關(guān)于數(shù)學(xué)最讓人難以理解的一點(diǎn)分析

　　Scott Aaronson是麻省理工學(xué)院電子工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)專業(yè)的一名副教授，隸屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)與人工智能實(shí)驗(yàn)室。他是《從德謨克利特到量子計(jì)算》（Quantum Computing since Democritus , 2013）的作者。

　　在某種意義上，數(shù)學(xué)中的謎題比其他任何人類竭力探索的領(lǐng)域都要少。在數(shù)學(xué)上，我們可以真正地理解一些事物，比理解其他事物更加深刻。（當(dāng)我年輕時(shí)，每當(dāng)看懸疑電影時(shí)感到恐慌，我就會(huì)用背誦數(shù)學(xué)定理證明的方法來讓自己安心，因?yàn)橹辽龠@里面的確定性是電影無法撼動(dòng)的。）那么為何還有許多人，尤其是數(shù)學(xué)家，對(duì)這個(gè)謎題最少的學(xué)科感到迷惑呢？他們?cè)谝苫笫裁茨兀?/p>

　　數(shù)學(xué)世界當(dāng)然是存在謎題的。對(duì)于入門者而言，數(shù)學(xué)有著數(shù)以千計(jì)的未解之謎，比如一些無人能證明或證偽的推斷，其中有些甚至耗費(fèi)了數(shù)學(xué)家數(shù)十年的努力仍未能解決。盡管許多此類問題都很深?yuàn)W和重要，我們現(xiàn)在仍可以找出一個(gè)簡單的例子：沒人能夠證明，圓周率π=3.141592653589…無盡的小數(shù)部分，數(shù)字0到9出現(xiàn)的頻率是相等的。

　　然而，出于一些原因（也適用于許多其他未解數(shù)學(xué)問題），是否該把這個(gè)問題稱為“謎題”還有爭議。對(duì)于大多數(shù)人來講，如果這些數(shù)字事實(shí)上并非等頻率出現(xiàn)，那才算得上引人好奇的謎題。但在數(shù)學(xué)上，最大的難題其實(shí)是要嚴(yán)密地證明：真實(shí)的情況就是任何具備常識(shí)的人經(jīng)仔細(xì)思考后認(rèn)為最可能發(fā)生的情況。正如威斯康星大學(xué)的數(shù)學(xué)家Jordan Ellenberg寫道，數(shù)學(xué)的一個(gè)骯臟秘密就是許多未解問題都有一個(gè)相似點(diǎn)：它們?nèi)鄙偕衩氐那珊稀?/p>

　　舉個(gè)例子，孿生素?cái)?shù)猜想認(rèn)為，有無限組相差為2的素?cái)?shù)對(duì)（如3和5，或者11和13）。Ellenberg解釋道，要讓這個(gè)猜想成立，并不需要什么神秘 “力量”將素?cái)?shù)聚攏一起，只要?jiǎng)e有什么神秘力量把素?cái)?shù)拆散就行了；或者以黎曼猜想為例，即一個(gè)特定的復(fù)變函數(shù)，無限多的非平凡零點(diǎn)都在一條直線上。當(dāng)該假說被這樣描述時(shí)，聽上去的確像是個(gè)謎。為什么無限多的數(shù)字都要恰好排列在一條線上呢？

　　但當(dāng)你認(rèn)識(shí)到，這個(gè)函數(shù)的每一個(gè)零點(diǎn)都編碼了素?cái)?shù)分布的全局信息時(shí)，神秘感也就消退了：只要有一個(gè)零點(diǎn)不在這條線上，就意味著有無限多的素?cái)?shù)會(huì)以看上去極為不可能的方式聚攏在一起。所以，如果你愿意，總得有一種神秘的規(guī)律存在，從而阻止更加神秘的第二種規(guī)律出現(xiàn)。

　　當(dāng)然，并非所有的數(shù)學(xué)謎題都是要嚴(yán)密地論證常識(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果。1978年，肯考迪婭大學(xué)的John McKay注意到數(shù)字196883出現(xiàn)在兩個(gè)看起來毫不相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這是單純的巧合么？1998年，Richard Borcherds（現(xiàn)就職于于加利福尼亞大學(xué)伯克利分校）證明了這絕非巧合（這受到英國數(shù)學(xué)家John Conway和Simon Norton提出的“魔群月光”猜想的啟發(fā)），并因此獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。

　　你也許會(huì)覺得數(shù)學(xué)是一個(gè)巨大的陰謀：在某時(shí)某地，我們常會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中的一些事物竟能夠如此一致，這樣的幾率也太高了，以至于我們得說這絕非巧合，背后一定有更深入的解釋等著被發(fā)掘。另一方面，恰恰由于整個(gè)學(xué)科都充滿了非巧合的模式，一旦你在數(shù)學(xué)上投入了足夠的時(shí)間，你也就見怪不怪了。

　　因此，關(guān)鍵的問題在于：當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)模型被解釋——不僅是被證明，而是已經(jīng)用20種不同方法證明，完全被理解，就像勾股定理一樣——那還剩有神秘么？我會(huì)說也許還有吧，但并不確定。

　　兩年前，一位捷克弦理論家，同時(shí)也是以保守態(tài)度而知名的數(shù)學(xué)博主Lubo? Motl曾指責(zé)理論計(jì)算機(jī)科學(xué)家不該相信“P≠NP” 猜想——這是計(jì)算領(lǐng)域一個(gè)未被證明的核心理論，但就這樣一個(gè)毫無合理依據(jù)的“偏見”，居然就成了包括我在內(nèi)的理論計(jì)算機(jī)領(lǐng)域人士的群體思維和意識(shí)形態(tài)，他認(rèn)為這是不可接受的。因?yàn)槌诌@種看法的不止Motl一人，他的指控本身并不是那么引人注目，但他走得更遠(yuǎn)：盡管他作出了讓步，認(rèn)為在更接近物理學(xué)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，或許會(huì)存在支持某一陳述為真的客觀原因，但他聲稱，在遠(yuǎn)離物理學(xué)的分支里，數(shù)學(xué)就會(huì)變成一堆命題的雜亂堆砌。

　　有一些命題碰巧得到了證明，我們也因此同意它們是對(duì)的，就像我們會(huì)同意532+193=725一樣。但如果一個(gè)命題沒能被證明或者被證偽，在Motl看來，我們甚至都沒有辦法以比50%更高的概率“猜”出它到底是真是偽。這一不知真?zhèn)蔚拿�題無法與任何已經(jīng)被證明的命題建立可靠的聯(lián)系，也不能被歸入更寬泛的模式中，只能引出一個(gè)接一個(gè)不知真假的引理。

　　然而，我自己在研究中從未有過這種經(jīng)歷，我認(rèn)識(shí)的其他任何從事數(shù)學(xué)工作的人也從未有過這種經(jīng)歷。沒錯(cuò)，人們有時(shí)會(huì)感到驚訝，驚訝也是驚喜的重要來源之一。但驚訝之所以為驚訝，就在于它們的稀有，因?yàn)槠渌�大部分時(shí)候，事情都如專家預(yù)期般發(fā)展。而驚訝為何如此稀有，本身就是一個(gè)令人驚訝的謎。數(shù)學(xué)本可能變成Motl所說的樣子：在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們所關(guān)注的命題到底是對(duì)是錯(cuò)，背后并不存在人類能夠理解的理由。但總的來說，數(shù)學(xué)并沒有變成這樣，為什么呢？

　　我們可以把這個(gè)問題表述得更清晰一些：在奧地利出生的.數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽枺↘urt G?del）告訴我們，如果我們無法得到一個(gè)數(shù)學(xué)問題的答案（除了可以被歸結(jié)于有限步計(jì)算的問題，例如白棋在游戲中能否取勝），有可能是因?yàn)檫@個(gè)命題的解從根本上就不能用尋常的數(shù)學(xué)公理來證明或證偽。這一發(fā)現(xiàn)被稱為“哥德爾不完備性定理”，給整個(gè)數(shù)學(xué)界帶來了軒然大波。但是，85年之后，我們卻發(fā)現(xiàn)，這一定理大多數(shù)時(shí)候卻都處于休眠狀態(tài)。哥德爾的不完備定理只在特定情況下適用：只適用于某些關(guān)于整個(gè)公理系統(tǒng)的問題（通常只在你有意尋找不可證命題時(shí)才會(huì)遇到）；或是超限集合論中的某些問題（然而有人認(rèn)為這些問題本來就不需要有確定的答案）；或是關(guān)于一組由0和1組成的特定字符串是否無規(guī)律的問題（這個(gè)問題好像也沒有什么普遍意義，除非你出于某種理由對(duì)某個(gè)特定的無規(guī)字符串感興趣）；或是設(shè)計(jì)超快增長函數(shù)的問題。

　　為什么會(huì)這樣？為什么哥德爾不完備性定理并沒有大幅破壞數(shù)學(xué)的一致性呢？數(shù)學(xué)本可以不是這個(gè)樣子：理論上，費(fèi)馬大定理、龐加萊猜想和其他關(guān)于數(shù)學(xué)的命題也都可以既無法證明也無法證偽，而如果這樣，那么所有關(guān)于數(shù)學(xué)的有趣的事實(shí)就會(huì)分崩離析，成為一個(gè)個(gè)孤立的島嶼，這樣，每個(gè)島上就只剩一個(gè)問題，我們唯一需要操心的就是是否應(yīng)該把它定為新的公理（而這也僅僅是個(gè)人口味問題罷了）。但情況并非如此：數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的并不是數(shù)以百萬的孤立“島嶼”，而是一個(gè)“超大陸”，海岸外只有零星幾個(gè)“島嶼”——而大多數(shù)“島嶼”，隨著探索的深入，也最終與大陸聯(lián)系在了一起。

　　于是問題又來了：為什么呢？一個(gè)可能的原因是選擇效應(yīng)：數(shù)學(xué)中當(dāng)然有許多無規(guī)律的部分，但正因?yàn)樗鼈儫o規(guī)律，人類也就對(duì)它沒有興趣了。我們教給學(xué)生、寫入教科書（或者寫入像本文一樣夸夸其談的文章里）的部分，都是最終會(huì)與“大陸”聯(lián)系起來的部分。同樣地，沒有人會(huì)驚嘆于傳記主角為什么會(huì)有如此精彩的生活，因?yàn)槿绻�他們沒有如此精彩的人生經(jīng)歷，也就不會(huì)有人為他們寫傳記了。

　　在我看來，這就是答案的一部分，但并不是答案的全部，因?yàn)樗�并不能解釋所有�?shù)學(xué)家都會(huì)遇到的一些事情：數(shù)學(xué)中很多看似無關(guān)的概念之間經(jīng)常有著驚人相似的模式，或者有讓人意想不到的聯(lián)系，甚至是在無人能夠提前預(yù)知的情況下。

　　第二個(gè)可能的原因是，即使是數(shù)學(xué)中看上去脫離物理的部分，也是由我們對(duì)物理世界的經(jīng)驗(yàn)間接啟發(fā)得來的——所以，由于我們所在的物理世界是內(nèi)在一致的，它們也是內(nèi)在一致的。這個(gè)答案可能會(huì)將“數(shù)學(xué)為何可以被人理解，又為何如此優(yōu)雅”的謎題推回到另一個(gè)謎題，即匈牙利出生的數(shù)學(xué)家尤金·維格納（Eugene Wigner）所說的物理科學(xué)中數(shù)學(xué)的“不合理有效性”。

　　第三類原因則可能在于人類大腦的獨(dú)特特征：它有一種神奇能力，天生傾向?qū)Ｗ⒂诮K將可解的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)天生傾向于研究彼此之間能產(chǎn)生有趣聯(lián)系的概念，即使大腦并不知道自己在這么做。

　　我不知道到底哪種答案更接近真實(shí)，或者說還有其他完全不同的答案。不過，我依然可以自信地說，數(shù)學(xué)是神秘的——但最神秘的一點(diǎn)，是它為什么竟然沒有那么神秘。

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