A.(0，4] B.(﹣∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞)

　　【考點(diǎn)】18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

　　【分析】利用一元二次不等式可化簡(jiǎn)集合A，再利用A⊆B即可得出.

　　【解答】解：對(duì)于集合A={x|x2﹣4x<0}，由x2﹣4x<0，解得0

　　又B={x|x

　　∵A⊆B，

　　∴a≥4.

　　∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥4.

　　故選C.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法、集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

　　2.歐拉公式eix=cosx+isinx (i為虛數(shù)單位)是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，將指數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e 表示的復(fù)數(shù)的模為(　　)

　　A. B.1 C. D.

　　【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模.

　　【分析】直接由題意可得 =cos +isin ，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得答案.

　　【解答】解：由題意， =cos +isin ，

　　∴e 表示的復(fù)數(shù)的模為 .

　　故選：B.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

　　3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　)

　　A.100 B.82 C.96 D.112

　　【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

　　【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱錐得到的組合體，分別計(jì)算長(zhǎng)方體和棱錐的體積，相減可得答案.

　　【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱錐得到的組合體，

　　長(zhǎng)方體的體積為：6×6×3=108，

　　棱錐的體積為： ×4×3×4=8，

　　故組合體的體積V=108﹣8=100，

　　故選：A.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的體積和表面積，棱錐的體積和表面積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔.

　　4.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(　　)

　　A.函數(shù)f(x)的最小正周期為

　　B.直線x=﹣ 是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

　　C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣ ， ]上單調(diào)遞增

　　D.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=2sin2x

　　【考點(diǎn)】H2：正弦函數(shù)的圖象.

　　【分析】先求出函數(shù)的解析式，再進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

　　【解答】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象，

　　可得A=2，圖象的一條對(duì)稱軸方程為x= = ，一個(gè)對(duì)稱中心為為( ，0)，

　　∴ = = ，∴T= ，∴ω=2，

　　代入( ，2)可得2=2sin(2× +φ)，∵|φ|<π，∴φ=﹣ ，

　　∴f(x)=2sin(2x﹣ )，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位，可得g(x)=2sin[2(x+ )﹣ ]=2sin2x，

　　故選：D.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

　　5.對(duì)于四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等;②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心;③四面體A﹣BCD的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形;④若四面體A﹣BCD的6條棱長(zhǎng)都為1，則它的內(nèi)切球的表面積為 .其中正確的命題是(　　)

　　A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④

　　【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用.

　　【分析】對(duì)于①，根據(jù)線面角的定義即可判斷;

　　對(duì)于②，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，

　　對(duì)于③在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個(gè)數(shù)，

　　對(duì)于④作出正四面體的圖形，球的球心位置，說明OE是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積.

　　【解答】解：對(duì)于①，因?yàn)锳B=AC=AD，設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是O，因?yàn)閟in∠ABO= ，sin∠ACO= ，sin∠ADO= ，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，

　　則AB，AC，AD與底面所成的角相等;故①正確;

　　對(duì)于②設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是O，則OB是AB在平面BCD內(nèi)的射影，因?yàn)锳B⊥CD，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可證BD⊥OC，所以O(shè)是△BCD的垂心，故②不正確;

　　對(duì)于③：如圖：直接三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個(gè)數(shù)是4.故③正確

　　對(duì)于④，如圖O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長(zhǎng)為：1;

　　所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑，BF=AF= ，BE= ，

　　所以AE= = ，

　　因?yàn)锽O2﹣OE2=BE2，

　　所以( ﹣OE)2﹣OE2=( )2，

　　所以O(shè)E= ，

　　所以球的表面積為：4π•OE2= ，故④正確.

　　故選D.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力，是中檔題.

　　6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為N=n(modm)，例如11=2(mod3).現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于(　　)

　　A.21 B.22 C.23 D.24

　　【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

　　【分析】該程序框圖的作用是求被3和5除后的余數(shù)為2的數(shù)，根據(jù)所給的選項(xiàng)，得出結(jié)論.

　　【解答】解：該程序框圖的作用是求被3除后的余數(shù)為2，被5除后的余數(shù)為3的數(shù)，

　　在所給的選項(xiàng)中，滿足被3除后的余數(shù)為2，被5除后的余數(shù)為3的數(shù)只有23，

　　故選：C.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

　　7.若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且 + +…+ =n2+n，則a1+ +…+ 等于(　　)

　　A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)

　　【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式.

　　【分析】利用數(shù)列遞推關(guān)系可得an，再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.

　　【解答】解：∵ + +…+ =n2+n，∴n=1時(shí)， =2，解得a1=4.

　　n≥2時(shí)， + +…+ =(n﹣1)2+n﹣1，

　　相減可得： =2n，∴an=4n2.n=1時(shí)也成立.

　　∴ =4n.

　　則a1+ +…+ =4(1+2+…+n)=4× =2n2+2n.

　　故選：A.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

　　8.某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)小孩共8人，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4名小孩不考慮位置)，其中A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有(　　)

　　A.18種 B.24種 C.36種 D.48種

　　【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.

　　【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、A戶家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個(gè)要來自不同的家庭，②、A戶家庭的孿生姐妹不在甲車上，每種情況下分析乘坐人員的情況，由排列、組合數(shù)公式計(jì)算可得其乘坐方式的數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

　　【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

　�、�、A戶家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個(gè)要來自不同的家庭，

　　可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再?gòu)拿總�(gè)家庭的2個(gè)小孩中任選一個(gè)，來乘坐甲車，

　　有C32×C21×C21=12種乘坐方式;

　�、�、A戶家庭的孿生姐妹不在甲車上，

　　需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)小孩都在甲車上，

　　對(duì)于剩余的2個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)小孩中任選一個(gè)，來乘坐甲車，

　　有C31×C21×C21=12種乘坐方式;

　　則共有12+12=24種乘坐方式;

　　故選：B.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析“乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個(gè)家庭”的可能情況.

　　9.命題p：已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且滿足a3•a6= dx，則logπa4+logπa5= ;命題q：“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”.則下列四個(gè)命題：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)

　　A.4 B.3 C.2 D.1

　　【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假.

　　【分析】利用微積分基本定理與等比數(shù)列的性質(zhì)即可判斷出命題p的真假;利用復(fù)合命題真假的判定方法即可判斷出命題q的真假.再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可判斷出真假.

　　【解答】解：命題p：已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且滿足a3•a6= dx= ×π×22=π，則logπa4+logπa5=logπ(a4a5)=logπ(a3a6)=logππ=1≠ ，因此是假命題;

　　命題q：“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”，是真命題.

　　則下列四個(gè)命題：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，只有￢p∨￢q、￢p∧q是真命題.

　　正確命題的個(gè)數(shù)是2.

　　故選：C.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了微積分基本定理、等比數(shù)列的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

　　10.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(x+4)=f(x)，且x∈[0，2]時(shí)，f(x)=sinπx+2|sinπx|，則方程f(x)﹣|lgx|=0在區(qū)間[0，10]上根的個(gè)數(shù)是(　　)

　　A.17 B.18 C.19 D.20

　　【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.

　　【分析】由已知寫出分段函數(shù)，然后畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

　　【解答】解：f(x)=sinπx+2|sinπx|= ，

　　由f(x+4)=f(x)，可知f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

　　方程f(x)﹣|lgx|=0即f(x)=|lgx|，方程的根即為兩函數(shù)y=f(x)與y=|lgx|圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

　　作出函數(shù)圖象如圖：

　　由圖可知，方程f(x)﹣|lgx|=0在區(qū)間[0，10]上根的個(gè)數(shù)是19.

　　故選：C.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

　　11.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，則雙曲線的離心率為(　　)

　　A. B.2 C. D. +1

　　【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

　　【分析】確定拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論.

　　【解答】解：拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F( ，0)，其準(zhǔn)線方程為x=﹣ ，

　　∵準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，

　　∴c= ;

　　∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，

　　∴M的橫坐標(biāo)為 ，

　　代入拋物線方程，可得M的縱坐標(biāo)為±p，

　　將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得 =1，

　　∴a= p，

　　∴e=1+ .

　　故選：D.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查曲線的交點(diǎn)，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

　　12.已知函數(shù)f(x)=xlnx+3x﹣2，射線l：y=kx﹣k(x≥1).若射線l恒在函數(shù)y=f(x)圖象的下方，則整數(shù)k的最大值為(　　)

　　A.4 B.5 C.6 D.7

　　【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

　　【分析】由題意得問題等價(jià)于k< 對(duì)任意x>1恒成立，令g(x)= ，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值即可得出結(jié)論.

　　【解答】解：由題意，問題等價(jià)于k< 對(duì)任意x>1恒成立.

　　令g(x)= ，∴g′(x)= ，

　　令h(x)=x﹣2﹣lnx，故h(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)，

　　由于h(3)=1﹣ln3<0，h(4)=2﹣ln4>0

　　所以存在x0∈(3，4)，使得h(x0)=x0﹣2﹣lnx0=0.

　　則x∈(1，x0)時(shí)，h(x)<0;x∈(x0，+∞)時(shí)，h(x)>0，

　　即x∈(1，x0)時(shí)，g'(x)<0;x∈(x0，+∞)時(shí)，g'(x)>0

　　知g(x)在(1，x0)遞減，(x0，+∞)遞增，

　　又g(x0)

　　故選B.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值等性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.

　　二、填空題(2017•廣元模擬)( x﹣1)(2x﹣ )6的展開式中x的系數(shù)為　﹣80　.(用數(shù)字作答)

　　【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

　　【分析】求出(2x﹣ )6展開式的常數(shù)項(xiàng)和含x的項(xiàng)，再求( x﹣1)(2x﹣ )6的展開式中x的系數(shù).

　　【解答】解：(2x﹣ )6展開式的通項(xiàng)公式為：

　　Tr+1= •(2x)6﹣r• =(﹣1)r•26﹣r• •x6﹣2r，

　　令6﹣2r=0，解得r=3，

　　∴(2x﹣ )6展開式的常數(shù)項(xiàng)為(﹣1)3•23• =﹣160;

　　令6﹣2r=1，解得r= ，

　　∴(2x﹣ )6展開式中不含x的項(xiàng);

　　∴( x﹣1)(2x﹣ )6的展開式中x的系數(shù)為 ×(﹣160)=﹣80.

　　故答案為：﹣80.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求展開式特定項(xiàng)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

　　14.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 ，則 的最小值為　3　.

　　【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

　　【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用兩點(diǎn)間的斜率公式進(jìn)行求解即可.

　　【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，

　　的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(0，﹣1)的斜率，

　　由圖象知BD的斜率最小，

　　由 得 ，即B(1，2)，

　　此時(shí)BD的斜率k= =3，

　　故答案為：3

　　【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用兩點(diǎn)間的斜率公式以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

　　15.在[﹣2，2]上隨機(jī)抽取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發(fā)生的概率為　 　.

　　【考點(diǎn)】CF：幾何概型.

　　【分析】根據(jù)直線和圓相交的條件求出a，b的關(guān)系，利用線性規(guī)劃求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

　　【解答】解：根據(jù)題意，得 ，

　　又直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交，

　　d≤r，

　　即 ≤ ，

　　得|a+b﹣1|≤2，

　　所以﹣1≤a+b≤3;

　　畫出圖形，如圖所示;

　　則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發(fā)生的概率為

　　P= = = .

　　故答案為：

　　【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相交的位置關(guān)系求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.注意利用數(shù)形結(jié)合以及線性規(guī)劃的知識(shí).

　　16.在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足| |=| |=| |=2， • = • = • =0，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足| |=1， = ，則| |2的最大值為　 　.

　　【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

　　【分析】根據(jù)題意可設(shè)D(0，0)，A(2，0)，B(﹣1， )，C(﹣1，﹣ )，P(2+cosθ，sinθ)，M( ， )，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出 以及 的最大值即可.

　　【解答】解：平面內(nèi)，| |=| |=| |=2， • = • = • =0，

　　∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，

　　可設(shè)D(0，0)，A(2，0)，B(﹣1， )，C(﹣1，﹣ )，

　　∵動(dòng)點(diǎn)P，M滿足| |=1， = ，

　　可設(shè)P(2+cosθ，sinθ)，M( ， )，

　　∴ =( ， )，

　　∴ = + = ≤ ，

　　當(dāng)且僅當(dāng)sin( ﹣θ)=1時(shí)取等號(hào)，

　　∴| |2的最大值為 .

　　故答案為： .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)以及三角函數(shù)求值問題，是綜合題.

　　三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

　　17.(12分)(2017•廣元模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知3(b2+c2)=3a2+2bc.

　　(Ⅰ)若 ，求tanC的大小;

　　(Ⅱ)若a=2，△ABC的面積 ，且b>c，求b，c.

　　【考點(diǎn)】HS：余弦定理的應(yīng)用.

　　【分析】(Ⅰ)由3(b2+c2)=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosA，根據(jù) ，即可求tanC的大小;

　　(Ⅱ)利用面積及余弦定理，可得b、c的兩個(gè)方程，即可求得結(jié)論.

　　【解答】解：(Ⅰ)∵3(b2+c2)=3a2+2bc，∴ =

　　∴cosA= ，∴sinA=

　　∵ ，∴

　　∴

　　∴

　　∴tanC= ;

　　(Ⅱ)∵ABC的面積 ，∴ ，∴bc= ①

　　∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc×

　　∴b2+c2=5②

　　∵b>c，∴聯(lián)立①②可得b= ，c= .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

　　18.(12分)(2017•廣元模擬)質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分劃隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖：

　　(I)寫出頻率分布直方圖(甲)中a的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為s12，s22，試比較s12，s22的大小(只要求寫出答案);

　　(Ⅱ)估計(jì)在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20的概率;

　　(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，δ2).其中μ近似為樣本平均數(shù) ，δ2近似為樣本方差s22，設(shè)X表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55，38.45)的桶數(shù)，求X的.散學(xué)期望.

　　注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得s2= ≈11.95;

　　②若Z﹣N(μ，δ2)，則P(μ﹣δ

　　【考點(diǎn)】BC：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差;B8：頻率分布直方圖.

　　【分析】(Ⅰ)按照題目要求想結(jié)果即可.

　　(Ⅱ)設(shè)事件A，事件B，事件C，求出P(A)，P(B)，P(C)即可;

　　(Ⅲ)求出從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，得到X～B(10，0.6826)，求出EX即可.

　　【解答】解：(Ⅰ)a=0.015，s12>s22;

　　(Ⅱ)設(shè)事件A：在甲種食用油中隨機(jī)抽取1捅，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，

　　事件B：在乙種食用油中隨機(jī)抽取1捅，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，

　　事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20，

　　則P(A)=0.20+0.10=0.3，P(B)=0.10+0.20=0.3，

　　∴P(C)=P( )P(B)+P(A)P( )=0.42;

　　(Ⅲ)計(jì)算得： =26.5，由條件得Z～N(26.5，142.75)，

　　從而P(26.5﹣11.95

　　∴從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，

　　依題意得X～B(10，0.6826)，

　　∴EX=10×0.6826=6.826.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，考查計(jì)算能力.

　　19.(12分)(2017•廣元模擬)如圖，四邊形ABCD是梯形.四邊形CDEF是矩形.且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE= CD，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn).

　　(Ⅰ)試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由;

　　(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

　　【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法;LS：直線與平面平行的判定.

　　【分析】(Ⅰ)當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF.連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，利用三角形中位線定理能夠證明AC∥平面DMF.

　　(Ⅱ)過點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線l，過點(diǎn)M作MG⊥AD于G，過G作GH⊥l于H，連結(jié)MH，由已知條件推導(dǎo)出∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值.

　　【解答】解：(Ⅰ)當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF.

　　證明如下：

　　連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，

　　由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC，

　　由于MN⊂平面DMF，又AC不包含于平面DMF，

　　∴AC∥平面DMF.(4分)

　　(Ⅱ)過點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線l，

　　∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，

　　過點(diǎn)M作MG⊥AD于G，

　　∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，

　　∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，

　　∴MG⊥平面ABCD，

　　過G作GH⊥l于H，連結(jié)MH，則直線l⊥平面MGH，∴l⊥MH，

　　∴∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角.(8分)

　　設(shè)AB=2，則DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1× = ，MG= =1(11分)

　　∴cos∠MHG= = ，

　　∴所求二面角的余弦值為 .(12分)

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定及證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

　　20.(12分)(2017•廣元模擬)已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且點(diǎn)A(﹣1，0)，B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足 =λ(λ為常數(shù)且λ>1)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線E.

　　(Ⅰ)試求曲線E的方程;

　　(Ⅱ)當(dāng)λ= 時(shí)，過定點(diǎn)B(1，0)的直線與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，N是曲線E上不同于P，Q的動(dòng)點(diǎn)，試求△NPQ面積的最大值.

　　【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系.

　　【分析】(Ⅰ)由題意可知丨CA丨+丨CB丨=2λ>2，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡P為橢圓(除去A、B與共線的兩個(gè)點(diǎn)).即可求得求曲線E的方程;

　　(Ⅱ)當(dāng)λ= 時(shí)，求得橢圓方程，分類討論，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性區(qū)間，即可求得△NPQ面積的最大值.

　　【解答】解：(Ⅰ)在△ABC中，由丨AB丨=2，則丨CA丨+丨CB丨=2λ(定值)，且2λ>2，

　　∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡P為橢圓(除去A、B與共線的兩個(gè)點(diǎn)).

　　設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)，則a2﹣λ2b2﹣λ2=1，

　　∴求曲線的軌跡方程為 (x≠±λ)，

　　(Ⅱ)當(dāng)λ= 時(shí)，橢圓方程為 (x≠± )，.

　　①過定點(diǎn)B的直線與x軸重合時(shí)，△NPQ面積無最大值，

　　②過定點(diǎn)B的直線不與x軸重合時(shí)，

　　設(shè)l方程為：x=my+1，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，

　　若m=0，由x≠± ，故此時(shí)△NPQ面積無最大值.

　　根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，不妨設(shè)m>0，

　　聯(lián)立方程組 ，消去x整理得：(3+2m2)y2+4my﹣4=0，

　　∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，則丨PQ丨= 丨y1﹣y2丨= .

　　因?yàn)楫?dāng)直線l與平行且與橢圓相切時(shí)，切點(diǎn)N到直線l的距離最大，

　　設(shè)切線l：x=my+n(n< )，

　　聯(lián)立 ，消去x整理得(3+2m2)y2+4mny+2n2﹣6=0，

　　由△=(4mn)2﹣4(3+2m2)(2n2﹣6)=0，解得：2n2﹣3+2m2=0，n<﹣ .

　　又點(diǎn)N到直線l的距離d= ，

　　∴△NPQ面積S= 丨PQ丨d= × × = ，

　　∴S2= .將n2=3+2m2，代入得：S2=6(1﹣ )2(1﹣( )2)，

　　令t= ∈(﹣ ，0)，設(shè)函數(shù)f(t)=6(1﹣t)2(1﹣t2)，則f′(t)=﹣12(t﹣1)2(2t+1)，

　　由當(dāng)t∈(﹣ ，﹣ )時(shí)，f′(t)>0，當(dāng)t∈(﹣ ，0)時(shí)，f′(t)<0，

　　∴f(t)在(﹣ ，﹣ )上是增函數(shù)，在(﹣ ，0)上是減函數(shù)，

　　∴fmin(t)=f(﹣ )= .

　　故m2= 時(shí)，△NPQ面積最大值是 .

　　∴當(dāng)l的方程為x=± y+1時(shí)，△NPQ的面積最大，最大值為 .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，三角形的面積公式，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

　　21.(12分)(2017•廣元模擬)已知函數(shù)f(x)=exsinx﹣cosx，g(x)=xcosx﹣ ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

　　(1)判斷函數(shù)y=f(x)在(0， )內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由;

　　(2)∀x1∈[0， ]，∃x2∈[0， ]，使得f(x1)+g(x2)≥m成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

　　(3)若x>﹣1，求證：f(x)﹣g(x)>0.

　　【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理;63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

　　【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)y=f(x)在(0， )上單調(diào)遞增，f(0)=﹣1<0，f( )>0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)y=f(x)在(0， )內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1;

　　(2)確定函數(shù)f(x)在[0， ]上單調(diào)遞增，可得f(x)min=f(0)=﹣1;函數(shù)g(x)在[0， ]上單調(diào)遞減，可得g(x)max=g(0)=﹣ ，即可求出實(shí)數(shù)m的范圍;

　　(3)先利用分析要證原不等式成立，轉(zhuǎn)化為只要證 > ，令h(x)= ，x>﹣1，利用導(dǎo)數(shù)求出h(x)min=h(0)=1，再令k= ，其可看作點(diǎn)A(sinx，cosx)與點(diǎn)B(﹣ ，0)連線的斜率，根據(jù)其幾何意義求出k的最大值，即可證明.

　　【解答】解：(1)函數(shù)y=f(x)在(0， )內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，

　　理由如下：∵f(x)=exsinx﹣cosx，

　　∴f′(x)=ex(sinx+cosx)+sinx，

　　∵x∈(0， )，

　　∴f′(x)>0，

　　∴函數(shù)y=f(x)在(0， )上單調(diào)遞增，

　　∵f(0)=﹣1<0，f( )>0，

　　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)y=f(x)在(0， )內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

　　(2)∵f(x1)+g(x2)≥m，

　　∴f(x1)≥m﹣g(x2)，

　　∴f(x1)min≥[m﹣g(x2)]min，

　　∴f(x1)min≥m﹣g(x2)max，

　　當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在[0， ]上單調(diào)遞增，

　　∴f(x)min≥f(0)=﹣1，

　　∵g(x)=xcosx﹣ ex，

　　∴g′(x)=cosx﹣xsinx﹣ ex，

　　∵x∈[0， ]，

　　∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， ex≥ ，

　　∴g′(x)≤0，

　　∴函數(shù)g(x)在[0， ]上單調(diào)遞減，

　　∴g(x)max≥g(0)= ，

　　∴﹣1≥m+ ，

　　∴m≤﹣1﹣ ，

　　∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(﹣∞，﹣1﹣ ];

　　(3)x>﹣1，要證：f(x)﹣g(x)>0，

　　只要證f(x)>g(x)，

　　只要證exsinx﹣cosx>xcosx﹣ ex，

　　只要證ex(sinx+ )>(x+1)cosx，

　　由于sinx+ >0，x+1>0，

　　只要證 > ，

　　下面證明x>﹣1時(shí)，不等式 > 成立，

　　令h(x)= ，x>﹣1，

　　∴h′(x)= ，x>﹣1，

　　當(dāng)x∈(﹣1，0)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，

　　當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，

　　∴h(x)min=h(0)=1

　　令k= ，其可看作點(diǎn)A(sinx，cosx)與點(diǎn)B(﹣ ，0)連線的斜率，

　　∴直線AB的方程為y=k(x+ )，

　　由于點(diǎn)A在圓x2+y2=1上，

　　∴直線AB與圓相交或相切，

　　當(dāng)直線AB與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，直線AB的斜率取得最大值為1，

　　∴當(dāng)x=0時(shí)，k= <1=h(0)，x≠0時(shí)，h(x)>1≥k，

　　綜上所述，當(dāng)x>﹣1，f(x)﹣g(x)>0.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及切線方程，考查分類整合思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力.注意認(rèn)真體會(huì)(3)問中幾何中切線的應(yīng)用，屬于難題.

　　請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

　　22.(10分)(2017•廣元模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1： (α是參數(shù)).在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρcosθ﹣3=0.點(diǎn)P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn).

　　(1)求點(diǎn)P到曲線C2的距離的最大值;

　　(2)若曲線C3：θ= 交曲線C1于A，B兩點(diǎn)，求△ABC1的面積.

　　【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.

　　【分析】(1)求得C1的標(biāo)準(zhǔn)方程，及曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心C1到x=3距離d，點(diǎn)P到曲線C2的距離的最大值dmax=R+d=6;

　　(2)將直線l的方程代入C1的方程，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，求得丨AB丨，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得C1到AB的距離d，即可求得△ABC1的面積.

　　【解答】解(1)曲線C1： (α是參數(shù)).整理得：(x+2)2+(y+1)2=1

　　曲線C2：ρcosθ﹣3=0，則x=3.

　　則圓心C1到x=3距離d，d=2+3=5，

　　點(diǎn)P到曲線C2的距離的最大值dmax=R+d=6;

　　∴點(diǎn)P到曲線C2的距離的最大值6;

　　(2)若曲線C3：θ= ，即y=x，

　　，解得： ， ，

　　丨AB丨= =

　　∴C1到AB的距離d= = ，

　　則△ABC1的面積S，S= × × = .

　　∴△ABC1的面積 .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與的圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.

　　[選修4-5：不等式選講]

　　23.(2013•遼寧)已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|，其中a>1

　　(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;

　　(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值.

　　【考點(diǎn)】&2：帶絕對(duì)值的函數(shù);R5：絕對(duì)值不等式的解法.

　　【分析】(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化為|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可.

　　(2)設(shè)h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，則h(x)= .由|h(x)|≤2解得 ，它與1≤x≤2等價(jià)，然后求出a的值.

　　【解答】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化為|x﹣2|+|x﹣4|≥4，

　　當(dāng)x≤2時(shí)，得﹣2x+6≥4，解得x≤1;

　　當(dāng)2

　　當(dāng)x≥4時(shí)，得2x﹣6≥4，解得x≥5;

　　故不等式的解集為{x|x≥5或x≤1}.

　　(2)設(shè)h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，則h(x)=

　　由|h(x)|≤2得 ，

　　又已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，

　　所以 ，

　　故a=3.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查絕對(duì)值不等式的解法，注意分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，常考題型.

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