置靠后。
(9)設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ， 是橢圓上的點(diǎn).若 ，
，則橢圓的離心率為
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查橢圓定義，幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力。利用 ， 及直角三角形的三邊關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵。對學(xué)生能力要求高，難度適中。
(10)如圖，在四棱錐 中， 底面 ，底面 為梯形， ， ，
， ， .若點(diǎn) 是線段 上的動點(diǎn)，則滿足 的點(diǎn) 的個數(shù)是
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查直線與平面垂直性質(zhì)，考查計算能力，是選擇題里難度最大的題目。此題轉(zhuǎn)化為在梯形 中，滿足 的點(diǎn) 的個數(shù)，再利用直角三角形中的勾股定理得出。此題對學(xué)生能力要求高，轉(zhuǎn)化為求滿足 的點(diǎn) 是關(guān)鍵思維點(diǎn)，講評時重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生怎么思考。
第二部分 (非選擇題 共100分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
(11)命題“ ， ”的否定是 .
命題意圖：考查含有全稱量詞的命題的否定�；A(chǔ)題
(12)已知向量 ， ，則 .
命題意圖：考查空間向量的運(yùn)算�；A(chǔ)題
(13)已知 是雙曲線 的一個焦點(diǎn)，則 ，該雙曲線的漸近線方程
為 .
命題意圖：考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)�；A(chǔ)題
(14)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐最長的棱長為 .
命題意圖：考查簡單空間幾何圖形的三視圖，考查空間想象能力。由三視圖正確還原原幾何體的解題的關(guān)鍵。
(15)已知點(diǎn) ， 是拋物線 的焦點(diǎn)， 是拋物線上任意一點(diǎn)，則 的最小
值為 ;點(diǎn) 到直線 的距離的最小值為 .
命題意圖：考查拋物線的定義和性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離，重點(diǎn)是把所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出答案。此類題目的通性通法需要學(xué)生掌握。
(16)在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離比它到 軸的距離多 ，記點(diǎn) 的軌跡為曲線 ，
給出下列三個結(jié)論：
�、偾� 過坐標(biāo)原點(diǎn);
�、谇� 關(guān)于 軸對稱;
�、矍� 的軌跡是拋物線.
其中，所有正確結(jié)論的序號是 .
命題意圖：考查根據(jù)條件求曲線方程，根據(jù)方程研究曲線性質(zhì)。根據(jù)幾何條件寫出代數(shù)關(guān)系式，就可以判斷①②正確。曲線是由一條射線和拋物線組成的。
三、解答題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
(17)(本小題10分)
已知直線 過點(diǎn) ，且與直線 平行.
(Ⅰ)求直線 的方程;
(Ⅱ)若直線 與直線 垂直，且在 軸上的截距為 ，求直線 的方程.
命題意圖：考查直線平行和垂直斜率的關(guān)系，直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式和一般式�；A(chǔ)題。
(18)(本小題10分)
已知圓 的圓心為點(diǎn) ，且經(jīng)過點(diǎn) .
(Ⅰ)求圓 的方程;
(Ⅱ)若直線 與圓 相交于 兩點(diǎn)，且 ，求 的值.
命題意圖：考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，(兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式)，考查學(xué)生的計算能力。求圓的弦長的方法要求學(xué)生熟練掌握，得分不理想的學(xué)生一定督促其鞏固。
(19)(本小題12分)
如圖，在四棱錐 中，底面 是菱形， ，過 的平面分別交棱 ， 于點(diǎn) ， .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求證： 平面 .
命題意圖：考查線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，考查空間想象能力。此題證明過程要求表述清晰，書寫規(guī)范。評分的標(biāo)準(zhǔn)制定考慮了定理中的每個條件，有缺失的要扣分，力求讓學(xué)生意識到書寫規(guī)范的重要性。
(20)(本小題13分)
已知拋物線 ： ，過點(diǎn) 且斜率為 的直線 與拋物線 交于不同的兩點(diǎn) .
(Ⅰ)求拋物線 的準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(Ⅲ)若線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，求 的長度.
命題意圖：考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力。直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及相交弦弦長的求法都是常考知識點(diǎn)，要求學(xué)生掌握并能準(zhǔn)確解答。根據(jù)第三問的條件得出兩個 值，根據(jù)條件需要舍去一個，粗心的學(xué)生可能忽略，即使不影響弦長的計算，未說明舍去的也扣1分。
(21)(本小題13分)
如圖，正方形 與梯形 所在的平面互相垂直， ， ，
.
(Ⅰ)求證： 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值;
(Ⅲ) 為線段 上一點(diǎn)，若直線 與直線 所成的角為 ，求 的長.
命題意圖：考查線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，用向量求面面角，線線角，考查空間想象能力和計算能力。第一問大部分學(xué)生會想到構(gòu)造平行四邊形證明，利用面面平行來證明更簡潔明了，講評時要復(fù)習(xí)這一部分的整體知識網(wǎng)絡(luò)。第二問和第三題利用向量解決角的度量問題，常規(guī)角度，難度不大。
(22)(本小題12分)
橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 到短軸的一個端點(diǎn)的距離等于焦距.
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓 與曲線 的交點(diǎn)為 ，求△ 面積的最大值.
命題意圖：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，第一問求橢圓方程需根據(jù)橢圓的性質(zhì)得出 。第二問思路不復(fù)雜，分析清楚可以得出答案。最后一題不想太難為學(xué)生，希望一部分學(xué)生能得滿分。此題雖敘述簡潔，但有一定的思維含量，第一問命題時的想法就是條件不能“白”，也要考查學(xué)生的分析問題的能力。第二問的難點(diǎn)主要是求 的最大值，需要運(yùn)用以前的知識。最后一題也鼓勵學(xué)生做，不僅僅是只做第一問。
高二數(shù)學(xué)(理)參考答案
一、選擇題(每小題5分，共50分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C A D B B C
二、填空題(每小題5分，共30分，有兩空的第一空3分，第二空2分)
(11) ，
(12)
(13) ;
(14)
(15) ;
(16)①② (只寫一個正確的得3分，有錯的不得分)
三、解答題(共6小題，共70分)
(17)(本小題10分)
解：
(Ⅰ)由直線 與直線 平行可知 的斜率為 ， ------------------2分
又直線 過點(diǎn) ，則直線 的方程為
即 ------------------3分
(Ⅱ)由直線 與直線 垂直可知 的斜率為 ， ------------------2分
又直線 在 軸上的截距為 ，則直線 的方程為
即 ------------------3分(18)(本小題10分)
解：
(Ⅰ)圓 的半徑 ------------------2分
由圓心為點(diǎn) ，所以圓 的方程為
------------------3分(Ⅱ)圓心為點(diǎn) ，半徑為 ， ，
所以圓心 到直線 的距離為 ， ------------------2分
即 ------------------2分
(注：未得出 ，但有點(diǎn)到直線的距離公式得1分)
解得 ， ------------------1分
(19)(本小題12分)
(Ⅰ)∵底面 為菱形
∴ ------------------2分
又 平面 ， 平面 ------------------1分
∴ 平面 ------------------1分
又∵ 平面 ，平面 平面 ------------------1分
∴ ------------------1分
(Ⅱ)∵底面 為菱形
∴ ------------------2分
設(shè) 交 于點(diǎn) ，連接
∵ ， 為 的中點(diǎn)
∴ ------------------2分
∵ ， 平面 ， 平面
------------------1分
∴ 平面 ------------------1分
(20)(本小題13分)
解：
(Ⅰ)由拋物線 的方程 ，得 ，
所以拋物線 的準(zhǔn)線方程為 -------------------3分
(Ⅱ)直線 方程與拋物線 的方程聯(lián)立，得方程組
-------------------1分
消 ，整理得 ， ① -------------------2分
由直線 與拋物線 交于不同的兩點(diǎn) ，則有
-------------------1分
解得
當(dāng) 時，直線 與拋物線 只有一個交點(diǎn)，所以 的取值范圍是
且 ------------------1分
(Ⅲ)若線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，設(shè) ， ，由(Ⅱ)中的①式得
， -------------------2分
解得 或 (舍) -------------------1分
-------------------2分
(結(jié)果不對，但弦長公式對得1分，沒有“舍去 ”扣1分;求出 坐標(biāo)用兩
點(diǎn)間距離公式依照此標(biāo)準(zhǔn)得分)
(21)(本小題13分)
解：
(Ⅰ)法一：
∵四邊形 是正方形，
∴ -----------------1分
又∵ -----------------1分
，
平面 ， 平面
平面 ， 平面
∴平面 平面 -----------------1分
∵ 平面 ， -----------------1分
∴ 平面 -----------------1分
法二：
取 的中點(diǎn) ，連接 ，
∵ ，
∴四邊形 是平行四邊形
∴ -----------------1分
∵四邊形 是正方形，
∴ -----------------1分
∴ -----------------1分
∴四邊形 是平行四邊形
∴ -----------------1分
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 -----------------1分
(第一問的評分標(biāo)準(zhǔn)是采點(diǎn)給分，出現(xiàn)了分值對應(yīng)的結(jié)論就對應(yīng)給分，非采分點(diǎn)的
地方有缺失不扣分)
(Ⅱ)∵正方形 與梯形 所在的平面互相垂直，
平面 平面
在正方形 ，
∴ 平面
∴ (沒有∵的內(nèi)容，只有最后結(jié)論不得分) ----------------1分
又 ， ，
以 為 軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系， -----------------1分
(建系1分，文字說明或者圖上標(biāo)注都可以)
則 ， ， ，
是平面 的一個法向量
設(shè)平面 的法向量為 ，則
------------------1分
即
令 ，得 ------------------1分
則
------------------1分
設(shè)二面角 為 ，由圖可知 為銳角，
所以二面角 的余弦值為 ------------------1分
(Ⅲ)設(shè) ( ) ------------------1分
又
解得 或 (舍) -----------------1分
的長為 -----------------1分
(22)(本小題12分)
解：
(Ⅰ)由右焦點(diǎn)為 ，得 -----------------1分
由點(diǎn) 到短軸的一個端點(diǎn)的距離等于焦距，得 -----------------2分
即
則
所以橢圓 的方程為 -----------------1分
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) ( )，則 ，
設(shè) 交 軸于點(diǎn) ，由對稱性知：
-----------------2分
由 得得 ， -----------------2分
所以 -----------------3分
當(dāng)且僅當(dāng) ， 時取等號，
所以△ 面積的最大值 . -----------------1分
說明：每道解答題基本提供一種解題方法，如有其他解法請仿此標(biāo)準(zhǔn)給分。
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