中學數(shù)學解題方法與數(shù)學思想

　　中學數(shù)學中常見的數(shù)學思想有與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、 轉(zhuǎn)化與化歸的思想。這典型的四類數(shù)學思想對初中數(shù)學問題的解決有著重要的思維指導作用。

　　1. 函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學最基本的思想。所謂函數(shù)的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再運用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析、解決相關(guān)的問題。而所謂方程的思想是分析數(shù)學中的等量關(guān)系，去構(gòu)建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問題。

　　2. 數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)的方法去解決。因此數(shù)形結(jié)合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

　　3. 分類討論的思想

　　分類討論的思想之所以重要，原因一是因為它的邏輯性較強，原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣，原因三是因為它可培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。

　　解決分類討論問題的'關(guān)鍵是化整為零，在局部討論降低難度。常見的類型

類型 1 學概念引起的的討論，如 實數(shù)、有理數(shù)、絕對值、點（直線、圓）與圓的位置關(guān)系等概念的分類討論 ；

　　類型 2 學運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數(shù)還是負數(shù)的問題；

　　類型 3 質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引起的討論；

　　類型 4 形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關(guān)問題引起的討論。

　　類型 5 些字母系數(shù)對方程的影響造成的分類討論，如二次函數(shù)中字母系數(shù)對圖象的影響，二次項系數(shù)對圖象開口方向的影響，一次項系數(shù)對頂點坐標的影響，常數(shù)項對截距的影響等。

　　如分類討論的案例一張長為 9 厘米 ，寬為 8 厘米 的矩形紙板上，剪下一個腰長為 5 厘米 的等腰三角形（要求等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余兩個頂點在矩形的邊上），請計算剪下的等腰三角形的面積？

　　分類討論思想是對數(shù)學對象進行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在于克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則不重不漏。分類的步驟定討論的對象及其范圍；②確定分類討論的分類標準； ③ 按所分類別進行討論； ④ 歸納小結(jié)、綜合得出結(jié)論。注意動態(tài)問題一定要先畫動態(tài)圖。

　　4 ．轉(zhuǎn)化與化歸的思想

　　轉(zhuǎn)化與化歸市中學數(shù)學最基本的數(shù)學思想之一，數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，所以以上三種思想也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體呈現(xiàn)。

　　但是轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過程中前因和后果是充分的也是必要的；不等價轉(zhuǎn)化就只有一種情況，因此結(jié)論要注意檢驗、調(diào)整和補充。轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體的和直觀的問題；將復雜的轉(zhuǎn)為簡單的問題；將一般的轉(zhuǎn)為特殊的問題；將實際的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學的問題等等使問題易于解決。

　　常見的轉(zhuǎn)化方法有

　�。� 1 ）直接轉(zhuǎn)化法問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題 .

　�。� 2 ）換元法“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題 .

　　（ 3 ）數(shù)形結(jié)合法原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑 .

　　（ 4 ）等價轉(zhuǎn)化法問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的 .

　�。� 5 ）特殊化方法問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，使結(jié)論適合原問題 .

　　（ 6 ）構(gòu)造法造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題 .

　　（ 7 ）坐標法標系為工具，用計算方法解決幾何問題也是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑

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