- 初中數(shù)學(xué) 兩圓的公切線 教案 推薦度：
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兩圓的公切線教案
第一課時(shí) 兩圓的公切線（一）
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）理解兩圓相切長(zhǎng)等有關(guān)概念，掌握兩圓外公切線長(zhǎng)的求法；
�。�2）培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；
�。�3）通過(guò)兩圓外公切線長(zhǎng)的求法向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．
教學(xué)重點(diǎn)：
理解兩圓相切長(zhǎng)等有關(guān)概念，兩圓外公切線的求法．
教學(xué)難點(diǎn)：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長(zhǎng)學(xué)生理解的不透，容易混淆．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
（一）實(shí)際問(wèn)題（引入）
很多機(jī)器上的傳動(dòng)帶與主動(dòng)輪、從動(dòng)輪之間的位置關(guān)系，給我們以一條直線和兩個(gè)同時(shí)相切的形象．（這里是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模，了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與實(shí)踐）
（二）兩圓的公切線概念
1、概念：
教師引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)．給出兩圓的外公切線、內(nèi)公切線以及公切線長(zhǎng)的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線．
(1)外公切線：兩個(gè)圓在公切線的同旁時(shí)，這樣的公切線叫做外公切線．
(2)內(nèi)公切線：兩個(gè)圓在公切線的兩旁時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線．
(3)公切線的長(zhǎng)：公切線上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫做公切線的長(zhǎng)．
2、理解概念：
(1)公切線的長(zhǎng)與切線的長(zhǎng)有何區(qū)別與聯(lián)系?
(2)公切線的長(zhǎng)與公切線又有何區(qū)別與聯(lián)系?
(1)公切線的長(zhǎng)與切線的長(zhǎng)的概念有類似的地方，即都是線段的長(zhǎng)．但公切線的長(zhǎng)是對(duì)兩個(gè)圓來(lái)說(shuō)的，且這條線段是以兩切點(diǎn)為端點(diǎn)；切線長(zhǎng)是對(duì)一個(gè)圓來(lái)說(shuō)的，且這條線段的一個(gè)端點(diǎn)是切點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是圓外一點(diǎn)．
(2)公切線是直線，而公切線的長(zhǎng)是兩切點(diǎn)問(wèn)線段的長(zhǎng)，前者不能度量，后者可以度量．
（三）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系
組織學(xué)生觀察、概念、概括，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．添寫教材p143練習(xí)第2題表．
�。ㄋ模⿷�(yīng)用、反思、總結(jié)
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點(diǎn)分別是a、b．求：公切線的長(zhǎng)ab．
分析：首先想到切線性質(zhì)，故連結(jié)o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，再用其性質(zhì)．（組織學(xué)生分析，教師點(diǎn)撥，規(guī)范步驟）
解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
過(guò) o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb．
在rt△o2co1和．
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm)．
反思：（1）“轉(zhuǎn)化”思想，構(gòu)造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法．
例2、如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為兩圓的公切線，a、b為切點(diǎn)，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長(zhǎng)．
分析：因?yàn)榫�段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長(zhǎng)，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理，使問(wèn)題得解．證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個(gè)角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關(guān)系，故過(guò)p作兩圓的公切線cd如圖，因?yàn)閍b是兩圓的公切線，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因?yàn)椤蟗ap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解．
解：過(guò)點(diǎn)p作兩圓的公切線cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點(diǎn)
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
說(shuō)明：兩圓相切時(shí)，常過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關(guān)系．
�。ㄎ澹╈柟叹毩�(xí)
1、當(dāng)兩圓外離時(shí)，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對(duì)．
此題考察外公切線與外公切線長(zhǎng)之間的差別，答案(d)
2、外公切線是指
(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點(diǎn)間的距離
(c)兩圓在公切線兩旁時(shí)的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時(shí)的公切線
直接運(yùn)用外公切線的定義判斷．答案：(d)
3、教材p141練習(xí)（略）
（六）小結(jié)（組織學(xué)生進(jìn)行）
知識(shí)：兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線及公切線的長(zhǎng)概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長(zhǎng)的能力；
思想：“轉(zhuǎn)化”思想．
�。ㄆ撸┳鳂I(yè)：p151習(xí)題10，11．
第二課時(shí) 兩圓的公切線（二）
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）掌握兩圓內(nèi)公切線長(zhǎng)的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
�。�2）培養(yǎng)的遷移能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；
�。�3）通過(guò)兩圓內(nèi)公切線長(zhǎng)的求法進(jìn)一步向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．
教學(xué)重點(diǎn)：
兩圓內(nèi)公切線的長(zhǎng)及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法．
教學(xué)難點(diǎn)：
兩圓內(nèi)公切線和兩圓內(nèi)公切線長(zhǎng)學(xué)生理解的不透，容易混淆．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
�。ㄒ唬⿵�(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)
�。�1）兩圓的公切線概念：公切線、內(nèi)外公切線、內(nèi)外公切線的長(zhǎng)．
（2）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系．（構(gòu)成數(shù)形對(duì)應(yīng)，且一一對(duì)應(yīng)）
�。ǘ⿷�(yīng)用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內(nèi)公切線，切點(diǎn)分別是a，b．
求：公切線的長(zhǎng)ab。
組織學(xué)生分析，遷移外公切線長(zhǎng)的求法，既培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移能力．
解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
過(guò) o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長(zhǎng)線于c，
則o1c=ab，o1a=bc．
在rt△o2co1和．
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c=(cm)．
∴ab=8（cm）
反思：與外離兩圓的內(nèi)公切線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，常構(gòu)造如此題的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內(nèi)公切線長(zhǎng)、圓心距、兩半徑和重要數(shù)量．注意用解直角三角形的知識(shí)和幾何知識(shí)綜合去解構(gòu)造后的直角三角形．
例2 （教材例3）要做一個(gè)圖那樣的礦型架，將兩個(gè)鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數(shù)．
解：(略)
反思：實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)抽象、化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，這是解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法．它屬于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模．
組織學(xué)生進(jìn)行，教師引導(dǎo)．
歸納：（1）用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)可得：當(dāng)公切線長(zhǎng)l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個(gè)量中已知兩個(gè)量時(shí)，就可以求出其他兩個(gè)量．
�。�2）上述問(wèn)題可以通過(guò)相似三角形和解三角形的知識(shí)解決．
�。ㄈ╈柟逃�(xùn)練
教材p142練習(xí)第1題，教材p145練習(xí)第1題．
學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)糾正．
（四）小結(jié)
�。�1）求兩圓的內(nèi)公切線，“轉(zhuǎn)化”為解直角三角形問(wèn)題．公切線長(zhǎng)、圓心距、兩半徑和三個(gè)量中已知任何兩個(gè)量，都可以求第三個(gè)量；
�。�2）如果兩圓有兩條外(或內(nèi))公切線，并且它們相交，那么交點(diǎn)一定在兩圓的連心線上；
�。�3）求兩圓兩外(或內(nèi))公切線的夾角．
�。ㄎ澹┳鳂I(yè)
教材p153中12、13、14．
第三課時(shí) 兩圓的公切線（三）
教學(xué)目標(biāo)：
（1）理解兩圓公切線在解決有關(guān)兩圓相切的問(wèn)題中的作用, 輔助線規(guī)律，并會(huì)應(yīng)用；
�。�2）通過(guò)兩圓公切線在證明題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)：
會(huì)在證明兩圓相切問(wèn)題時(shí)，輔助線的引法規(guī)律，并能應(yīng)用于幾何題證明中．
教學(xué)難點(diǎn)：
綜合知識(shí)的靈活應(yīng)用和綜合能力培養(yǎng)．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
�。ㄒ唬⿵�(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)
�。�1）兩圓的公切線概念．
�。�2）切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)概念．
�。ǘ┕芯�在解題中的應(yīng)用
例1、如圖，⊙o1和⊙o2外切于點(diǎn)a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點(diǎn)．若連結(jié)ab、ac會(huì)構(gòu)成一個(gè)怎樣的三角形呢？
觀察、度量實(shí)驗(yàn)（組織學(xué)生進(jìn)行）
猜想：（學(xué)生猜想）∠bac=90°
證明：過(guò)點(diǎn)a作⊙o1和⊙o2的內(nèi)切線交bc于點(diǎn)o．
∵oa、ob是⊙o1的切線，
∴oa=ob．
同理oa=oc．
∴ oa=ob=oc．
∴∠bac=90°．
反思：（1）公切線是解決問(wèn)題的橋梁，綜合應(yīng)用知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；（2）作兩圓的公切線是常見的一種作輔助線的方法．
例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d．
求證：∠apc＝∠bpd．
分析：從條件來(lái)想，兩圓內(nèi)切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線．
證明：過(guò)p點(diǎn)作兩圓的公切線mn．
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd．
反思：（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個(gè)圓中的圓周角聯(lián)系起來(lái)了．要重視mn的“橋梁”作用．（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關(guān)系計(jì)算．
拓展：（組織學(xué)生研究，培養(yǎng)學(xué)生深入研究問(wèn)題的意識(shí)）
己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點(diǎn)．
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4．
�。ㄈ┚毩�(xí)
練習(xí)1、教材145練習(xí)第2題．
練習(xí)2、如圖，已知兩圓內(nèi)切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過(guò)c點(diǎn)．
求證：pa·pb=pd·pc．
證明：過(guò)點(diǎn)p作兩圓的公切線ef
∵ ab是小圓的切線，c為切點(diǎn)
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
說(shuō)明：此題在例2題的拓展的基礎(chǔ)上解得非常容易．
�。ㄈ┛偨Y(jié)
學(xué)習(xí)了兩圓的公切線，應(yīng)該掌握以下幾個(gè)方面
1、由圓的軸對(duì)稱性，兩圓外(或內(nèi))公切線的交點(diǎn)(如果存在)在連心線上．
2、公切線長(zhǎng)的計(jì)算，都轉(zhuǎn)化為解直角三角形，故解題思路主要是構(gòu)造直角三角形．
3、常用的輔助線：
�。�1）兩圓在各種情況下�？紤]添連心線；
�。�2）兩圓外切時(shí)，常添內(nèi)公切線；兩圓內(nèi)切時(shí)，常添外公切線．
4、自己要有深入研究問(wèn)題的意識(shí)，不斷反思，不斷歸納總結(jié)．
�。ㄋ模┳鳂I(yè)教材p151習(xí)題中15，b組2．
探究活動(dòng)
問(wèn)題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d．
(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的大小，根據(jù)量得結(jié)果，請(qǐng)你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關(guān)系，并證明你所得到的結(jié)論．
(2)當(dāng)直線cd的位置如圖2時(shí)，上題的結(jié)論是否還能成立?并說(shuō)明理由．
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點(diǎn)a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結(jié)論將變?yōu)槭裁�？并作出證明．
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．證明略（如圖作輔助線）．
說(shuō)明：?jiǎn)栴}從操作測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)入手，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，歸傻貿(mào)霾孿耄進(jìn)而證明猜想成立．這也數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種方法．第(2)、(3)題是對(duì)第(1)題結(jié)論的推廣和特殊化．第(3)題中若cd移動(dòng)到與兩圓相切于點(diǎn)c、d，那么結(jié)論又將變?yōu)椤蟘ad＝90°．
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