數(shù)學歷史：方法論的線索

　　數(shù)學是一門古老的學科，它伴隨著人類文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生，至少有四、五千年的歷史。數(shù)學的最初的概念和原理在遠古時代就萌芽了，經(jīng)過四千多年世界許多民族的共同努力，才發(fā)展到今天這樣內(nèi)容豐富、分支眾多、應用廣泛的龐大系統(tǒng)。了解數(shù)學的發(fā)展歷史有助于培養(yǎng)學生對學習數(shù)學的興趣，下面的內(nèi)容希望對他們能有所幫助!

　　定理證明和數(shù)值計算是數(shù)學中兩項最主要的活動形式。證明主要是用演繹法，以公理化思想為主；計算若是按一定程序，即按一種機械的過程進行就叫做機械化思想的算法。貫穿在整個數(shù)學發(fā)展歷史過程中，有兩個中心思想，一個是公理化思想，另一個是機械化思想。公理化思想源于古希臘，歐幾里得的《幾何原本》是公理化思想的代表。機械化思想則貫穿于整個中國古代數(shù)學，《九章算術》為其代表。作為數(shù)學兩種主流的公理化思想和機械化思想都對數(shù)學的發(fā)展起過巨大的作用。現(xiàn)在我們從思想力法論的角度，即從數(shù)學發(fā)展中以公理化思想為主的演繹傾向和以機械化思想為主的算法傾向交替取得主導地位的線索來描述整個數(shù)學發(fā)展史。

　　古代巴比倫和埃及的原始算法最早占主導地位，后來被希臘式的演繹幾何所接替。到中世紀，希臘數(shù)學衰落下去，算法傾向在中國、印度和阿拉伯地區(qū)繁榮起來。17、18世紀是歐洲人尋求無窮小算法的英雄年代，而從19世紀初，羅巴切夫斯基非歐幾何出現(xiàn)以后，特別是70年代起，幾何演繹傾向又重新在比古希臘幾何高得多的水準上占優(yōu)勢。近代數(shù)學時期的演繹傾向是從19世紀20至30年代開始，在70年代以后進入全盛時期。這個新的演繹時代與古希臘—個顯著的不同是演繹方法的`運用遠遠超出了幾何而擴展到其他領域，首先是數(shù)學分析。探討微積分運算的嚴格的邏輯基礎，導致了從柯西極限論到外爾斯特拉斯的極限算術化和康托爾集合論貫穿了整個19世紀的分析嚴格化運動。自外爾斯特拉斯以后，現(xiàn)代分析幾乎完全改變了牛頓、萊布尼茲，乃至歐拉、拉格朗日時代的風貌而成為抽象的演繹科學，如果說，17世紀將代數(shù)算法運用于幾何而發(fā)展出解析幾何，19世紀則反過來，將幾何演繹運用于代數(shù)而產(chǎn)生抽象代數(shù)。抽象代數(shù)則充滿了演繹精神。19世紀開辟的新的演繹數(shù)學，在幾何領域本身也是遠遠超過了古希臘時代，對歐幾里得公理系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的掌握，導致了希爾伯特公理化方法.這種公理化方法，不僅嚴格了各個幾何分支的邏輯基礎，而且滲透到幾乎所有的純數(shù)學及某些物理的領域。

　　直到20世紀前半葉，數(shù)學中演繹傾向有增無減，數(shù)學變成研究任意結(jié)構(gòu)的學問。抽象代數(shù)從局部性研究轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體性分析研究。布爾巴基學派用公理化的結(jié)構(gòu)主義觀點看待整個數(shù)學，認為整個數(shù)學可以建立在不求助于直觀的徹底公理化基礎上。他們從集合論出發(fā)、對全部數(shù)學分支給以完備的公理化，而數(shù)學分支之間的區(qū)別僅在于結(jié)構(gòu)的不同，演繹精神不僅是衡量數(shù)學純不純的標準，而且成為衡量數(shù)學美不美的標準。但是，從電子計算機出現(xiàn)以后，算法傾向又得到了加強，數(shù)學家開始用計算機來證明數(shù)學定理.如用電子計算機證明了著名的“四色猜想”定理，而許多初等幾何定理和初等微分幾何定理都可以實現(xiàn)機器證明。算法傾向又將逐漸占主導地位，綜上所述，整個數(shù)學史又可看成一部算法傾向與演繹傾向交替繁榮的歷史。

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