java中全排列是如何生成算法

　　全排列的生成算法就是對(duì)于給定的字符集，用有效的方法將所有可能的全排列無重復(fù)無遺漏地枚舉出來。任何n個(gè)字符集的排列都可以與1～n的n個(gè)數(shù)字的排列一一對(duì)應(yīng)，因此在此就以n個(gè)數(shù)字的排列為例說明排列的生成法。

　　n個(gè)字符的全體排列之間存在一個(gè)確定的線性順序關(guān)系。所有的排列中除最后一個(gè)排列外，都有一個(gè)后繼；除第一個(gè)排列外，都有一個(gè)前驅(qū)。每個(gè)排列的后繼都可以從它的前驅(qū)經(jīng)過最少的變化而得到，全排列的生成算法就是從第一個(gè)排列開始逐個(gè)生成所有的排列的方法。

　　全排列的生成法通常有以下幾種：

　　字典序法

　　遞增進(jìn)位數(shù)制法

　　遞減進(jìn)位數(shù)制法

　　鄰位交換法

　　遞歸類算法

　　1.字典序法 效率高且順序自然

　　字典序法中，對(duì)于數(shù)字1、2、3......n的排列，不同排列的先后關(guān)系是從左到右逐個(gè)比較對(duì)應(yīng)的數(shù)字的先后來決定的。例如對(duì)于5個(gè)數(shù)字的排列12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。按照這樣的規(guī)定，5個(gè)數(shù)字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是54321。

　　字典序算法如下：

　　設(shè)P是1～n的一個(gè)全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn

　　1）從排列的右端開始，找出第一個(gè)比右邊數(shù)字小的數(shù)字的序號(hào)j（j從左端開始計(jì)算），即 j=max{i|pi<pi+1}

　　2）在pj的右邊的數(shù)字中，找出所有比pj大的數(shù)中最小的數(shù)字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右邊的數(shù)從右至左是遞增的，因此k是所有大于pj的數(shù)字中序號(hào)最大者）

　　3）對(duì)換pi，pk

　　4）再將pj+1......pk-1pkpk+1pn倒轉(zhuǎn)得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，這就是排列p的下一個(gè)下一個(gè)排列。

　　例如839647521是數(shù)字1～9的一個(gè)排列。從它生成下一個(gè)排列的步驟如下：

　　自右至左找出排列中第一個(gè)比右邊數(shù)字小的數(shù)字4 839647521

　　在該數(shù)字后的數(shù)字中找出比4大的數(shù)中最小的一個(gè)5 839647521

　　將5與4交換 839657421

　　將7421倒轉(zhuǎn) 839651247

　　所以839647521的下一個(gè)排列是839651247。

　　2.遞增進(jìn)位數(shù)制法

　　在遞增進(jìn)位制數(shù)法中，從一個(gè)排列求另一個(gè)排列需要用到中介數(shù)。如果用 ki表示排列p1p2...pi...pn中元素pi的右邊比pi小的數(shù)的個(gè)數(shù)，則排列的中介數(shù)就是對(duì)應(yīng)的排列k1 ...... ki...... kn-1。

　　例如排列839647521的中介數(shù)是72642321，7、2、6、......分別是排列中數(shù)字8、3、9、......的右邊比它小的數(shù)字個(gè)數(shù)。

　　中介數(shù)是計(jì)算排列的中間環(huán)節(jié)。已知一個(gè)排列，要求下一個(gè)排列，首先確定其中介數(shù)，一個(gè)排列的后繼，其中介數(shù)是原排列中介數(shù)加1，需要注意的是，如果中介數(shù)的末位kn-1+1=2，則要向前進(jìn)位，一般情形，如果ki+1=n-i+1，則要進(jìn)位，這就是所謂的遞增進(jìn)位制。例如排列839647521的中介數(shù)是72642321，則下一個(gè)排列的中介數(shù)是67342221+1=67342300（因?yàn)?+1=2，所以向前進(jìn)位，2+1=3，又發(fā)生進(jìn)位，所以下一個(gè)中介數(shù)是67342300）。

　　得到中介數(shù)后，可根據(jù)它還原對(duì)應(yīng)得排列。

　　算法如下：

　　中介數(shù)k1、k2、......、kn-1的各位數(shù)字順序表示排列中的數(shù)字n、n-1、......、2在排列中距右端的的空位數(shù)，因此，要按k1、k2、......、kn-1的值從右向左確定n、n-1、......、2的位置，并逐個(gè)放置在排列中：i放在右起的ki+1位，如果某位已放有數(shù)字，則該位置不算在內(nèi)，最后一個(gè)空位放1。

　　因此從67342300可得到排列849617523，它就是839647521的后一個(gè)排列。因?yàn)?最先放置，k1=6，9放在右起第7位，空出6個(gè)空位，然后是放8，k2=7，8放在右起第8位，但9占用一位，故8應(yīng)放在右起第9位，余類推。

　　3.遞減進(jìn)位制數(shù)法

　　在遞增進(jìn)位制數(shù)法中，中介數(shù)的最低位是逢2進(jìn)1，進(jìn)位頻繁，這是一個(gè)缺點(diǎn)。把遞增進(jìn)位制數(shù)翻轉(zhuǎn),就得到遞減進(jìn)位制數(shù)。

　　839647521的中介數(shù)是67342221(k1k2...kn-1)，倒轉(zhuǎn)成為12224376(kn-1...k2k1)，這是遞減進(jìn)位制數(shù)的中介數(shù)：ki(i=n-1,n-2,...,2)位逢i向ki-1位進(jìn)1。給定排列p，p的下一個(gè)排列的中介數(shù)定義為p的中介數(shù)加1。例如p=839647521，p的中介數(shù)為12224376，p的下一個(gè)排列的中介數(shù)為12224376+1=12224377，由此得到p的下一個(gè)排列為893647521。

　　給定中介數(shù)，可用與遞增進(jìn)位制數(shù)法類似的方法還原出排列。但在遞減進(jìn)位制數(shù)中，可以不先計(jì)算中介數(shù)就直接從一個(gè)排列求出下一個(gè)排列。具體算法如下：

　　1）如果p(i)=n且i<>n，則p(i)與p(i-1)交換

　　2）如果p(n)=n，則找出一個(gè)連續(xù)遞減序列9、8、......、i，將其從排列左端刪除，再以相反順序加在排列右端，然后將i-1與左邊的數(shù)字交換

　　例如p=893647521的下一個(gè)排列是983647521。求983647521的下一個(gè)排列時(shí)，因?yàn)?在最左邊且第2位為8，第3位不是7，所以將8和9從小到大排于最右端364752189，再將7與其左方數(shù)字對(duì)調(diào)得到983647521的下一個(gè)排列是367452189。又例如求987635421的下一個(gè)排列，只需要將9876從小到大排到最右端并將5與其左方數(shù)字3對(duì)調(diào)，得到534216789。

　　4.鄰位對(duì)換法 效率最高但順序不自然

　　鄰位對(duì)換法中下一個(gè)排列總是上一個(gè)排列某相鄰兩位對(duì)換得到的。以4個(gè)元素的排列為例，將最后的元素4逐次與前面的元素交換，可以生成4個(gè)新排列：

　　1 2 3 4, 1 2 4 3, 1 4 2 3, 4 1 2 3

　　然后將最后一個(gè)排列的末尾的兩個(gè)元素交換，再逐次將排頭的4與其后的元素交換，又生成四個(gè)新排列：

　　4 1 3 2, 1 4 3 2, 1 3 4 2, 1 3 2 4

　　再將最后一個(gè)排列的開頭的兩個(gè)元素交換，將4從后往前移：

　　3 1 2 4, 3 1 4 2, 3 4 1 2, 4 3 1 2

　　如此循環(huán)4!次既可求出全部排列。

　　5.元素增值法（n進(jìn)制法）效率低

　　1）從原始排列p=p1p2......pn開始，第n位加n-1，如果該位的值超過n，則將它除以n，用余數(shù)取代該位，并進(jìn)位（將第n-1位加1）

　　2）再按同樣方法處理n-1位，n-2位，......，直至不再發(fā)生進(jìn)位為止，處理完一個(gè)排列就產(chǎn)生了一個(gè)新的排列

　　3）將其中有相同元素的排列去掉

　　4）當(dāng)?shù)谝粋�(gè)元素的值>n則結(jié)束

　　以3個(gè)數(shù)1、2、3的排列為例：原始排列是1 2 3，從它開始，第3個(gè)元素是3，3+2=5，5 Mod 3=2，第2個(gè)元素是2，2+1=3，所以新排列是1 3 2。通過元素增值，順序產(chǎn)生的

　　排列是：1 2 3，1 3 2，2 1 1，2 1 3，2 2 2，2 3 1，2 3 3，3 1 2，3 2 1

　　有下劃線的排列中存在重復(fù)元素，丟棄，余下的就是全部排列。

　　6.遞歸類算法

　　全排列的生成方法用遞歸方式描述比較簡(jiǎn)潔，實(shí)現(xiàn)的方法也有多種。

　　1）回溯法

　　回溯法通常是構(gòu)造一顆生成樹。以3個(gè)元素為例；樹的節(jié)點(diǎn)有個(gè)數(shù)據(jù)，可取值是1、2、3。如果某個(gè)為0，則表示尚未取值。

　　初始狀態(tài)是(0，0，0)，第1個(gè)元素值可以分別挑選1，2，3，因此擴(kuò)展出3個(gè)子結(jié)點(diǎn)。用相同方法找出這些結(jié)點(diǎn)的第2個(gè)元素的可能值，如此反復(fù)進(jìn)行，一旦出現(xiàn)新結(jié)點(diǎn)的3個(gè)數(shù)據(jù)全非零，那就找到了一種全排列方案。當(dāng)嘗試了所有可能方案，即獲得了問題的解答。

　　2）遞歸算法

　　如果用P表示n個(gè)元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上前綴i的排列，那么，n個(gè)元素的排列可遞歸定義為：

　　如果n=1，則排列P只有一個(gè)元素i

　　如果n>1，則排列P由排列(i)Pi構(gòu)成（i=1、2、....、n-1）。

　　根據(jù)定義，容易看出如果已經(jīng)生成了k-1個(gè)元素的排列，那么，k個(gè)元素的排列可以在每個(gè)k-1個(gè)元素的排列Pi前添加元素i而生成。例如2個(gè)元素的排列是1 2和2 1，對(duì)與個(gè)元素而言，p1是2 3和3 2，在每個(gè)排列前加上1即生成1 2 3和1 3 2兩個(gè)新排列，p2和p3則是1 3、3 1和1 2、2 1，按同樣方法可生成新排列2 1 3、2 3 1和3 1 2、3 2 1。

　　3）循環(huán)移位法

　　如果已經(jīng)生成了k-1個(gè)元素的排列，則在每個(gè)排列后添加元素k使之成為k個(gè)元素的排列，然后將每個(gè)排列循環(huán)左移（右移），每移動(dòng)一次就產(chǎn)生一個(gè)新的排列。

　　例如2個(gè)元素的排列是1 2和2 1。在1 2 后加上3成為新排列1 2 3，將它循環(huán)左移可再生成新排列2 3 1、3 1 2，同樣2 1 可生成新排列2 1 3、1 3 2和3 2 1。

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