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數(shù)學(xué)思想與方法題庫

時(shí)間:2021-06-24 18:21:47 數(shù)學(xué) 我要投稿

數(shù)學(xué)思想與方法題庫

  數(shù)學(xué)思想方法是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是解題規(guī)律的總結(jié),是達(dá)到以點(diǎn)帶面、觸類旁通、擺脫題海的有效之路.因此我們應(yīng)抓住臨近中考的這段時(shí)間,去研究、歸納、熟悉那些常用的解題方法與技巧,從而為奪取中考高分搭起靈感和智慧的平臺。初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有整體思想、化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程和函數(shù)思想等.由于我們前面各種思想方法均有滲透,故本專題只是側(cè)重如下幾個(gè)思想方法予以強(qiáng)化。以下是數(shù)學(xué)思想與方法題庫,歡迎閱讀。

數(shù)學(xué)思想與方法題庫

  類型之一 整體思想

  例1 (2014內(nèi)江)已知 + =3,則代數(shù)式 的值為 .

  【思路點(diǎn)撥】要求分式的值,必須要知道分式中所有字母的取值,從條件看無法解決;觀察分式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)分子與分母都是m(a+2b)+n(ab)的形式,所以從條件中找出(a+2b)與ab之間的關(guān)系,即可解決問題.

  【解答】∵ + =3,

  ∴ =3,即a+2b=6ab.

  ∴ = = = =- .

  方法歸納:整體思想就是在解決問題時(shí),不是著眼于它的局部特征,而是把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上,通過對整體的把握和運(yùn)用達(dá)到解決問題的目的.

  1.(2014安徽)已知x2-2x-3=0,則2x2-4x的值為( )

  A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30

  2.(2014樂山)若a=2,a-2b=3,則2a2-4ab的值為 .

  3.(2014宿遷)已知實(shí)數(shù)a,b滿足ab=3,a-b=2,則a2b-ab2的值是 .

  4.( 2014菏澤)已知x2-4x+1=0,求 - 的值.

  類型之二 分類思想

  例2 (2013襄陽)在一張直角三角形紙片中,分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形,得到直角梯形,則原直角三角形紙片的斜邊長是 .

  【思路點(diǎn)撥】有兩個(gè)直角,這兩個(gè)直角都有可能是原直角三角形的直角,分兩種情況將原圖補(bǔ)充完整,即可求出原直角三角形的斜邊長.

  【解答】以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),BD為斜邊上的中線,在Rt△ABD中,可得BD= .

  ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是2 ;

  以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),AC為斜邊上的中線,在Rt△ABC中,可得AC=3 .

  ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是6 .

  故填2 或6 .

  方法歸納:在幾何問題中,當(dāng)圖形的'形狀不完整時(shí),需要根據(jù)圖形的已知邊角及圖形特征進(jìn) 行分類畫出圖形,特別注意涉及等腰三角形與直角三角形的邊和角的分類討論.

  1.(2014涼山)已知⊙O的直徑CD=10 cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為M,且AB=8 cm,則AC的長為( )

  A.2 cm B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2 cm或4 cm

  2.(2014涼山)已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長分別是3和4,則第三邊長為 .

  3.已知點(diǎn)D與點(diǎn)A(8,0),B(0,6),C(3,-3)是一平行四邊形的頂點(diǎn),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

  4.(2014株洲調(diào)研)已知:O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí),則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

  5.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點(diǎn)M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn) Q出發(fā) ,沿射線QN以每秒1 cm的速度向右移動(dòng),經(jīng)過t秒,以點(diǎn)P為圓心, cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點(diǎn)在邊上),請寫出t可取的一切值 (單位:秒).

  6.(2013呼和浩特)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(4,0)、B(-6,0),點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠BCA=45°時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .

  7.(2014襄陽)在□ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2 ,則□ABCD的周長等于 .

  類型之三 轉(zhuǎn)化思想

  例3 (2014濱州)點(diǎn)C在⊙O的直徑AB的延長線上,點(diǎn)D在⊙O上,AD=CD,∠ADC=120°.

  (1)求證:CD是⊙O的切線;

  (2)若⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積.

  【思路點(diǎn)撥】(1)因?yàn)镈點(diǎn)在圓上,連接OD,證明OD與CD垂直即可;

  (2)連接OD,將不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形的面積之差.

  【解答】(1)證明:連接OD.

  ∵AD=CD,∠ADC=120°,∴∠A=∠C=30°.

  ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°,

  ∴∠ODC=120°-30°=90°,

  ∴OD⊥CD.

  又∵點(diǎn)D在⊙O上,∴CD是⊙O的切線.

  (2)∵∠ODC=90°,OD=2,∠C=30°,

  ∴OC=4,CD= =2 ,

  ∴S△COD= ODCD= ×2×2 =2 ,

  S扇形OCB= = π,

  ∴S陰影=S△OCD-S扇形OCB=2 - π.

  方法歸納:化歸意識是指在解決問題的過程中,對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”、將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟知”、將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的解題方法,其核心就是將有待解決的問題轉(zhuǎn)化為已有明確解決的問題,以便利用已有的結(jié)論來解決問題.

  1.(2014泰安)半徑為2 cm,圓心角為90°的扇形OAB中,分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓,則陰影部分的面積為( )

  A.( -1)cm2 B.( +1)cm2 C.1 cm2 D. cm2

  2.(2013濰坊)對于實(shí)數(shù)x,我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù),例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若[ ]=5,則x的取值可以是( )

  A.40 B.45 C.51 D.56

  3.(2014菏澤調(diào)考)將4個(gè)數(shù)a、b、c、d排成兩行、兩列,兩邊各加一條豎線段記成 ,定義 =ad-bc,上述記號就叫做二階行列式,若 =8,則x= .

  4.(2014白銀)四邊形ABCD是菱形,O是兩條對角線的交點(diǎn),過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分.當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時(shí),則陰影部分的面積為 .

  5.(2014涼山)圓柱形容器高為18 cm,底面周長為24 cm,在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2 cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處,則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為 cm.

  6.(2014棗莊)正方體木塊棱長為6 cm,沿其相鄰三個(gè)面的對角線剪掉一角,得到的幾何體,一只螞蟻沿著的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為 cm.

  類型之四 數(shù)形結(jié)合思想

  例4 (2014黃州模擬)點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn),點(diǎn)P,點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)P沿BE→ED→DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1 cm/s,設(shè)P,Q出發(fā)t秒時(shí),△BPQ的面積為y cm2,已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如(曲線OM為拋物線的一部分),則下列結(jié)論:①AD=BE=5 cm;②當(dāng)0

  A.4 B.3 C.2 D.1

  【解答】①可得,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C,BC=BE,故①小題正確;

  ②當(dāng)0

 �、鄹鶕�(jù)題意可得N(7,10),H(11,0),利用待定系數(shù)法可以求出一次函數(shù)解析式y(tǒng)=- t+ ,故③小題錯(cuò)誤;

 �、堋摺螦=90°,而點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,∠BPQ≠90°,∠PBQ≠90°,∴△ABE與△QBP相似,Q點(diǎn)在C點(diǎn)處,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到CD邊上,∠PQB=90°.此時(shí)分△ABE∽△QBP和△ABE∽△QPB兩種情況,當(dāng)△ABE∽△QBP時(shí),則 = 可知QP= ,可得t= ,符合題意;當(dāng)△ABE∽△QPB時(shí), = ,可知QP= >4,不符合題意,應(yīng)舍去.故④小題正確.

  因此答案選B.

  方法歸納:數(shù)形結(jié)合主要有兩種:①由數(shù)思形,數(shù)形結(jié)合,用形解決數(shù)的問題;②由形思數(shù),數(shù)形結(jié)合,用數(shù)解決形的問題.

  1.(2014菏澤Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點(diǎn)D,F(xiàn)分別在AC,BC邊上,設(shè)CD的長為x,

  △ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( )

  2.(2014內(nèi)江)若關(guān)于x的方程m(x+h)2+k=0(m、h、k均為常數(shù),m≠0)的解是x1=-3,x2=2,則方程m(x+h-3)2+k=0的解為( )

  A.x1=-6,x2=-1 B.x1=0 ,x2=5

  C.x1=-3,x2=5 D.x1=-6,x2=2

  3.小文、小亮從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽,小文步行一段時(shí)間后,小亮騎自行車沿相同路線行進(jìn),兩人均勻速前行.他們的路差s(米)與小文出發(fā)時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系.下列說法:①小亮先到達(dá)青少年宮;②小亮的速度是小文速度的2.5倍;③a=24;④b=480.其中正確的是( )

  A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

  4.(2014黃石調(diào)考)兩個(gè)正方形的面積分別為16、9,兩陰影部分的面積分別為a,b(a>b),則a-b等于( )

  A.7 B.6 C.5 D.4

  5.(2014棗莊)在邊長為2a的正方形中央剪去一邊長為(a+2)的小正方形(a>2),將剩余部分剪開密鋪成一個(gè)平行四邊形,則該平行四邊形的面積為( )

  A.a2+4 B.2a2+4a C.3a2-4a -4 D.4a2-a-2

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  數(shù)學(xué)思想方法是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是解題規(guī)律的總結(jié),是達(dá)到以點(diǎn)帶面、觸類旁通、擺脫題海的有效之路.因此我們應(yīng)抓住臨近中考的這段時(shí)間,去研究、歸納、熟悉那些常用的解題方法與技巧,從而為奪取中考高分搭起靈感和智慧的平臺。初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有整體思想、化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程和函數(shù)思想等.由于我們前面各種思想方法均有滲透,故本專題只是側(cè)重如下幾個(gè)思想方法予以強(qiáng)化。以下是數(shù)學(xué)思想與方法題庫,歡迎閱讀。

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  類型之一 整體思想

  例1 (2014內(nèi)江)已知 + =3,則代數(shù)式 的值為 .

  【思路點(diǎn)撥】要求分式的值,必須要知道分式中所有字母的取值,從條件看無法解決;觀察分式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)分子與分母都是m(a+2b)+n(ab)的形式,所以從條件中找出(a+2b)與ab之間的關(guān)系,即可解決問題.

  【解答】∵ + =3,

  ∴ =3,即a+2b=6ab.

  ∴ = = = =- .

  方法歸納:整體思想就是在解決問題時(shí),不是著眼于它的局部特征,而是把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上,通過對整體的把握和運(yùn)用達(dá)到解決問題的目的.

  1.(2014安徽)已知x2-2x-3=0,則2x2-4x的值為( )

  A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30

  2.(2014樂山)若a=2,a-2b=3,則2a2-4ab的值為 .

  3.(2014宿遷)已知實(shí)數(shù)a,b滿足ab=3,a-b=2,則a2b-ab2的值是 .

  4.( 2014菏澤)已知x2-4x+1=0,求 - 的值.

  類型之二 分類思想

  例2 (2013襄陽)在一張直角三角形紙片中,分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形,得到直角梯形,則原直角三角形紙片的斜邊長是 .

  【思路點(diǎn)撥】有兩個(gè)直角,這兩個(gè)直角都有可能是原直角三角形的直角,分兩種情況將原圖補(bǔ)充完整,即可求出原直角三角形的斜邊長.

  【解答】以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),BD為斜邊上的中線,在Rt△ABD中,可得BD= .

  ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是2 ;

  以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),AC為斜邊上的中線,在Rt△ABC中,可得AC=3 .

  ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是6 .

  故填2 或6 .

  方法歸納:在幾何問題中,當(dāng)圖形的'形狀不完整時(shí),需要根據(jù)圖形的已知邊角及圖形特征進(jìn) 行分類畫出圖形,特別注意涉及等腰三角形與直角三角形的邊和角的分類討論.

  1.(2014涼山)已知⊙O的直徑CD=10 cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為M,且AB=8 cm,則AC的長為( )

  A.2 cm B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2 cm或4 cm

  2.(2014涼山)已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長分別是3和4,則第三邊長為 .

  3.已知點(diǎn)D與點(diǎn)A(8,0),B(0,6),C(3,-3)是一平行四邊形的頂點(diǎn),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

  4.(2014株洲調(diào)研)已知:O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí),則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

  5.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點(diǎn)M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn) Q出發(fā) ,沿射線QN以每秒1 cm的速度向右移動(dòng),經(jīng)過t秒,以點(diǎn)P為圓心, cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點(diǎn)在邊上),請寫出t可取的一切值 (單位:秒).

  6.(2013呼和浩特)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(4,0)、B(-6,0),點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠BCA=45°時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .

  7.(2014襄陽)在□ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2 ,則□ABCD的周長等于 .

  類型之三 轉(zhuǎn)化思想

  例3 (2014濱州)點(diǎn)C在⊙O的直徑AB的延長線上,點(diǎn)D在⊙O上,AD=CD,∠ADC=120°.

  (1)求證:CD是⊙O的切線;

  (2)若⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積.

  【思路點(diǎn)撥】(1)因?yàn)镈點(diǎn)在圓上,連接OD,證明OD與CD垂直即可;

  (2)連接OD,將不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形的面積之差.

  【解答】(1)證明:連接OD.

  ∵AD=CD,∠ADC=120°,∴∠A=∠C=30°.

  ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°,

  ∴∠ODC=120°-30°=90°,

  ∴OD⊥CD.

  又∵點(diǎn)D在⊙O上,∴CD是⊙O的切線.

  (2)∵∠ODC=90°,OD=2,∠C=30°,

  ∴OC=4,CD= =2 ,

  ∴S△COD= ODCD= ×2×2 =2 ,

  S扇形OCB= = π,

  ∴S陰影=S△OCD-S扇形OCB=2 - π.

  方法歸納:化歸意識是指在解決問題的過程中,對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”、將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟知”、將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的解題方法,其核心就是將有待解決的問題轉(zhuǎn)化為已有明確解決的問題,以便利用已有的結(jié)論來解決問題.

  1.(2014泰安)半徑為2 cm,圓心角為90°的扇形OAB中,分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓,則陰影部分的面積為( )

  A.( -1)cm2 B.( +1)cm2 C.1 cm2 D. cm2

  2.(2013濰坊)對于實(shí)數(shù)x,我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù),例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若[ ]=5,則x的取值可以是( )

  A.40 B.45 C.51 D.56

  3.(2014菏澤調(diào)考)將4個(gè)數(shù)a、b、c、d排成兩行、兩列,兩邊各加一條豎線段記成 ,定義 =ad-bc,上述記號就叫做二階行列式,若 =8,則x= .

  4.(2014白銀)四邊形ABCD是菱形,O是兩條對角線的交點(diǎn),過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分.當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時(shí),則陰影部分的面積為 .

  5.(2014涼山)圓柱形容器高為18 cm,底面周長為24 cm,在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2 cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處,則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為 cm.

  6.(2014棗莊)正方體木塊棱長為6 cm,沿其相鄰三個(gè)面的對角線剪掉一角,得到的幾何體,一只螞蟻沿著的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為 cm.

  類型之四 數(shù)形結(jié)合思想

  例4 (2014黃州模擬)點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn),點(diǎn)P,點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)P沿BE→ED→DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1 cm/s,設(shè)P,Q出發(fā)t秒時(shí),△BPQ的面積為y cm2,已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如(曲線OM為拋物線的一部分),則下列結(jié)論:①AD=BE=5 cm;②當(dāng)0

  A.4 B.3 C.2 D.1

  【解答】①可得,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C,BC=BE,故①小題正確;

  ②當(dāng)0

 �、鄹鶕�(jù)題意可得N(7,10),H(11,0),利用待定系數(shù)法可以求出一次函數(shù)解析式y(tǒng)=- t+ ,故③小題錯(cuò)誤;

 �、堋摺螦=90°,而點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,∠BPQ≠90°,∠PBQ≠90°,∴△ABE與△QBP相似,Q點(diǎn)在C點(diǎn)處,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到CD邊上,∠PQB=90°.此時(shí)分△ABE∽△QBP和△ABE∽△QPB兩種情況,當(dāng)△ABE∽△QBP時(shí),則 = 可知QP= ,可得t= ,符合題意;當(dāng)△ABE∽△QPB時(shí), = ,可知QP= >4,不符合題意,應(yīng)舍去.故④小題正確.

  因此答案選B.

  方法歸納:數(shù)形結(jié)合主要有兩種:①由數(shù)思形,數(shù)形結(jié)合,用形解決數(shù)的問題;②由形思數(shù),數(shù)形結(jié)合,用數(shù)解決形的問題.

  1.(2014菏澤Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點(diǎn)D,F(xiàn)分別在AC,BC邊上,設(shè)CD的長為x,

  △ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( )

  2.(2014內(nèi)江)若關(guān)于x的方程m(x+h)2+k=0(m、h、k均為常數(shù),m≠0)的解是x1=-3,x2=2,則方程m(x+h-3)2+k=0的解為( )

  A.x1=-6,x2=-1 B.x1=0 ,x2=5

  C.x1=-3,x2=5 D.x1=-6,x2=2

  3.小文、小亮從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽,小文步行一段時(shí)間后,小亮騎自行車沿相同路線行進(jìn),兩人均勻速前行.他們的路差s(米)與小文出發(fā)時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系.下列說法:①小亮先到達(dá)青少年宮;②小亮的速度是小文速度的2.5倍;③a=24;④b=480.其中正確的是( )

  A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

  4.(2014黃石調(diào)考)兩個(gè)正方形的面積分別為16、9,兩陰影部分的面積分別為a,b(a>b),則a-b等于( )

  A.7 B.6 C.5 D.4

  5.(2014棗莊)在邊長為2a的正方形中央剪去一邊長為(a+2)的小正方形(a>2),將剩余部分剪開密鋪成一個(gè)平行四邊形,則該平行四邊形的面積為( )

  A.a2+4 B.2a2+4a C.3a2-4a -4 D.4a2-a-2