數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法突破猜證結(jié)合法
名師高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：突破猜證結(jié)合法
破選擇題：四大猜想是法寶
很多考生對選擇題和填空題的低正確率感到困惑。提高這兩種題型的正確率，主要要突破猜證結(jié)合的。他說，猜想的應(yīng)該練習(xí)下列四個猜想：第一是舉特殊值法、考察特例、檢驗特例、舉反例等等，就是把這個題目用特殊的問題進(jìn)行檢驗，然后進(jìn)行猜想，這是特殊化猜想。第二是要學(xué)會一般化猜想。第三是要學(xué)會類比法。第四是歸納猜想。這四大猜想是解選擇題和填空題的法寶。
另外要會精明演繹，主要是會反例排除，數(shù)形結(jié)合，比如用圖解會比較快，還有先猜后證。掌握這些方法就可從整體上掌握填空題的法寶，然后再深入練習(xí)一下，不要滿足于把這個題解完就沒事了。
解應(yīng)用題：聯(lián)系實際
今年的應(yīng)用題和往年一樣，仍然保持做題的難易程度，但注意，應(yīng)用題通常是在選擇題和填空題各有一個大眾題，這種題目即使沒有的，會聯(lián)系實際就能解出來，所以解題時要注意聯(lián)系實際，運(yùn)用實際生活經(jīng)驗來解答。
解答應(yīng)用題要注意提高新四大：閱讀、探究、應(yīng)用能力、思考學(xué)科的綜合能力。在應(yīng)用題中主要考察這四個能力，所以要注意會組題、會研究、會思考和綜合，并能夠應(yīng)用。
三角函數(shù)：學(xué)會三角化歸通法
三角函數(shù)主要要掌握好三角化歸思想，三角公式不要死記硬背，要學(xué)會高速化歸，能夠記住幾個基本公式，就能快速推出所需要的任何公式，這是現(xiàn)在三角學(xué)習(xí)的方向。
第二，要學(xué)會三角化歸的通法，三角化歸的通法叫做“三變”：(一)變角；(二)變函數(shù)；(三)變式。掌握這三變，就能夠解決任何問題，解題時觀察三種基本矛盾，第一種基本矛盾是角的矛盾，如果角的矛盾是主要的就變角。第二種基本矛盾是三角函數(shù)的矛盾 高中政治。第三種主要矛盾如果是在三角函數(shù)基礎(chǔ)之上的式的矛盾，就用代數(shù)方法或者是三角方法來變式。
全面：優(yōu)化基礎(chǔ)最重要
現(xiàn)在可以適當(dāng)做一點(diǎn)新題，但重要經(jīng)驗是優(yōu)化基礎(chǔ)，把知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、程序化，在優(yōu)化的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)刈鲆恍┬骂}。因為整個有120分的基礎(chǔ)題，是150分，其中120分都是基礎(chǔ)，所以優(yōu)化基礎(chǔ)是最重要的，基礎(chǔ)好了，才能夠做到解題活，才能綜合知識，有較快的解題速度，所以應(yīng)該把主要精力放在優(yōu)化解題過程，濃縮提煉知識的機(jī)構(gòu)，優(yōu)化解題方法。同時模擬不要做得太多，要減輕壓力，樹立自信心。
高考數(shù)學(xué)選擇題策略與技巧的分析
選擇題在當(dāng)今中，不但題目數(shù)量多，而且占分比例高，有12個小題，每題5分，共60分。這種題具有概括性強(qiáng)，覆蓋面廣，小巧靈活，有一定的綜合性和深度的特點(diǎn)，能否準(zhǔn)確、快速、簡捷地做好選擇題是能否取得高分的關(guān)鍵。
高考數(shù)學(xué)選擇題的求解，一般有兩種思路，一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；二是將題干和選項聯(lián)合考慮或以選項出發(fā)探求是否滿足題干條件。但由于選擇題屬于小題，解題原則是“小題小做”，解題的基本策略是：要充分利用題設(shè)和選項兩方面所提供的信息來判斷。一般來說能定性判斷的，就不再使用定量計算；能用特殊值判定的，就不用常規(guī)解法；能使用間接解法的，就不用直接解法；能夠明顯可以否定的選項，就及早排除，縮小選擇范圍；能有多種解題思路的，宜選擇最簡捷的解法等。下面將對主要的選擇題解題策略和技巧進(jìn)行討論和分析。
一、直接法策略
從題設(shè)條件出發(fā)通過正確的運(yùn)算或推理，直接求得結(jié)論，再對照選項做出判斷。
二、間接法策略
不通過題設(shè)條件進(jìn)行推理計算，而是利用旁敲側(cè)擊的來求出正確結(jié)論。
三、排除法策略
從已知條件出發(fā)，通過觀察分析或推理運(yùn)算各選項提供的信息，將錯誤的選項逐一排除，而獲得正確的結(jié)論。
例1：(2005年高考題)不共面的四個定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有( )
A.3個B.4個C. 6個D. 7個
解：第一種情況：當(dāng)一個點(diǎn)在平面的一側(cè)，其余3個點(diǎn)在平面的別一側(cè)時，共有4個，排除A,B。
第二種情況：當(dāng)兩個點(diǎn)在平面的一側(cè)，其余兩個點(diǎn)在的另一側(cè)時共有3個，總共有7個，排除C,選擇D。
四、特殊值法策略
根據(jù)選項的唯一正確性，利用符合條件的字母特殊值代入題干和選項，從而確定正確答案，其關(guān)鍵在于選取適當(dāng)?shù)奶厥庵礫包括特殊點(diǎn)(特殊位置)、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖形等]。
例1：(2004年高考題)已知函數(shù)y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()
A. (0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
解：令，X1 =0, X2=1,則,可排除A、C
令a=3，x=1則2-ax=2-3<0，對數(shù)無意義，排除D,選擇B。
五.代入驗證法、估算法、數(shù)形結(jié)合法、極限法等其它方法策略
除上述的方法之外，高考數(shù)學(xué)選擇題還有估算法、極限法等其它方法和技巧也可以靈活運(yùn)用。
例：(2005年湖北省高考題)根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi) 高中英語，積累的需求量Sn(萬件)近似地滿足(n=1、2、3、···12)，據(jù)此預(yù)測在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是( )
A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月
解：由an=Sn-Sn-1可算出an ，由二次函數(shù)性質(zhì)可算出a n的對稱軸為7.5.當(dāng)X=6時，an=1.5，為了大于1.5則x取7.8 ，選擇C。
通過上述分析得到的啟示是：選擇題的解題方法很多，為了正確迅速求得結(jié)果，不能拘泥于一種方法，應(yīng)揚(yáng)長避短，兼蓄并用、靈活溝通，為我所用，特別注意以下幾點(diǎn)：
(1)解題時首先考慮間接法，不要一味采用直接法。
(2)在間接法中首先應(yīng)考慮排除法，即使不能全部將干擾項除掉，至少可以排除一部分，從而簡化剩余部分的選擇程序。
(3)若能迅速判斷某個答案正確，則可不及其余，當(dāng)機(jī)立斷地做出選擇。
(4)若肯定某個答案有困難時，可轉(zhuǎn)而去否定其余的答案、只要其余答案被否定了，剩下的一個答案一定是正確的。
在具體操作上，最好能雙管齊下，把正面肯定與反面否定相結(jié)合，就能沿著最佳途徑準(zhǔn)確迅速地選擇正確答案。
在解答高考數(shù)學(xué)選擇題時如果能夠做到：準(zhǔn)、快、巧，就能既在選擇題部分獲得高分，又能贏得較多的時間去解答其它部分的問題，從而使得高考數(shù)學(xué)最終突破高分。
臨場應(yīng)試技巧 選擇題直接求解法
古語云：授人以魚，只供一飯。授人以漁，則終身受用無窮。學(xué)，更要學(xué)。清華網(wǎng)校的欄目由清華附中名師結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗和附中優(yōu)秀心得組成，以幫助培養(yǎng)良好的習(xí)慣為目的，使在學(xué)習(xí)中能夠事半功倍。
中總有那么一兩道問題難度系數(shù)很低的，問題難，以拉開來不同考生的差距。遇到難題一時想不出來，可以考慮換一種方法，換一種思路，如果仍然沒有頭緒，不妨先放一放，記下題號，等后面的解答完了再回來看看，你可能會獲得新的解題方法。 最后如果仍然沒有想出來的也不能放棄，是選擇題就要猜測答案了，填空題也不能空著，猜測答案往上寫，是大題，就要分步寫，只要與問題有關(guān)，能寫多少寫多少。
遇到了難題，我該怎么辦？
會做的題目要力求做對、做全、得，而更多的問題是對不能完整完成的題目如何分段得分。下面有兩種常用方法。
一、面對一個疑難問題，一時間想不出方法時，可以將它劃分為幾個子問題，然后在解決會解決的部分，即能解決到什么程度就解決到什么程度，能演算幾步就寫幾步。如從最初的把文字語言譯成符號語言，把條件和目標(biāo)譯成表達(dá)式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù) 高中語文，設(shè)軌跡題的動點(diǎn)坐標(biāo)，依題意正確畫出圖形等，都能得分。而且可望在上述處理中，可能一時獲得，因而獲得解題方法。
二。有些問題好幾問，每問都很難，比如前面的小問你解答不出，但后面的小問如果根基前面的結(jié)論你能夠解答出來，這時候不妨先解答后面的，此時可以引用前面的結(jié)論，這樣仍然可以得分。如果稍后想出了前面的解答方法，可以補(bǔ)上：“事實上，第一問可以如下證明”。
選擇題有什么解題技巧嗎？
1、直接求解法
從題目的條件出發(fā)，通過正確的運(yùn)算或推理，直接求得結(jié)論，再與選擇支對照來確定選擇支。
2、篩選排除法
在幾個選擇支中，排除不符合要求的選擇支，以確定符合要求的選擇支。
3、特殊化方法
就是取滿足條件的特例(包括取特殊值、特殊點(diǎn)、以特殊圖形代替一般圖形等)，并將得出的結(jié)論與四個選項進(jìn)行比較，若出現(xiàn)矛盾，則否定，可能會否定三個選項;若結(jié)論與某一選項相符，則肯定，可能會一次，這種方法可以彌補(bǔ)其它方法的不足。
高三立體幾何的基本問題總結(jié)
到了高三階段，同學(xué)們就已經(jīng)有了十二年的經(jīng)驗了，在這漫長的學(xué)海生涯中，經(jīng)過歷練和鉆研，每個人都有一套獨(dú)特的總結(jié)問題的，關(guān)于高三立體幾何，也有幾點(diǎn)總結(jié)，在這里分享給大家，希望能夠有所幫助。
立體幾何中兩個最基本的問題，一個是求角度，一個是求距離。
1求角度的問題：一般解法的關(guān)鍵是把所求角放在一個三角形里，最好是直角三角形，這樣解三角形就可以了。一般的線線角都可以嘗試這種方法，即若角不在三角形里，就注意角的兩邊，在兩邊上找到合適的點(diǎn)做出三角形后解此三角形。
求線面角和二面角一般是轉(zhuǎn)化為線線角。這里一定要先嘗試三垂線定理。個人經(jīng)驗表明至少80%的線面角、二面角題都靠這種方法，極少數(shù)情況下，若發(fā)現(xiàn)線面角和面面角可以直接轉(zhuǎn)化為線線角（比如求二面角時發(fā)現(xiàn)題目已經(jīng)給出一個垂直于兩平面的平面C，那么此平面C與那兩個平面的交線的夾角就是二面角）的話就直接求。而三垂線定理的核心在于那條和平面垂直的線，若題目中給了一條線垂直于一個平面的話就要特別留心加以利用，若沒給就往往需要自己做一條。用三垂線定理可以把所求角轉(zhuǎn)化為線線角并直接放到直角三角形里，是求線面角、二面角最常用的方法。
2距離：記住異面直線的距離常常是沒法直接求的！公垂線給了能直接求，公垂線沒給的話可能一天也找不到它在哪里。常用的方法是找一個包含一條直線并與另一直線平行的平面，轉(zhuǎn)化為線面距離，或者面面距離。但線面距離和面面距離有時也不好求，常見的方法是再轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離，然后用三棱錐三組底與高乘積相等的辦法，即體積法可以求出點(diǎn)面距離。
在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中只要掌握了問題的核心，就是把所求問題化繁為簡，這樣接下來的求證部分就能順理成章的完成了 高中化學(xué)。立體幾何部分是中獨(dú)立存在的部分，和其他關(guān)系不大，只要在學(xué)習(xí)過程中摸尋規(guī)律并掌握方法，就會學(xué)得很好。多練習(xí)多遇到不同體型是有效提高這部分成績的最好的辦法。
新高三理科生數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)方法
高考的考察主要還是基礎(chǔ)，難題也不過是在簡單題的基礎(chǔ)上加以綜合。所以課本上的內(nèi)容是很重要的，如果課本上的都不能掌握，就沒有觸類旁通的資本。
對課本上的.內(nèi)容，上課之前最好能夠首先一下，否則上課時有一個知識點(diǎn)沒有跟上的步驟，下面的就不知所以然了，如此惡性循環(huán)，就會開始厭煩數(shù)學(xué)，對來說是很重要的。課后針對性的練習(xí)題一定要認(rèn)真做，不能偷懶 高中學(xué)習(xí)方法，也可以在課后時把例題反復(fù)演算幾遍，畢竟上課的時候，是在進(jìn)行題目的演算和講解，在聽，這是一個比較機(jī)械、比較被動的接受知識的過程。也許你認(rèn)為自己在上聽懂了，但實際上你對于解題的理解還沒有達(dá)到一個比較深入的程度，并且非常容易忽視一些真正的解題過程中必定遇到的難點(diǎn)�！昂媚X子不如賴筆頭”。對于數(shù)理化題目的解法，光靠腦子里的大致想法是不夠的，一定要經(jīng)過周密的筆頭計算才能夠發(fā)現(xiàn)其中的難點(diǎn)并且掌握化解，最終得到正確的計算結(jié)果。
其次是要善于總結(jié)歸類，尋找不同的題型、不同的知識點(diǎn)之間的共性和聯(lián)系，把學(xué)過的知識系統(tǒng)化。舉個具體的例子：代數(shù)的函數(shù)部分，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等好幾種不同類型的函數(shù)。但是把它們對比著總結(jié)一下，你就會發(fā)現(xiàn)無論哪種函數(shù)，我們需要掌握的都是它的表達(dá)式、圖象形狀、奇偶性、增減性和對稱性。那么你可以將這些函數(shù)的上述內(nèi)容制作在一張大表格中，對比著進(jìn)行理解和。在解題時注意函數(shù)表達(dá)式與圖形結(jié)合使用，必定會收到好得多的效果。
最后就是要加強(qiáng)課后練習(xí)，除了作業(yè)之外，找一本好的參考書，盡量多做一下書上的練習(xí)題（尤其是綜合題和應(yīng)用題）。熟能生巧，這樣才能鞏固課堂學(xué)習(xí)的效果，使你的解題速度越來越快。
高三數(shù)學(xué)概率訓(xùn)練題
章末綜合測（10）概率
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
�、佟叭〕�2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；
�、凇叭〕�2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；
�、邸叭〕�3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；
�、堋叭〕�3只紅球”與“取出3只白球”．
其中是對立事件的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．③
D解析：從袋中任取3只球，可能取到的情況有：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的兩個事件都不是對立事件．對于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”三種情況，與“取出3只紅球”是對立事件.
2．取一根長度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是( )
A.14 B.13
C.12 D.23
C解析：把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P＝24＝12.
3．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲 、乙兩人下一盤棋，你認(rèn)為最為可能出現(xiàn)的情況是( )
A．甲獲勝 B．乙獲勝
C．甲、乙下成和棋 D．無法得出
C解析：兩人下成和棋的概率為50%，乙勝的概率為20%，故甲、乙兩人下一盤棋，最有可能出現(xiàn)的情況是 下成和棋.
4．如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為a2的扇形，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是( )
A．1－π4 B.π4
C．1－π8 D．與a的取值有關(guān)
A 解析：幾何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故選A.
5．從1,2,3,4這四個數(shù)中，不重復(fù)地任意取兩個種，兩個數(shù)一奇一偶的概率是( )
A.16 B.25
C.13 D.23
D 解析：基本事件總數(shù)為6，兩個數(shù)一奇一偶的情況有4種，故所求概率P＝46＝23.
6．從含有4個元素的集合的所有子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率是( )
A.310 B.112
C.4564 D.38
D解析：4個元素的集合共16個子集，其中含有兩個元素的子集有6個，故所求概
率為P＝616＝38.
7 ．某班準(zhǔn)備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運(yùn)到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是( )
A．一定不會淋雨 B．淋雨的可能性為34
C．淋雨的可能性為12 D．淋雨的可能性為14
D解析：基本事件有“下雨帳篷到”、“不下雨帳篷到”、“下雨帳篷未到”、“不下
雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為14.
8．將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為( )
A.19 B.112
C.115 D.118
D解析：基本事件總數(shù)為216，點(diǎn)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12個，故求概率為P＝12216＝118.
9．設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和集合B中隨機(jī)取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則N的所有可能值為( )
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
D解析：點(diǎn)P(a，b)的個數(shù)共有2×3＝6個，落在直線x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直線x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直線x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直線x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故選D.
10．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈0，π2的概率是( )
A.512 B.12
C.712 D.56
C 解析：基本事件總數(shù)為36，由cosθ＝abab≥0得ab≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21個，故所求概率為P＝2136＝712.
11．在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，方格的邊長(方格邊長設(shè)為a)要多少才能使得硬幣與方格線不相交的概率小于1% ( )
A．a(chǎn)＞910 B．a(chǎn)＞109
C．1＜a＜109 D．0＜a＜910
C解析：硬幣與方格線不相交，則a＞1時，才可能發(fā)生，在每一個方格內(nèi)，當(dāng)硬幣的圓心落在邊長為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內(nèi)時，硬幣與方格線不相交，故硬幣與方格線不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.
12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得點(diǎn)數(shù)記作a，擲第二顆骰子得數(shù)記作b，則(a，b)∈A∩B的概率等于 ( )
A.14 B.29
C.736 D.536
B解析：根據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，可知A∩B對應(yīng)如圖所示的陰影部分的區(qū)域中的整數(shù)點(diǎn)．其中整數(shù)點(diǎn)有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14個．現(xiàn)先后拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)分別有6種，共會出現(xiàn)36種結(jié)果，其中落入陰影區(qū)域內(nèi)的有8種，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以滿足(a，b)∈A∩B的概率為836＝29，
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．
13．若實數(shù)x，y滿足x≤2，y≤1，則任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率為__________．
解析：點(diǎn)(x，y)在由直線x＝±2和y＝±1圍成的矩形上或其內(nèi)部，使x2＋y2≤1的點(diǎn)(x，
y)在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上或其內(nèi)部，故所求概率為P＝π4×2＝π8.
答案：π8
14．從所有三位二進(jìn)制數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則這個數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)后比5大的概率是
________．
解析：三位二進(jìn)制數(shù)共有4個，分別111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)與110(2)化為十
進(jìn)制數(shù)后比5大，故所求概率為P＝24＝12.
答案：12
15．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為n，方程
組mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一組解的概率是__________．
1718 解析：由題意，當(dāng)m2≠n3，即3m≠2n時，方程組只有一解．基本事件總數(shù)為36，
滿足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共兩個，故滿足3m≠2n的基本事件數(shù)為34個，
故所求概率為P＝3436＝1718.
16．在圓(x－2)2＋(y－2)2＝8內(nèi)有一平面區(qū)域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，點(diǎn)P是圓內(nèi)的
任意一點(diǎn)，而且出現(xiàn)任何一個點(diǎn)是等可能的．若使點(diǎn)P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最
大，則m＝__________.
0 解析：如圖所示，當(dāng)m＝0時，平面區(qū)域E的面積最大，
則點(diǎn)P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽 命(單位：小時)進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42
頻率[]
(1)將各組的頻率填入表中；
(2)根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，計算燈管使用壽命不足1 500小時的頻率；
(3)該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管15支，若將上述頻率作為概率，估計經(jīng)過1 500小時約需換幾支燈管．
解析：
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42
頻率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以，燈管使用壽命不足1 500小時的頻率是0.6.
(3)由(2)只，燈管使用壽命不足1 500小時的概率為0.6.
15×0.6＝9，故經(jīng)過1 500小時約需換9支燈管．
18．(12分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸 取一個球．
(1)一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；
(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．
解析：(1)一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：
(紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、
(黑、紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑、黑、黑)．
(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，
事件A包含的基本事件為：
(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)．
事件A包含的基本事件數(shù)為3.
由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，
所以事件A的概率為P(A)＝38.
19．(12分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b.設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi.
(1)求事件“z－3i為實數(shù)”的概率；
(2)求事件“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)(a，b)滿足(a－2)2＋b2≤9”的概率．
解析：(1)z－3i為實數(shù)，
即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實數(shù)，∴b＝3.
又b可取1,2,3,4,5,6，故出現(xiàn)b＝3的概率為16.
即事件“z－3i為實數(shù)”的概率為16.
(2)由已知，b的值只能取1,2,3.
當(dāng)b＝1時，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；
當(dāng)b＝2時，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；
當(dāng)b＝3時，(a－2)2≤0，即a可取2.
綜上可知，共有9種情況可使事件成立．
又a，b的取值情況共有36種，
所以事件“點(diǎn)(a，b)滿足(a－2 )2＋b2≤9”的概率為14.
20．(12分)汶川地震發(fā)生后，某市根據(jù)上級要求，要從本市人民醫(yī)院報名參加救援的護(hù)理專家、外科專家、治療專家8名志愿者中，各抽調(diào)1名專家組成一個醫(yī)療小組與省專家組一起赴汶川進(jìn)行醫(yī)療求助，其中A1，A2，A3是護(hù)理專家，B1，B2，B3是外科專家，C1，C2是治療專家．
(1)求A1恰被選中的概率；
(2)求B1和C1不全被選中的概率．
解析：(1)從8名志愿者中選出護(hù)理專家、外科專家、心理治療專家各1名，其一切可能的結(jié)果為：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18個基本事件．
用M表示“A1恰被選中 ”這一事件，則
M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6個基本事件．
所以P(M)＝618＝13.
(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則 其對立事件N表示“B1和C1全被選中”這一事件，
由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個基本事件，
所以P(N)＝318＝16，
由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.
21．(12分)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是從－4，－3，－2，－1四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；
(2)若a是從區(qū)間[－4，－1]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[1,3]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．
解析：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．
當(dāng)a＜0，b＞0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a＋b≤0.
(1)基本事件共12個：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，
(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．
其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為
P(A)＝912＝34.
(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，
所求概率為這兩區(qū)域面積的比．
所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.
22．(12分)某單位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分別擔(dān)任周六、周日的值班任務(wù)(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．
(1)共有多少種安排？
(2)其中甲、乙兩人都被安排的概率是多少？
(3)甲、乙兩人中至少有一人被安排的概率是多少？
解析：(1)安排情況如下：
甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12種安排方法．
(2)甲、乙兩人都被安排的情況包括：“甲乙”，“乙甲”兩種，故甲、乙兩人都被安排(記為事件A)的概率為
P(A)＝212＝16.
(3)方法一：“甲、乙兩人中至少有一人被安排”與“甲、乙兩人都不被安排”這兩個事件是對立事件，∵甲、乙兩人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”兩種，則“甲、乙兩人都不被安排的概率為212＝16”．
∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.
方法二：甲、乙兩人中至少有一人被安排的情況包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10種，∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1012＝56.
高三數(shù)學(xué)教案 平面向量的解題技巧
教案 平面向量的解題技巧
1.這部分內(nèi)容中所占分?jǐn)?shù)一般在10分左右.
2.題目類型為一個選擇或填空題,一個與其他綜合的解答題.
3.考查內(nèi)容以向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積和模的運(yùn)算為主.
【考點(diǎn)透視】
"平面向量"是新課程新增加的內(nèi)容之一,高考每年都考,題型主要有選擇題、填空題,也可以與其他知識相結(jié)合在解答題中出現(xiàn),多以低、中檔題為主.
透析高題,知命題熱點(diǎn)為:
1.向量的概念,幾何表示,向量的加法、減法,實數(shù)與向量的積.
2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.
3.兩非零向量平行、垂直的充要條件.
4.圖形平移、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.
5.由于向量具有"數(shù)"與"形"雙重身份,加之向量的工具性作用,向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結(jié)合,綜合解決三角函數(shù)的化簡、求值及三角形中的有關(guān)問題,處理有關(guān)長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等.
6.利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化,向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算等;利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問題代數(shù)化,通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.
【例題解析】
1. 向量的概念,向量的基本運(yùn)算
(1)理解向量的概念,掌握向量的幾何意義,了解共線向量的概念.
(2)掌握向量的加法和減法.
(3)掌握實數(shù)與向量的積,理解兩個向量共線的充要條件.
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐標(biāo)的概念,掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.
(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式.
例1(2007年北京卷理)已知 是 所在平面內(nèi)一點(diǎn), 為 邊中點(diǎn),且 ,那么( )
A. B. C. D.
命題意圖:本題考查能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計算的.
解:
故選A.
例2.(2006年安徽卷)在 中, ,M為BC的中點(diǎn),則 ______.(用 表示)
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實數(shù)與向量的積.
解: , ,所以, .
例3.(2006年廣東卷)如圖1所示,D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn),則向量 ( )
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力.
解: ,故選A.
例4. ( 2006年重慶卷)與向量 = 的夾解相等,且模為1的向量是 ( )
(A) (B) 或
(C) (D) 或
命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問題.
解:設(shè)所求平面向量為 由
另一方面,當(dāng)
當(dāng)
故平面向量 與向量 = 的夾角相等.故選B.
例5.(2006年天津卷)設(shè)向量 與 的夾角為 ,且 , ,則 __.
命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.
解:
例6.(2006年湖北卷)已知向量 , 是不平行于 軸的單位向量,且 ,則 = ()
(A) (B) (C) (D)
命題意圖: 本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想解題的能力.
解:設(shè) ,則依題意有
故選B.
例7.設(shè)平面向量 、 、 的和 .如果向量 、 、 ,滿足 ,且 順時針旋轉(zhuǎn) 后與 同向,其中 ,則( )
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.
常規(guī)解法:∵ ,∴ 故把2 (i=1,2,3),分別按順時針旋轉(zhuǎn)30 后與 重合,故 ,應(yīng)選D
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