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現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展與意義
現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展與意義
關(guān)鍵詞：現(xiàn)代數(shù)學(xué)歷史意義現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期是指由19世紀(jì)20年代至今，這一時(shí)期數(shù)學(xué)主要研究的是最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量?jī)H僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。它們是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程，非數(shù)學(xué)專業(yè)也要具備其中某些知識(shí)。變量數(shù)學(xué)時(shí)期新興起的許多學(xué)科，蓬勃地向前發(fā)展，內(nèi)容和方法不斷地充實(shí)、擴(kuò)大和深入。
18、19世紀(jì)之交，數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到豐沛茂密的境地，似乎數(shù)學(xué)的寶藏已經(jīng)挖掘殆盡，再?zèng)]有多大的發(fā)展余地了。然而，這只是暴風(fēng)雨前夕的寧?kù)o。19世紀(jì)20年代，數(shù)學(xué)革命的狂飆終于來臨了，數(shù)學(xué)開始了一連串本質(zhì)的變化，從此數(shù)學(xué)又邁入了一個(gè)新的時(shí)期——現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期。
19世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)上出現(xiàn)兩項(xiàng)革命性的發(fā)現(xiàn)——非歐幾何與不可交換代數(shù)。
大約在1826年，人們發(fā)現(xiàn)了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點(diǎn)。它的革命思想不僅為新幾何學(xué)開辟了道路，而且是20世紀(jì)相對(duì)論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。
后來證明，非歐幾何所導(dǎo)致的思想解放對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)有著極為重要的意義，因?yàn)槿祟惤K于開始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質(zhì)。從這個(gè)意義上說，為確立和發(fā)展非歐幾何貢獻(xiàn)了一生的羅巴契夫斯基不愧為現(xiàn)代科學(xué)的先驅(qū)者。
1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域——黎曼幾何學(xué)。非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)還促進(jìn)了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎(chǔ)的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨(dú)立性等問題。1899年，希爾伯特對(duì)此作了重大貢獻(xiàn)。
在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。不可交換代數(shù)的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為存在與一般的算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點(diǎn)。它的革命思想打開了近代代數(shù)的大門。
另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進(jìn)了群的概念。19世紀(jì)20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創(chuàng)了近代代數(shù)學(xué)的研究。近代代數(shù)是相對(duì)古典代數(shù)來說的，古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。這時(shí)，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象擴(kuò)大為向量、矩陣，等等，并漸漸轉(zhuǎn)向代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的研究。
上述兩大事件和它們引起的發(fā)展，被稱為幾何學(xué)的解放和代數(shù)學(xué)的解放。19世紀(jì)還發(fā)生了第三個(gè)有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)事件：分析的算術(shù)化。1874年威爾斯特拉斯提出了一個(gè)引人注目的例子，要求人們對(duì)分析基礎(chǔ)作更深刻的理解。他提出了被稱為“分析的算術(shù)化”的著名設(shè)想，實(shí)數(shù)系本身最先應(yīng)該嚴(yán)格化，然后分析的所有概念應(yīng)該由此數(shù)系導(dǎo)出。他和后繼者們使這個(gè)設(shè)想基本上得以實(shí)現(xiàn)，使今天的全部分析可以從表明實(shí)數(shù)系特征的一個(gè)公設(shè)集中邏輯地推導(dǎo)出來。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們的研究，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了把實(shí)數(shù)系作為分析基礎(chǔ)的設(shè)想。歐幾里得幾何通過其分析的解釋，也可以放在實(shí)數(shù)系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數(shù)分支是相容的。實(shí)數(shù)系(或某部分)可以用來解群代數(shù)的眾多分支；可使大量的代數(shù)相容性依賴于實(shí)數(shù)系的相容性。事實(shí)上，可以說：如果實(shí)數(shù)系是相容的，則現(xiàn)存的全部數(shù)學(xué)也是相容的。
19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)建立在更簡(jiǎn)單、更基礎(chǔ)的自然數(shù)系之上。即他們證明了實(shí)數(shù)系(由此導(dǎo)出多種數(shù)學(xué))能從確立自然數(shù)系的公設(shè)集中導(dǎo)出。20世紀(jì)初期，證明了自然數(shù)可用集合論概念來定義，因而各種數(shù)學(xué)能以集合論為基礎(chǔ)來講述。
拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是直到20世紀(jì)的第二個(gè)1/4世紀(jì)，它才得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對(duì)于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。科學(xué)家們認(rèn)識(shí)到：任何事物的集合，不管是點(diǎn)的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實(shí)體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對(duì)象的集合，都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論，已經(jīng)成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。
20世紀(jì)有許多數(shù)學(xué)著作曾致力于仔細(xì)考查數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)，這反過來導(dǎo)致公理學(xué)的產(chǎn)生，即對(duì)于公設(shè)集合及其性質(zhì)的研究。許多數(shù)學(xué)概念經(jīng)受了重大的變革和推廣，并且像集合論、近世代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)這樣深?yuàn)W的基礎(chǔ)學(xué)科也得到廣泛發(fā)展。一般(或抽象)集合論導(dǎo)致的一些意義深遠(yuǎn)而困擾人們的悖論，迫切
需要得到處理。邏輯本身作為在數(shù)學(xué)上以承認(rèn)的前提去得出結(jié)論的工具，被認(rèn)真地檢查，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯。邏輯與哲學(xué)的多種關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)學(xué)哲學(xué)的各種不同學(xué)派的出現(xiàn)。
20世紀(jì)40～50年代，世界科學(xué)史上發(fā)生了三件驚天動(dòng)地的大事，即原子能的利用、電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明和空間技術(shù)的興起。此外還出現(xiàn)了許多新的情況，促使數(shù)學(xué)發(fā)生急劇的變化。這些情況是：現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究的對(duì)象，日益超出人類的感官范圍以外，向高溫、高壓、高速、高強(qiáng)度、遠(yuǎn)距離、自動(dòng)化發(fā)展。以長(zhǎng)度單位為例、小到1塵(毫微微米，即10^-15米)，大到100萬秒差距(325.8萬光年)。這些測(cè)量和研究都不能依賴于感官的直接經(jīng)驗(yàn)，越來越多地要依靠理論計(jì)算的指導(dǎo)。其次是科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)�？涨皵U(kuò)大，一個(gè)大型的實(shí)驗(yàn)，要耗費(fèi)大量的人力和物力。為了減少浪費(fèi)和避免盲目性，迫切需要精確的理論分機(jī)和設(shè)計(jì)。再次是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)日益趨向定量化，各個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，都需要使用數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)幾乎滲透到所有的科學(xué)部門中去，從而形成了許多邊緣數(shù)學(xué)學(xué)科，例如生物數(shù)學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)理生物學(xué)、數(shù)理語言學(xué)等等。
上述情況使得數(shù)學(xué)發(fā)展呈現(xiàn)出一些比較明顯的特點(diǎn)，可以簡(jiǎn)單地歸納為三個(gè)方面：計(jì)算機(jī)科學(xué)的形成，應(yīng)用數(shù)學(xué)出現(xiàn)眾多的新分支、純粹數(shù)學(xué)有若干重大的突破。
1945年，第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)誕生以后，由于電子計(jì)算機(jī)應(yīng)用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門龐大的科學(xué)。粗略地說，計(jì)算機(jī)科學(xué)是對(duì)計(jì)算機(jī)體系、軟件和某些特殊應(yīng)用進(jìn)行探索和理論研究的一門科學(xué)。計(jì)算數(shù)學(xué)可以歸入計(jì)算機(jī)科學(xué)之中，但它也可以算是一門應(yīng)用數(shù)學(xué)。
計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)與制造的大部分工作，通常是計(jì)算機(jī)工程或電子工程的事。軟件是指解題的程序、程序語言、編制程序的方法等。研究軟件需要使用數(shù)理邏輯、代數(shù)、數(shù)理語言學(xué)、組合理論、圖論、計(jì)算方法等很多的數(shù)學(xué)工具。目前電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用已達(dá)數(shù)千種，還有不斷增加的趨勢(shì)。但只有某些特殊應(yīng)用才歸入計(jì)算機(jī)科學(xué)之中，例如機(jī)器翻譯、人工智能、機(jī)器證明、圖形識(shí)別、圖象處理等。
應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)(或基礎(chǔ)理論)從來就沒有嚴(yán)格的界限。大體上說，純粹數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的這一部分，它暫時(shí)不考慮對(duì)其它知識(shí)領(lǐng)域或生產(chǎn)實(shí)踐上的直接應(yīng)用，
它間接地推動(dòng)有關(guān)學(xué)科的發(fā)展或者在若干年后才發(fā)現(xiàn)其直接應(yīng)用；而應(yīng)用數(shù)學(xué)，可以說是純粹數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)之間的橋梁。
20世紀(jì)40年代以后，涌現(xiàn)出了大量新的應(yīng)用數(shù)學(xué)科目，內(nèi)容的.豐富、應(yīng)用的廣泛、名目的繁多都是史無前例的。例如對(duì)策論、規(guī)劃論、排隊(duì)論、最優(yōu)化方法、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論、系統(tǒng)分析、可靠性理論等。這些分支所研究的范圍和互相間的關(guān)系很難劃清，也有的因?yàn)橛昧撕芏喔怕式y(tǒng)計(jì)的工具，又可以看作概率統(tǒng)計(jì)的新應(yīng)用或新分支，還有的可以歸入計(jì)算機(jī)科學(xué)之中等等。
20世紀(jì)40年代以后，基礎(chǔ)理論也有了飛速的發(fā)展，出現(xiàn)許多突破性的工作，解決了一些帶根本性質(zhì)的問題。在這過程中引入了新的概念、新的方法，推動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)前進(jìn)。例如，希爾伯特1990年在國(guó)際教學(xué)家大會(huì)上提出的尚待解決的23個(gè)問題中，有些問題得到了解決。60年代以來，還出現(xiàn)了如非標(biāo)準(zhǔn)分析、模糊數(shù)學(xué)、突變理論等新興的數(shù)學(xué)分支。此外，近幾十年來經(jīng)典數(shù)學(xué)也獲得了巨大進(jìn)展，如概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、解析數(shù)論、微分幾何、代數(shù)幾何、微分方程、因數(shù)論、泛函分析、數(shù)理邏輯等等。
當(dāng)代數(shù)學(xué)的研究成果，有了幾乎爆炸性的增長(zhǎng)�？d數(shù)學(xué)論文的雜志，在17世紀(jì)末以前，只有17種(最初的出于1665年)；18世紀(jì)有210種；19世紀(jì)有950種。20世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)字更為增長(zhǎng)。在本世紀(jì)初，每年發(fā)表的數(shù)學(xué)論文不過1000篇；到1960年，美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》發(fā)表的論文摘要是7824篇，到1973年為20410篇，1979年已達(dá)52812篇，文獻(xiàn)呈指數(shù)式增長(zhǎng)之勢(shì)。數(shù)學(xué)的三大特點(diǎn)—高度抽象性、應(yīng)用廣泛性、體系嚴(yán)謹(jǐn)性，更加明顯地表露出來。
今天，差不多每個(gè)國(guó)家都有自己的數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，而且許多國(guó)家還有致力于各種水平的數(shù)學(xué)教育的團(tuán)體。它們已經(jīng)成為推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的有力因素之一。目前數(shù)學(xué)還有加速發(fā)展的趨勢(shì)，這是過去任何一個(gè)時(shí)期所不能比擬的�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)雖然呈現(xiàn)出多姿多彩的局面，但是它的主要特點(diǎn)可以概括如下：(1)數(shù)學(xué)的對(duì)象、內(nèi)容在深度和廣度上都有了很大的發(fā)展，分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)的思想、理論和方法都發(fā)生了驚人的變化，數(shù)學(xué)的不斷分化，不斷綜合的趨勢(shì)都在加強(qiáng)。(2)電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，產(chǎn)生巨大而深遠(yuǎn)的影響。(3)數(shù)學(xué)滲透到幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域，并且起著越來越大的作用，純粹數(shù)學(xué)不斷向縱深發(fā)展，數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)。
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