七年級(jí)數(shù)學(xué)第一章知識(shí)點(diǎn)講解
有理數(shù)(rational number)
讀音:(yǒu lǐ shù)
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)m/n(m，n都是整數(shù)，且n≠0)的形式。
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)和開(kāi)根開(kāi)不盡的數(shù)叫無(wú)理數(shù) ,比如π，3.1415926535897932384626......
而有理數(shù)恰恰與它相反,整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)
包括整數(shù)和通常所說(shuō)的分?jǐn)?shù)，此分?jǐn)?shù)亦可表示為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)。
這一定義在數(shù)的十進(jìn)制和其他進(jìn)位制(如二進(jìn)制)下都適用。
數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個(gè)整數(shù) a 和一個(gè)非零整數(shù) b 的比(ratio)，通常寫(xiě)作 a/b，故又稱(chēng)作分?jǐn)?shù)。希臘文稱(chēng)為 λογο? ，原意為“成比例的數(shù)”(rational number)，但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)遂稱(chēng)為無(wú)理數(shù)。
所有有理數(shù)的集合表示為 Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或?yàn)檠h(huán)。
有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)
整數(shù)又分為正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0
分?jǐn)?shù)又分為正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)
正整數(shù)和0又被稱(chēng)為自然數(shù)
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數(shù)。
全體有理數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合，即有理數(shù)集，用粗體字母Q表示，較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)書(shū)則用空心字母Q表示。
有理數(shù)集是實(shí)數(shù)集的子集。相關(guān)的內(nèi)容見(jiàn)數(shù)系的擴(kuò)張。
有理數(shù)集是一個(gè)域，即在其中可進(jìn)行四則運(yùn)算(0作除數(shù)除外)，而且對(duì)于這些運(yùn)算，以下的運(yùn)算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數(shù))：
①加法的交換律 a+b=b+a;
�、诩臃ǖ慕Y(jié)合律 a+(b+c)=(a+b)+c;
�、鄞嬖跀�(shù)0，使 0+a=a+0=a;
④對(duì)任意有理數(shù)a，存在一個(gè)加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0;
�、莩朔ǖ慕粨Q律 ab=ba;
�、蕹朔ǖ慕Y(jié)合律 a(bc)=(ab)c;
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;
�、啻嬖诔朔ǖ膯挝辉�1≠0，使得對(duì)任意有理數(shù)a，1a=a1=a;
�、釋�(duì)于不為0的有理數(shù)a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
�、�0a=0 文字解釋?zhuān)阂粋�(gè)數(shù)乘0還于0。
此外，有理數(shù)是一個(gè)序域，即在其上存在一個(gè)次序關(guān)系≤。
有理數(shù)還是一個(gè)阿基米德域，即對(duì)有理數(shù)a和b，a≥0，b>0，必可找到一個(gè)自然數(shù)n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數(shù)。
值得一提的是有理數(shù)的名稱(chēng)�！坝欣頂�(shù)”這一名稱(chēng)不免叫人費(fèi)解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實(shí)上，這似乎是一個(gè)翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái)，在英語(yǔ)中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國(guó)在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語(yǔ)中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個(gè)詞來(lái)源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思(這里的詞根是英語(yǔ)中的，希臘語(yǔ)意義與之相同)。所以這個(gè)詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對(duì)，“無(wú)理數(shù)”就是不能精確表示為兩個(gè)整數(shù)之比的`數(shù)，而并非沒(méi)有道理。
有理數(shù)加減混合運(yùn)算
1.理數(shù)加減統(tǒng)一成加法的意義：
對(duì)于加減混合運(yùn)算中的減法，我們可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，這樣就可將混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算，統(tǒng)一后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。
2.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法和步驟：
(1)運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。
(2)運(yùn)用加法法則，加法交換律，加法結(jié)合律簡(jiǎn)便運(yùn)算。
有理數(shù)范圍內(nèi)已有的絕對(duì)值，相反數(shù)等概念，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有同樣的意義。
一般情況下，有理數(shù)是這樣分類(lèi)的：
整數(shù)、分?jǐn)?shù);正數(shù)、負(fù)數(shù)和零;負(fù)有理數(shù)，非負(fù)有理數(shù)
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù),有理數(shù)可以用a/b的形式表達(dá)，其中a、b都是整數(shù)，且互質(zhì)。我們?nèi)粘＝?jīng)常使用有理數(shù)的。比如多少錢(qián)，多少斤等。
凡是不能用a/b形式表達(dá)的實(shí)數(shù)就是無(wú)理數(shù)，又叫無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
一個(gè)困難的問(wèn)題
有理數(shù)的邊界在哪里?
根據(jù)定義，無(wú)限循環(huán)小數(shù)和有限小數(shù)(整數(shù)可認(rèn)為是小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù))，統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)。
但人類(lèi)不可能寫(xiě)出一個(gè)位數(shù)最多的有理數(shù)，對(duì)全地球人類(lèi)，或比地球人更智慧的生物來(lái)說(shuō)是有理數(shù)的數(shù)，對(duì)每個(gè)地球人來(lái)說(shuō)，可能是無(wú)法知道它是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)了。因此有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的邊界，竟然緊靠無(wú)理數(shù)，任何兩個(gè)十分接近的無(wú)理數(shù)中間，都可以加入無(wú)窮多的有理數(shù)，反之也成立。
竟然沒(méi)有人知道有理數(shù)的邊界，或者說(shuō)有理數(shù)的邊界是無(wú)限接近無(wú)理數(shù)的。
定理：位數(shù)最多的非無(wú)限循環(huán)有理數(shù)是不可能被寫(xiě)出的，盡管它的定義是有有限位，但它是無(wú)限趨近于無(wú)理數(shù)的，以致于沒(méi)有手段進(jìn)行判斷。
證明：假設(shè)位數(shù)最多的非無(wú)限循環(huán)有理數(shù)被寫(xiě)出，我們?cè)谶@個(gè)數(shù)的最后再加一位，這個(gè)數(shù)還是有限位有理數(shù)，但位數(shù)比已寫(xiě)出有理數(shù)多一位，證明原來(lái)寫(xiě)出的不是位數(shù)最多的非無(wú)限循環(huán)有理數(shù)。所以位數(shù)最多的非無(wú)限循環(huán)有理數(shù)是不可能被寫(xiě)出的。
關(guān)于無(wú)理數(shù)與有理數(shù)無(wú)法比較的說(shuō)明：
對(duì)于定義無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)之外為有理數(shù)。則無(wú)理數(shù)很難被證實(shí)，而每一個(gè)無(wú)理數(shù)，無(wú)論認(rèn)識(shí)多少位，都有有理數(shù)對(duì)應(yīng)，而位數(shù)較短的有理數(shù)，都沒(méi)有無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)，因此有理數(shù)多。
對(duì)于定義為有限位小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)數(shù)為無(wú)理數(shù)。對(duì)于很多位數(shù)多的無(wú)法分辨的數(shù)沒(méi)有明確歸屬，而認(rèn)為大于特定有限位的數(shù)都是無(wú)理數(shù)的人，才能證明無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多，但那明顯是將很多很多有理數(shù)歸為無(wú)理數(shù)的結(jié)果。在這個(gè)定義下，由于界限不明，無(wú)法進(jìn)行比較，除非有人能有力的證明。
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，如：
0.10100100010000100000......
0.1200000012000012000000120000......
π
等是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以不是有理數(shù)
循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法
0.777777......
有一個(gè)數(shù)循環(huán)，分母是一個(gè)9，循環(huán)數(shù)是7.化分?jǐn)?shù)后是7/9
0.535353......
有兩個(gè)數(shù)循環(huán)，分母是兩個(gè)9，循環(huán)數(shù)是53.化分?jǐn)?shù)后是53/99
我們可以在數(shù)軸上表示有理數(shù).注意畫(huà)數(shù)軸的三要素(原點(diǎn),正方向,單位長(zhǎng)度).
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