高中數(shù)學(xué)弦切角定理的求證方法
弦切角是幾何圖形，但它也是有定理證明的，具體的定理是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的弦切角定理證明內(nèi)容，希望大家喜歡。
弦切角定理之弦切角定義
頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另 一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線(xiàn)與弦所夾的角)
如右圖所示，直線(xiàn)PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都為弦切角。
編輯本段弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：
證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的.弧的圓周角)
證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證弦切角定理
證明：分三種情況：
(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,
∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.
過(guò)A作直徑AD交⊙O于D,
若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E
那么，連接EC、ED、EA
則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圓心O在∠BAC的外部,
過(guò)A作直徑AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
弦切角定理推論內(nèi)容
若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等
應(yīng)用舉例
例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長(zhǎng).
解：連結(jié)OA，OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)
例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).
求證：EF∥BC.
證明：連DF.
AD是∠BAC的平分線(xiàn)∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
證明：∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵M(jìn)N切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
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