高三數(shù)學(xué)數(shù)列章末檢測(cè)題及答案
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知{an}為等差數(shù)列，若a3＋a4＋a8＝9，則S9＝( )
A．24 B．27
C．15 D．54
解析 B 由a3＋a4＋a8＝9，得3(a1＋4d)＝9，即a5＝3.則S9＝9a1＋a92＝9a5＝27.
2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－13a11的值為( )
A．14 B．15
C．16 D．17
解析 C ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－13a11＝(a8＋d)
�。�13(a8＋3d)＝23a8＝16.
3．已知{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)的和，若a1＝3，a2a4＝144，則S5的值是( )
A.692 B．69
C．93 D．189
解析 C 由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各項(xiàng)均為正數(shù)，則
q＝2.所以S5＝a11－q51－q＝3×1－321－2＝93.
4．在數(shù)列1,2，7，10，13，4，…中，219是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)( )
A．16 B．24
C．26 D．28
解析 C 因?yàn)閍1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，a6＝4＝16，…，
所以an＝3n－2.令an＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故選C.
5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S13<0，s12>0，則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為( )
A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)
C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)
解析 C ∵S13<0，∴a1＋a13＝2a7<0，又s12>0，
∴a1＋a12＝a6＋a7>0，∴a6>0，且|a6|>|a7|.故選C.
6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n＋12－1的值為( )
A.n＋12n＋2 B.34－n＋12n＋2
C.34－121n＋1＋1n＋2 D.32－1n＋1＋1n＋2
解析 C ∵1n＋12－1＝1n2＋2n＝1nn＋2＝121n－1n＋2，
∴Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2
�。�1232－1n＋1－1n＋2＝34－121n＋1＋1n＋2.
7．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若log2(a2a98)＝4，則a40a60等于( )
A．－16 B．10
C．16 D．256
解析 C 由log2(a2a98)＝4，得a2a98＝24＝16，
則a40a60＝a2a98＝16.
8．設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，則f(n)＝( )
A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1)
C.27(8n＋3－1) D.27(8n＋4－1)
解析 D ∵數(shù)列1,4,7,10，…，3n＋10共有n＋4項(xiàng)，∴f(n)＝2[1－23n＋4]1－23＝27(8n＋4－1)．
9．△ABC中，tan A是以－4為第三項(xiàng)，－1為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，tan B是以12為
第三項(xiàng)，4為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀是( )
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均錯(cuò)
解析 B 由題意 知，tan A＝－1－－47－3＝34＞0.
又∵tan3B＝412＝8，∴tan B＝2＞0， ∴A、B均為銳角．
又∵tan(A＋B)＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A＋B為鈍角，即C為銳角，
∴△ABC為銳角三角形．
10．在等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn＝nm，前m項(xiàng)和Sm＝mn，其中m≠n，則Sm＋n的值( )
A．大于4 B．等于4
C．小于4 D．大于2且小于4
解析 A 由題意可設(shè)Sk＝ak2＋bk(其中k為正整數(shù))，
則an2＋bn＝nm，am2＋bm＝mn，解得a＝1mn，b＝0，∴Sk＝k2mn，
∴Sm＋n＝m＋n2mn>4mnmn＝4.
11．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n＝1，2,3，…)，若當(dāng)首項(xiàng)a1
和公差d變化時(shí)，a5＋a8＋ a11是一個(gè)定值，則下列選項(xiàng)中為定值的是( )
A．S17 B．S18
C．S15 D．S14
解析 C 由a5＋a8＋a11＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8是定值，可知a8是定值．所以
S15＝15a1＋a152＝15a8是定值．
12．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝1nn＋1，其前n項(xiàng)和為910，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線
(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為( )
A．－10 B．－9
C．10 D．9
解析 B ∵an＝1n－1n＋1， ∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1，
由nn＋1＝910，得n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝0，其在y軸上的截距為－9.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．設(shè)Sn是等差 數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝________.
解析 ∵a1＝1，a4＝7，∴d＝7－14－1＝2.
∴S5＝5a1＋5×5－12d＝5×1＋5×42×2＝25.
【答案】 25
14．若數(shù)列{an}滿足關(guān)系a1＝3，an＋1＝2an＋1，則該數(shù)列的.通項(xiàng)公式為________．
解析 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
∴an＋1＝42n－1，∴an＝2n＋1－1.
【答案】 an＝2n＋1－1
15．(20 11北京高考)在等比數(shù)列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
解析 ∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
∴a4＝12q3＝－4，q＝－2；an＝12(－2)n－1， |an|＝122n－1，
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得 |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝－12＋122n＝2n－1－12.
【答案】 －2 2n－1－12
16．給定：an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義使a1a2…ak為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫做數(shù)列{an}的“ 企盼數(shù)”，則區(qū)間[1,2 013]內(nèi)所有“企盼數(shù)”的和M＝________.
解析 設(shè)a1a2…ak＝log23log34…logk(k＋1)logk＋1(k＋2)＝log2(k＋2)為整數(shù)m，
則k＋2＝2m，
∴k＝2m－2.
又1≤k≤2 013，
∴1≤2m－2≤2 013，
∴2≤m≤10.
∴區(qū)間[1,2 013]內(nèi)所有“企盼數(shù)”的和為
M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)
�。�(22＋23＋…＋210)－18
�。�22×1－291－2－18
�。�2 026.
【答案】 2 026
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a,4,3a，前k項(xiàng)的和Sk＝2 550，求通項(xiàng)公式an及k的值．
解析 法一：由題意知，
a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2 550.
∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
∴a＋3a＝2×4，
∴a1＝a＝2，公差d＝a2－a1＝2，
∴an＝2＋2(n－1)＝2n.
又∵Sk＝ka1＋kk－12d，
即k2＋kk－122＝2 550，整理，
得k2＋k－2 550＝0，
解得k1＝50， k2＝－51(舍去)，
∴an＝2n，k＝50.
法二：由法一，得a1＝a＝2，d＝2，
∴an＝2＋2(n－1)＝2n，
∴Sn＝na1＋an2＝n2＋2n2＝n 2＋n.
又∵Sk＝2 550，
∴k2＋k＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，
解得k＝50(k＝－51舍去)．
∴an＝2n，k＝50.
18．(12分)(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；新課標(biāo)
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3＋2n，求an.
解析 (1)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1
�。�3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)
�。� 6n－5，
因?yàn)閍1也適合上式，
所以通項(xiàng)公式為an＝6n－5.
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋2＝5.
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.
因?yàn)閚＝1時(shí)，不符合an＝2n－1，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an＝5， n＝1，2n－1， n≥2.
19．(12分)有10臺(tái)型號(hào)相同的聯(lián)合收割機(jī)，收割一片土地上的莊稼．若同時(shí)投入至收割完畢需用24小時(shí)，但現(xiàn)在它們是每隔相同的時(shí)間依次投入工作的，每一臺(tái)投入工作后都一直工作到莊稼收割完畢．如果第一臺(tái)收割機(jī)工作的時(shí)間是最后一臺(tái)的5倍．求用這種收割方法收割完這片土地上的莊稼需用多長時(shí)間？
解析 設(shè)從第一臺(tái)投入工作起，這10臺(tái)收割機(jī)工作的時(shí)間依次為a1，a2，a3，…，a10小時(shí)，依題意，{an}組成一個(gè)等差數(shù)列，每臺(tái)收割機(jī)每小時(shí)工作效率是1240，且有
a1240＋a2240＋…＋a10240＝1， ①a1＝5a10， ②
由①得，a1＋a2＋…＋a10＝240.
∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
∴a1＋a10×102＝240，即a1＋a10＝48.③
將②③聯(lián)立，解得a1＝40(小時(shí))，即用這種方 法收割完這片土地上的莊稼共需40小時(shí)．
20．(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1.
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)3nbn＝n(3n－an)，求|b1|＋|b2|＋…＋|bn|.
解析 (1)∵an＋1＝an＋6an－1，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)．
又a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴an＋an＋1≠0，
∴an＋1＋2anan＋2an－1＝3，
∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，
3為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
即an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，
∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
(3)由(2)及3nbn＝ n(3n－an)，可得
3nbn＝－n(an－3n)＝－n[2×(－2)n－1]＝n(－2)n，
∴bn＝n－23n，
∴|bn|＝n23n.
∴Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|
�。�23＋2×232＋…＋n×23n，①
�、佟�23，得
23Tn＝232＋2×233＋…＋(n－1)×23n＋n×23n＋1，②
�、伲诘�
13Tn＝23＋232＋…＋23n－n×23n＋1
�。�2－3×23n＋1－n23n＋1
�。�2－(n＋3)23n＋1，
∴Tn＝6－2(n＋3)23n.
21．(12分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)且f(1)＝12.
(1)當(dāng)n∈N*時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；
(2)設(shè)an＝nf(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；
(3)設(shè)bn＝(9－n)fn＋1fn，n∈N*，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，當(dāng)Sn最大時(shí)，求n的值．
解析 (1)令x＝n，y＝1，
得f(n＋1)＝f(n)f(1)＝12f(n)，
∴{f(n)}是首項(xiàng)為12，公比為12的等比數(shù)列，
即f(n)＝12n.
(2)設(shè)Tn為{an}的前n項(xiàng)和，
∵an＝nf(n)＝n12n，
∴Tn＝12＋2×122＋3×123＋…＋n×12n，
12Tn＝122＋2×123＋3×124＋…＋(n－1)×12n＋n×12n＋1，
兩式相減得
12Tn＝12＋122＋…＋12n－n×12n＋1，
整理，得Tn＝2－12n－1－n×12n<2.
(3)∵f(n)＝12n，
∴bn＝(9－n)fn＋1fn
�。�(9－n)12n＋112n＝9－n2，
∴當(dāng)n≤8時(shí)，bn>0；當(dāng)n＝9時(shí)，bn＝0；
當(dāng)n>9時(shí)，bn<0.
∴當(dāng)n＝8或9時(shí)，Sn取到最大值．
22． (12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3(n∈N*) ．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
(2)設(shè)bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解析 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①
∴a1＝13，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13(n≥2)，②
�、伲诘�3n－1an＝n3－n－13＝13(n≥2)，
化簡(jiǎn)得an＝13n(n≥2)．
顯然a1＝13也滿足上式，故an＝13n(n∈N*)．
(2)由①得bn＝n3n.
于是Sn＝13＋232＋333＋…＋n3n，③
3Sn＝132＋233＋334＋…＋n3n＋1，④
�、郏艿茫�2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n3n＋1，
即－2Sn＝3－3n＋11－3－n3n＋1，
Sn＝n23n＋1－143n＋1＋34.
【高三數(shù)學(xué)數(shù)列章末檢測(cè)題及答案】相關(guān)文章：
小升初數(shù)學(xué)檢測(cè)題及答案04-15
生物檢測(cè)題及答案07-19
相反數(shù)數(shù)學(xué)檢測(cè)題及答案參考04-15
小升初數(shù)學(xué)檢測(cè)題含參考答案04-16
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn):數(shù)列08-24
初一數(shù)學(xué)《概率》復(fù)習(xí)檢測(cè)題及答案06-30