2018屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
2018年高考快到了，查缺補(bǔ)漏是高考考生做模擬試卷最重要的目的，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2018屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能幫到你。
2018屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.設(shè)集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg(x﹣1)}，則A∩B=( )
A.[1，2) B.(1，2] C.[2，+∞) D.[1，+∞)
2.復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) =( )
A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i
3.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
4.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù) (x∈R，i=1，2，3)的圖象如圖所示，則( )
A.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
5.如圖，已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點， = ， = ，則 =( )
A. ﹣ B. ﹣ C. + D. +
6.經(jīng)統(tǒng)計，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間(單位：小時)與成績(單位：分)近似于線性相關(guān)關(guān)系.對某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間x與數(shù)學(xué)成績y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如下：
x 15 16 18 19 22
y 102 98 115 115 120
由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為y=bx+a，則點(a，b)與直線x+18y=100的位置關(guān)系是( )
A.a+18b<100 B.a+18b>100
C.a+18b=100 D.a+18b與100的大小無法確定
7.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的S為( )
A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值 B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值
C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值 D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值
8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2an﹣1，則滿足 的最大正整數(shù)n的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積9π，則p=( )
A.2 B.4 C.3 D.
10.多面體MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖，其中正(主)視圖為等腰梯形，側(cè)(左)視圖為等腰三角形，則該多面體的體積為( )
A. B. C. D.6
11.函數(shù)f(x)= (ω>0)，|φ|< )的部分圖象如圖所示，則f(π)=( )
A.4 B.2 C.2 D.
12.已知曲線f(x)=e2x﹣2ex+ax﹣1存在兩條斜率為3的切線，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(3，+∞) B.(3， ) C.(﹣∞， ) D.(0，3)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3=9﹣a6，則S8= .
14.若直線ax+y﹣3=0與2x﹣y+2=0垂直，則二項式 展開式中x3的系數(shù)為 .
15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= 則f(2017)的值為 .
16.若函數(shù)y=f(x)在實數(shù)集R上的圖象是連續(xù)不斷的，且對任意實數(shù)x存在常數(shù)t使得f(x+t)=tf(x)恒成立，則稱y=f(x)是一個“關(guān)于t的函數(shù)”，現(xiàn)有下列“關(guān)于t函數(shù)”的結(jié)論：
�、俪�(shù)函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”;
�、谡壤瘮�(shù)必是一個“關(guān)于t函數(shù)”;
�、�“關(guān)于2函數(shù)”至少有一個零點;
�、躥(x)= 是一個“關(guān)于t函數(shù)”.
其中正確結(jié)論的序號是 .
三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17.(12分)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y= x(x≥0)交于點Q，與x軸交于點M.記∠MOP=α，且α∈(﹣ ， ).
(Ⅰ)若sinα= ，求cos∠POQ;
(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.
18.(12分)某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有除編號不同外，其余均相同的20個小球，這20個小球編號的莖葉圖如圖所示，活動規(guī)則如下：從抽獎箱中隨機(jī)抽取一球，若抽取的小球編號是十位數(shù)字為l的奇數(shù)，則為一等獎，獎金100元;若抽取的小球編號是十位數(shù)字為2的奇數(shù)，則為二等獎，獎金50元;若抽取的小球是其余編號則不中獎.現(xiàn)某顧客有放回的抽獎兩次，兩次抽獎相互獨立.
(I)求該顧客在兩次抽獎中恰有一次中獎的概率;
(Ⅱ)記該顧客兩次抽獎后的獎金之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
19.(12分)如圖，在三棱錐P﹣ABC中，F(xiàn)、G、H分別是PC、AB、BC的中點，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C為120°.
(I)證明：FG⊥AH;
(Ⅱ)求二面角A﹣CP﹣B的余弦值.
20.(12分)設(shè)橢圓C： + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交z軸負(fù)半軸于點Q，且 + = ，過A，Q，F(xiàn)2三點的圓的半徑為2.過定點M(0，2)的直線l與橢圓C交于G，H兩點(點G在點M，H之間).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的斜率k>0，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形.如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請說明理由.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)= ax2﹣2lnx，a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知點P(0，1)和函數(shù)f(x)圖象上動點M(m，f(m))，對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值范圍.
四、請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號涂黑.
22.(10分)已知曲線C1的參數(shù)方程是 (θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求曲線C1與C2交點的平面直角坐標(biāo);
(Ⅱ)A，B兩點分別在曲線C1與C2上，當(dāng)|AB|最大時，求△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點).
23.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥t2﹣3t在[0，1]上無解，求實數(shù)t的取值范圍.
2018屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.設(shè)集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg(x﹣1)}，則A∩B=( )
A.[1，2) B.(1，2] C.[2，+∞) D.[1，+∞)
【考點】1E：交集及其運算.
【分析】先分別求出集合A和集合B，由此利用交集定義能求出A∩B.
【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，
集合B={x|y=lg(x﹣1)}={x>1}，
∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞).
故選：C.
【點評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運用.
2.復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) =( )
A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i
【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算;A2：復(fù)數(shù)的基本概念.
【分析】根據(jù)所給的復(fù)數(shù)的表示形式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理出最簡形式，把虛部的符號變成相反的符號得到結(jié)果.
【解答】解：∵ = =1+i
∴ =1﹣i
故選D.
【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算和復(fù)數(shù)的基本概念，本題解題的關(guān)鍵是整理出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的最簡形式，本題是一個基礎(chǔ)題.
3.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
【考點】25：四種命題間的逆否關(guān)系.
【分析】由命題P和命題q寫出對應(yīng)的￢p和￢q，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”即可得到表示.
【解答】解：命題p是“甲降落在指定范圍”，則￢p是“甲沒降落在指定范圍”，
q是“乙降落在指定范圍”，則￢q是“乙沒降落在指定范圍”，
命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包括
“甲降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍，乙降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”三種情況.
所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(￢p)V(￢q).
故選A.
【點評】本題考查了復(fù)合命題的真假，解答的關(guān)鍵是熟記復(fù)合命題的真值表，是基礎(chǔ)題.
4.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù) (x∈R，i=1，2，3)的圖象如圖所示，則( )
A.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
【考點】CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.
【分析】正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，又有σ越小圖象越瘦長，得到正確的結(jié)果.
【解答】解：∵正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，
∴第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，
只能從A，D兩個答案中選一個，
∵σ越小圖象越瘦長，
得到第二個圖象的σ比第三個的σ要小，
故選D.
【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查密度函數(shù)中兩個特征數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差對曲線的位置和形狀的影響，是一個基礎(chǔ)題.
5.如圖，已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點， = ， = ，則 =( )
A. ﹣ B. ﹣ C. + D. +
【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義.
【分析】直接利用向量的基本定理判斷選項即可.
【解答】解：如圖：連結(jié)CD，OD，∵已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點，
∴AODC是平行四邊形，
∴ = .
故選：D.
【點評】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.
6.經(jīng)統(tǒng)計，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間(單位：小時)與成績(單位：分)近似于線性相關(guān)關(guān)系.對某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間x與數(shù)學(xué)成績y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如下：
x 15 16 18 19 22
y 102 98 115 115 120
由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為y=bx+a，則點(a，b)與直線x+18y=100的位置關(guān)系是( )
A.a+18b<100 B.a+18b>100
C.a+18b=100 D.a+18b與100的'大小無法確定
【考點】BK：線性回歸方程.
【分析】由樣本數(shù)據(jù)可得， ， ，利用公式，求出b，a，點(a，b)代入x+18y，求出值與100比較即可得到選項.
【解答】解：由題意， = (15+16+18+19+22)=18， = (102+98+115+115+120)=110，
xiyi=9993，5 =9900， xi2=1650，n( )2=5•324=1620，
∴b= =3.1，
∴a=110﹣3.1×18=54.2，
∵點(a，b)代入x+18y，
∴54.2+18×3.1=110>100.
即a+18b>100
故選：B.
【點評】本題考查數(shù)據(jù)的回歸直線方程，利用回歸直線方程恒過樣本中心點是關(guān)鍵.
7.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的S為( )
A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值 B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值
C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值 D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值
【考點】EF：程序框圖.
【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)秦九韶算法即可得解.
【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))，
故選：C.
【點評】本小題主要通過程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理能力，同時考查學(xué)生對算法思想的理解與剖析，本題特殊利用秦九韶算法，使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，屬于基礎(chǔ)題.
8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2an﹣1，則滿足 的最大正整數(shù)n的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】8H：數(shù)列遞推式.
【分析】Sn=2an﹣1，n=1時，a1=2a1﹣1，解得a1.n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，化為：an=2an﹣1，利用等比數(shù)列的通項公式可得：an=2n﹣1. 化為：2n﹣1≤2n，即2n≤4n.驗證n=1，2，3，4時都成立.n≥5時，2n=(1+1)n，利用二項式定理展開即可得出.2n>4n.
【解答】解：Sn=2an﹣1，n=1時，a1=2a1﹣1，解得a1=1.
n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣(2an﹣1﹣1)，化為：an=2an﹣1，
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為2.
an=2n﹣1.
化為：2n﹣1≤2n，即2n≤4n.
n=1，2，3，4時都成立.
n≥5時，2n=(1+1)n= + +…+ + + ≥2( + )=n2+n+2，
下面證明：n2+n+2>4n，
作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=(n﹣1)(n﹣2)>0，
∴n2+n+2>4n，
則滿足 的最大正整數(shù)n的值為4.
故答案為：C.
【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積9π，則p=( )
A.2 B.4 C.3 D.
【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì).
【分析】根據(jù)△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值.
【解答】解：∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，
∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑
∵圓面積為9π，∴圓的半徑為3
又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|= ，
∴ + =3
∴p=4
故選：B.
【點評】本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
10.多面體MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖，其中正(主)視圖為等腰梯形，側(cè)(左)視圖為等腰三角形，則該多面體的體積為( )
A. B. C. D.6
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】利用三視圖的數(shù)據(jù)，把幾何體分割為2個三棱錐1個三棱柱，求解體積即可.
【解答】解：用割補(bǔ)法可把幾何體分割成三部分，如圖：棱錐的高為2，底面邊長為4，2的矩形，棱柱的高為2.
可得 ，
故選：C.
【點評】本題考查三視圖復(fù)原幾何體的體積的求法，考查計算能力.
11.函數(shù)f(x)= (ω>0)，|φ|< )的部分圖象如圖所示，則f(π)=( )
A.4 B.2 C.2 D.
【考點】35：函數(shù)的圖象與圖象變化;3T：函數(shù)的值.
【分析】由圖象的頂點坐標(biāo)求出A，根據(jù)周期求得ω，再由sin[2(﹣ )+φ]=0以及 φ的范圍求出 φ的值，從而得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得f(π)的值.
【解答】解：由函數(shù)的圖象可得A=2，根據(jù)半個周期 = • = ，解得ω=2.
由圖象可得當(dāng)x=﹣ 時，函數(shù)無意義，即函數(shù)的分母等于零，即 sin[2(﹣ )+φ]=0.
再由|φ|< ，可得 φ= ，
故函數(shù)f(x)= ，∴f(π)=4，
故選A.
【點評】本小題主要考查函數(shù)與函數(shù)的圖象，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.
12.已知曲線f(x)=e2x﹣2ex+ax﹣1存在兩條斜率為3的切線，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(3，+∞) B.(3， ) C.(﹣∞， ) D.(0，3)
【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.
【分析】求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得2e2x﹣2ex+a=3的解有兩個，運用求根公式和指數(shù)函數(shù)的值域，解不等式可得a的范圍.
【解答】解：f(x)=e2x﹣2ex+ax﹣1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2e2x﹣2ex+a，
由題意可得2e2x﹣2ex+a=3的解有兩個，
即有(ex﹣ )2= ，
即為ex= + 或ex= ﹣ ，
即有7﹣2a>0且7﹣2a<1，
解得3
故選B.
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查方程的解的個數(shù)問題的解法，注意運用配方和二次方程求根公式，以及指數(shù)函數(shù)的值域，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3=9﹣a6，則S8= 72 .
【考點】85：等差數(shù)列的前n項和.
【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式計算可得.
【解答】解：由題意可得a3+a6=18，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a8=18
故S8= (a1+a8)=4×18=72
故答案為：72
【點評】本題考查等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.
14.若直線ax+y﹣3=0與2x﹣y+2=0垂直，則二項式 展開式中x3的系數(shù)為 ﹣80 .
【考點】DB：二項式系數(shù)的性質(zhì);IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.
【分析】根據(jù)兩直線垂直求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式中x3的系數(shù).
【解答】解：直線ax+y﹣3=0與2x﹣y+2=0垂直，
∴2a+1×(﹣1)=0，解得a= ;
∴二項式( ﹣ )5 =(2x﹣ )5展開式的通項公式為
Tr+1= •(2x)5﹣r• =(﹣1)r•25﹣r• •x5﹣2r，
令5﹣2r=3，求得r=1，
∴展開式中x3的系數(shù)為﹣1•24• =﹣80.
故答案為：﹣80.
【點評】本題主要考查了兩條直線垂直以及二項式定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.
15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= 則f(2017)的值為 ﹣1 .
【考點】3T：函數(shù)的值.
【分析】根據(jù)已知分析出當(dāng)x∈N時，函數(shù)值以6為周期，呈現(xiàn)周期性變化，可得答案.
【解答】解：∵定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，
∴f(﹣1)=1，f(0)=0，
f(1)=f(0)﹣f(﹣1)=﹣1，
f(2)=f(1)﹣f(0)=﹣1，
f(3)=f(2)﹣f(1)=0，
f(4)=f(3)﹣f(2)=1，
f(5)=f(4)﹣f(3)=1，
f(6)=f(5)﹣f(4)=0，
f(7)=f(6)﹣f(5)=﹣1，
故當(dāng)x∈N時，函數(shù)值以6為周期，呈現(xiàn)周期性變化，
故f(2017)=f(1)=﹣1，
故答案為：﹣1.
【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)求值，根據(jù)已知分析出當(dāng)x∈N時，函數(shù)值以6為周期，呈現(xiàn)周期性變化，是解答的關(guān)鍵.
16.若函數(shù)y=f(x)在實數(shù)集R上的圖象是連續(xù)不斷的，且對任意實數(shù)x存在常數(shù)t使得f(x+t)=tf(x)恒成立，則稱y=f(x)是一個“關(guān)于t的函數(shù)”，現(xiàn)有下列“關(guān)于t函數(shù)”的結(jié)論：
�、俪�(shù)函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”;
�、谡壤瘮�(shù)必是一個“關(guān)于t函數(shù)”;
�、�“關(guān)于2函數(shù)”至少有一個零點;
�、躥(x)= 是一個“關(guān)于t函數(shù)”.
其中正確結(jié)論的序號是�、佗堋�.
【考點】3S：函數(shù)的連續(xù)性.
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義結(jié)合“關(guān)于t函數(shù)”的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：①對任一常數(shù)函數(shù)f(x)=a，存在t=1，有f(1+x)=f(x)=a，
即1•f(x)=a，所以有f(1+x)=1•f(x)，
∴常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”，故①正確，
�、谡壤瘮�(shù)必是一個“關(guān)于t函數(shù)”，設(shè)f(x)=kx(k≠0)，存在t使得f(t+x)=tf(x)，
即存在t使得k(x+t)=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程無解，故②不正確;
�、�“關(guān)于2函數(shù)”為f(2+x)=2•f(x)，
當(dāng)函數(shù)f(x)不恒為0時，有 =2>0，
故f(x+2)與f(x)同號.
∴y=f(x)圖象與x軸無交點，即無零點.故③錯誤，
�、軐τ趂(x)=( )x設(shè)存在t使得f(t+x)=tf(x)，
即存在t使得( )t+x=t( )x，也就是存在t使得( )t( )x=t( )x，
也就是存在t使得( )t=t，此方程有解，故④正確.
故正確是①④，
故答案為①④.
【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17.(12分)(2017•樂山三模)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y= x(x≥0)交于點Q，與x軸交于點M.記∠MOP=α，且α∈(﹣ ， ).
(Ⅰ)若sinα= ，求cos∠POQ;
(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.
【考點】GI：三角函數(shù)的化簡求值;G9：任意角的三角函數(shù)的定義.
【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本關(guān)系求得cosα的值，再利用兩角差的余弦公式求得cos∠POQ的值.
(Ⅱ)利用用割補(bǔ)法求三角形POQ的面積，再利用正弦函數(shù)的值域，求得它的最值.
【解答】解：﹙Ⅰ﹚因為 ，且 ，所以 .
所以 .
(Ⅱ)由三角函數(shù)定義，得P(cosα，sinα)，從而 ，
所以 = =
.
因為 ，所以當(dāng) 時，等號成立，
所以△OPQ面積的最大值為 .
【點評】本題主要考查任意角三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的值域，用割補(bǔ)法求三角形的面積，屬于中檔題.
18.(12分)(2017•樂山三模)某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有除編號不同外，其余均相同的20個小球，這20個小球編號的莖葉圖如圖所示，活動規(guī)則如下：從抽獎箱中隨機(jī)抽取一球，若抽取的小球編號是十位數(shù)字為l的奇數(shù)，則為一等獎，獎金100元;若抽取的小球編號是十位數(shù)字為2的奇數(shù)，則為二等獎，獎金50元;若抽取的小球是其余編號則不中獎.現(xiàn)某顧客有放回的抽獎兩次，兩次抽獎相互獨立.
(I)求該顧客在兩次抽獎中恰有一次中獎的概率;
(Ⅱ)記該顧客兩次抽獎后的獎金之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【考點】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差;BA：莖葉圖;CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)設(shè)一次抽獎抽中i等獎的概率為Pi(i=1，2)，沒有中獎的概率為P0，由此能求出該顧客兩次抽獎中恰有一次中獎的概率.
(Ⅱ)X的可能取值為0，50，100，150，200，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX.
【解答】解：(Ⅰ)設(shè)一次抽獎抽中i等獎的概率為Pi(i=1，2)，沒有中獎的概率為P0，
則P1+P2= = ，即中獎的概率為 ，
∴該顧客兩次抽獎中恰有一次中獎的概率為：
P= = .
(Ⅱ)X的可能取值為0，50，100，150，200，
P(X=0)= ，
P(X=50)= = ，
P(X=100)= = ，
P(X=150)= = ，
P(X=200)= = ，
∴X的分布列為：
X 0 50 100 150 200
P
∴EX= =55(元).
【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用.
19.(12分)(2017•樂山三模)如圖，在三棱錐P﹣ABC中，F(xiàn)、G、H分別是PC、AB、BC的中點，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C為120°.
(I)證明：FG⊥AH;
(Ⅱ)求二面角A﹣CP﹣B的余弦值.
【考點】MT：二面角的平面角及求法;LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.
【分析】(I)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明FG⊥AH;
(Ⅱ)建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值.
【解答】解：(I)設(shè)AC的中點是M，連接FM，GM，
∵PF=FC，∴FM∥PA，
∵PA⊥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∵AB=AC，H是BC的中點，
∴AH⊥BC，
∵GM∥BC，
∴AH⊥GM，
∴GF⊥AH
(Ⅱ)建立以A為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則P(0，0，2)，H( ， ，0)，C(0，2，0)，B( ，﹣1，0)，F(xiàn)(0，1，1)，
則平面PAC的法向量為 =(1，0，0)，
設(shè)平面PBC的法向量為 =(x，y，z)，
則 ，令z=1，則y=1，x= ，
即 =( ，1，1)，
cos< ， >= = ，
即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是 .
【點評】本小題主要考查直線垂直的證明和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，綜合性較強(qiáng)，運算量較大.
20.(12分)(2017•樂山三模)設(shè)橢圓C： + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交z軸負(fù)半軸于點Q，且 + = ，過A，Q，F(xiàn)2三點的圓的半徑為2.過定點M(0，2)的直線l與橢圓C交于G，H兩點(點G在點M，H之間).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的斜率k>0，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形.如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請說明理由.
【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題;K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【分析】(I)因為 ，知a，c的一個方程，再利用△AQF的外接圓與直線l相切得出另一個方程，解這兩個方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程;
(II)設(shè)l的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范圍.
【解答】解：(I)因為 ，所以F1為F2Q中點.
設(shè)Q的坐標(biāo)為(﹣3c，0)，
因為AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，
且過A，Q，F(xiàn)2三點的圓的圓心為F1(﹣c，0)，半徑為2c
因為該圓與直線l相切，所以 ，解得c=1，
所以a=2，b= ，所以所求橢圓方程為 ;
(Ⅱ)設(shè)l的方程為y=kx+2(k>0)，與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得(3+4k2)x2+16kx+4=0.
設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1+x2=﹣
∴ =(x1﹣m，y1)+(x2﹣m，y2)=(x1+x2﹣2m，y1+y2).
=(x1+x2﹣2m，k(x1+x2)+4)
又 =(x2﹣x1，y2﹣y1)=(x2﹣x1，k(x2﹣x1)).
由于菱形對角線互相垂直，則( )• =0，
所以(x2﹣x1)[(x1+x2)﹣2m]+k(x2﹣x1)[k(x1+x2)+4]=0.
故(x2﹣x1)[(x1+x2)﹣2m+k2(x1+x2)+4k]=0.
因為k>0，所以x2﹣x1≠0.
所以(x1+x2)﹣2m+k2(x1+x2)+4k=0，即(1+k2)(x1+x2)+4k﹣2m=0.
所以(1+k2)(﹣ )+4k﹣2m=0.
解得m=﹣ ，即
因為k> ，可以使 ，所以
故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是[ ).
【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查基本不等式的運用，解題時應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.
21.(12分)(2017•樂山三模)已知函數(shù)f(x)= ax2﹣2lnx，a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知點P(0，1)和函數(shù)f(x)圖象上動點M(m，f(m))，對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值范圍.
【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.
【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大于0或?qū)?shù)小于0，得到關(guān)于x的不等式，解之即可;注意解不等式時要結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)圖象來解;
(2)因為對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值小于0恒成立的問題，對于導(dǎo)函數(shù)小于0在區(qū)間[1，e]上恒成立，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即函數(shù)f′(x)<0恒成立，通過化簡最終轉(zhuǎn)化為f(m)<1在區(qū)間[1，e]上恒成立，再通過研究f(x)在[1，e]上的單調(diào)性求最值，結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)果即可解決問題.注意分類討論的標(biāo)準(zhǔn)的確定.
【解答】解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=ax﹣ = ，
(Ⅰ)當(dāng)a<0時，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)a=0時，f′(x)= <0，故函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)a>0時，令f′(x)=0，結(jié)合x>0，解得 ，當(dāng)x∈(0， )時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(0， )上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈( ，+∞)時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在( ，+∞)上單調(diào)遞增;
綜上所述：當(dāng)a≤0時，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(0， )上單調(diào)遞減，在( ，+∞)上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)因為對任意m∈[1，e]，直線PM的傾斜角都是鈍角，所以對任意m∈[1，e]，直線PM的斜率小于0，
即 ，所以f(m)<1，即f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值小于1.
又因為f′(x)=ax﹣ = ，令g(x)=ax2﹣2，x∈[1，e]
(1)當(dāng)a≤0時，由(Ⅰ)知f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值為f(1)= <1，所以a<2，
故a≤0符和題意;
(2)當(dāng)a>0時，令f′(x)=0，得 ，
�、佼�(dāng) ≤1，即a≥2時，f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的最大值f(e)= ，解得a< ，故無解;
�、诋�(dāng) ≥e，即 時，f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)的最大值為f(1)= <1，解得a<2，故0 ;
�、郛�(dāng) ，即 時，函數(shù)f(x)在(1， )上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈( ，e)上單調(diào)遞增，故f(x)在區(qū)間x∈[1，e]上的最大值只能是f(1)或f(e)，
所以 ，即 ，故 .
綜上所述a的取值范圍 .
【點評】本題重點考查不等式恒成立問題的基本思路，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后從函數(shù)的單調(diào)性入手分析，注意本題第二問討論時的標(biāo)準(zhǔn)，一般要借助于函數(shù)圖象輔助來解決問題.一方面利用了數(shù)學(xué)結(jié)合思想，同時重點考查了分類討論思想的應(yīng)用，有一定難度.
四、請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號涂黑.
22.(10分)(2017•樂山三模)已知曲線C1的參數(shù)方程是 (θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求曲線C1與C2交點的平面直角坐標(biāo);
(Ⅱ)A，B兩點分別在曲線C1與C2上，當(dāng)|AB|最大時，求△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點).
【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程;QH：參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)求出曲線C1，C1的平面直角坐標(biāo)方程，把兩式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲線C1與C2交點的平面直角坐標(biāo).
(Ⅱ)作出圖形，由平面幾何知識求出當(dāng)|AB|最大時|AB|=2 ，O到AB的距離為 ，由此能求出△OAB的面積.
【解答】解：(Ⅰ)∵曲線C1的參數(shù)方程是 (θ為參數(shù))，
∴曲線C1的平面直角坐標(biāo)方程為(x+2)2+y2=4.
又由曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ，
得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，
把兩式作差，得y=﹣x，
代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，
解得 或 ，
∴曲線C1與C2交點的平面直角坐標(biāo)為(0，0)，(﹣2，2).
(Ⅱ)如圖，由平面幾何知識可知：
當(dāng)A，C1，C2，B依次排列且共線時，
|AB|最大，此時|AB|=2 ，
O到AB的距離為 ，
∴△OAB的面積為S= .
【點評】本題考查兩曲線交點的平面直角坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程間的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用.
23.(2017•樂山三模)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥t2﹣3t在[0，1]上無解，求實數(shù)t的取值范圍.
【考點】R5：絕對值不等式的解法.
【分析】(1)通過對x范圍的分類討論，去掉絕對值符號，可得f(x)= ，再解不等式f(x)≥3即可求得其解集;
(2)當(dāng)x∈[0，1]時，易求f(x)max=﹣1，從而解不等式t2﹣3t>﹣1即可求得實數(shù)t的取值范圍.
【解答】解：(1)∵f(x)= ，
∴原不等式轉(zhuǎn)化為 或 或 ，
解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣ 或x<﹣2，
∴原不等式的解集為：(﹣∞，﹣ ]∪[6，+∞);
(2)只要f(x)max
由(1)知，當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)max=﹣1，
∴t2﹣3t>﹣1，
解得：t> 或t< .
∴實數(shù)t的取值范圍為(﹣∞， )∪( ，+∞).
【點評】本題考查絕對值不等式的解法，通過對x范圍的分類討論，去掉絕對值符號是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題.
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