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高中數(shù)學反證法綜合測試題

　　一、選擇題

高中數(shù)學反證法綜合測試題

　　1．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()

　　A．有一個解

　　B．有兩個解

　　C．至少有三個解

　　D．至少有兩個解

　　[答案] C

　　[解析] 在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.

　　2．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設為()

　　A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)

　　B．a(chǎn)、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)

　　C．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)

　　D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)

　　[答案] B

　　[解析] a，b，c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù)；②有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù)；③有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù)；④三個偶數(shù)．因為要否定②，所以假設應為“全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”．故應選B.

　　3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，反設正確的是()

　　A．假設三內(nèi)角都不大于60

　　B．假設三內(nèi)角都大于60

　　C．假設三內(nèi)角至多有一個大于60

　　D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于60

　　[答案] B

　　[解析] “至少有一個不大于”的否定是“都大于60”．故應選B.

　　4．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設正確的是()

　　A．假設a，b，c都是偶數(shù)

　　B．假設a、b，c都不是偶數(shù)

　　C．假設a，b，c至多有一個偶數(shù)

　　D．假設a，b，c至多有兩個偶數(shù)

　　[答案] B

　　[解析] “至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數(shù)．

　　5．命題“△ABC中，若B，則ab”的結論的否定應該是()

　　A．a(chǎn)

　　B．a(chǎn)b

　　C．a(chǎn)＝b

　　D．a(chǎn)b

　　[答案] B

　　[解析] “ab”的否定應為“a＝b或ab”，即ab.故應選B.

　　6．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為()

　　A．一定是異面直線

　　B．一定是相交直線

　　C．不可能是平行直線

　　D．不可能是相交直線

　　[答案] C

　　[解析] 假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應選C.

　　7．設a，b，c(－，0)，則三數(shù)a＋1b，c＋1a，b＋1c中()

　　A．都不大于－2

　　B．都不小于－2

　　C．至少有一個不大于－2

　　D．至少有一個不小于－2

　　[答案] C

　　[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c

　　＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c

　　∵a，b，c(－，0)，

　　a＋1a＝－－a＋－1a－2

　　b＋1b＝－－b＋－1b－2

　　c＋1c＝－－c＋－1c－2

　　a＋1b＋c＋1a＋b＋1c－6

　　三數(shù)a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一個不大于－2，故應選C.

　　8．若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則()

　　A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行

　　B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直

　　C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交

　　D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面

　　[答案] B

　　[解析] 對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m

　　則有l(wèi)∥m，與l、m異面矛盾；對于C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥)；對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一．

　　9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是()

　　A．甲

　　B．乙

　　C．丙

　　D．丁

　　[答案] C

　　[解析] 因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手．故應選C.

　　10．已知x10，x11且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，試證“數(shù)列{xn}或者對任意正整數(shù)n都滿足xnxn＋1，或者對任意正整數(shù)n都滿足xnxn＋1”，當此題用反證法否定結論時，應為()

　　A．對任意的正整數(shù)n，都有xn＝xn＋1

　　B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1

　　C．存在正整數(shù)n，使xnxn＋1且xnxn－1

　　D．存在正整數(shù)n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)0

　　[答案] D

　　[解析] 命題的結論是“對任意正整數(shù)n，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”．故應選D.

　　二、填空題

　　11．命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________．

　　[答案] 沒有一個是三角形或四邊形或五邊形

　　[解析] “至少有一個”的否定是“沒有一個”．

　　12．用反證法證明命題“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設的內(nèi)容是________________．

　　[答案] a，b都不能被5整除

　　[解析] “至少有一個”的否定是“都不能”．

　　13．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：

　�、貯＋B＋C＝90＋90＋180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，則A＝B＝90不成立；

　�、谒砸粋€三角形中不能有兩個直角；

　�、奂僭OA，B，C中有兩個角是直角，不妨設A＝B＝90.

　　正確順序的序號排列為____________．

　　[答案] ③①②

　　[解析] 由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②.

　　14．用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個的過程如下：

　　假設______________．設全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.

　　顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無限多個．

　　[答案] 質(zhì)數(shù)只有有限多個除p1、p2、…、pn之外

　　[解析] 由反證法的步驟可得．

　　三、解答題

　　15．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.

　　求證：a0，b0，c0.

　　[證明] 用反證法：

　　假設a，b，c不都是正數(shù)，由abc0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，

　　不妨設a0，b0，c0，則由a＋b＋c0，

　　可得c－(a＋b)，

　　又a＋b0，c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)

　　ab＋c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)＋ab

　　即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2