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關(guān)于高三數(shù)學(xué)的教案:平面向量與解析幾何交匯的綜合問題
設(shè)計立意及思路
向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，故它是聯(lián)系多項知識的媒介，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，數(shù)學(xué)高考重視能力立意，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計試題，因此，解析幾何與平面向量的融合交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢。而學(xué)生普遍感到不適應(yīng)，因此，我們在解析幾何復(fù)習(xí)時應(yīng)適時融合平面向量的基礎(chǔ)，滲透平面向量的基本方法。本專題就以下兩方面對平面向量與圓錐曲線交匯綜合的問題進行復(fù)習(xí);1、以向量為載體，求軌跡方程為命題切入點，綜合考查學(xué)生平面向量的加法與減法及其幾何意義，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，圓錐曲線的定義。2、以向量作為工具考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。
高考考點回顧
近三年來平面向量與圓錐曲線交匯命題可以說經(jīng)歷了三個階段：2002年天津卷21道只是數(shù)學(xué)符號上的混合;2003年江蘇卷20道用平面向量的語言描述解析幾何元素的關(guān)系，可謂是知識點層面上整合;2004年有6份卷(分別是全國卷理科(必修+選修I)21道;全國卷理科(選修Ⅱ)21道;遼寧19道;湖南文21道;江蘇卷21道;天津卷22道)涉及平面向量與圓錐曲線交匯綜合，可以說是應(yīng)用層面上綜合。就應(yīng)用層面上又有兩個層次。第一層次：考查學(xué)生對平面向量的概念、加減運算、坐標(biāo)表示、數(shù)量積等基本概念、運算的掌握情況. 第二層次：考查學(xué)生對平面向量知識的簡單運用，如平面向量共線定理、定比分點、加減運算幾何意義(這三點已有所涉及)、數(shù)量積幾何意義、射影定理(這兩點挖掘不夠，本專題著重講述見例1變式)�？疾閷W(xué)生把向量作為工具的運用能力.這一層次的問題有一定的難度，而且是未來幾年平面向量高考題的一個走向.
基礎(chǔ)知識梳理
1.向量的概念、向量的幾何表示、向量的加法和減法;
2. 實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運算;
3. 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義、平面兩點間的距離公式、線段定比分點人坐標(biāo)公式和向量的平衡移公式;
4. 橢圓、雙曲線、拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運用;
5.曲線方程(含指定圓錐曲線方程及軌跡方程);
6. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題(交點、弦長、中點弦與斜率、對稱問題)確定參數(shù)的取值范圍;
7. 平面向量作為工具綜合處理有關(guān)長度、角度、垂直、射影等問題以及圓錐曲線中的典型問題。
例題講解
一、減少運算量，提高思維量 是未來幾年高考的一個方向，高考中對求軌跡的方程傾向于利用適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化再用定義法，以利于減少運算量，提高思維量。而圓錐曲線的兩種定義均可用向量的模及數(shù)量積幾何意義、射影定理來表示，無疑為平面向量與圓錐曲線交匯命題開拓了廣闊的空間。在以向量為載體，求軌跡方程為命題切入點，可以綜合考查學(xué)生平面向量的加法與減法及其幾何意義，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，圓錐曲線的定義。
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