關(guān)于一元二次方程的初中奧數(shù)問(wèn)題
一、增長(zhǎng)率問(wèn)題
例1 恒利商廈九月份的銷售額為200萬(wàn)元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬(wàn)元，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率.
解 設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是x.，則根據(jù)題意，得200(1-20%)(1+x)2=193.6，
即(1+x)2=1.21，解這個(gè)方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).
答 這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是10%.
說(shuō)明 這是一道正增長(zhǎng)率問(wèn)題，對(duì)于正的增長(zhǎng)率問(wèn)題，在弄清楚增長(zhǎng)的次數(shù)和問(wèn)題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mn.
二、商品定價(jià)
例2 益群精品店以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出(350-10a)件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤(rùn)不得超過(guò)20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件?每件商品應(yīng)定價(jià)多少?
解 根據(jù)題意，得(a-21)(350-10a)=400，整理，得a2-56a+775=0，
解這個(gè)方程，得a1=25，a2=31.
因?yàn)?1×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合題意，舍去.
所以350-10a=350-10×25=100(件).
答 需要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.
說(shuō)明 商品的定價(jià)問(wèn)題是商品交易中的重要問(wèn)題，也是各種考試的熱點(diǎn).
三、儲(chǔ)蓄問(wèn)題
例3 王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的'90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.(假設(shè)不計(jì)利息稅)
解 設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x.
則根據(jù)題意，得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x-3=0.
解這個(gè)方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x2≈-1.63舍去.
答 第一次存款的年利率約是2.04%.
說(shuō)明 這里是按教育儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅.
四、趣味問(wèn)題
例4 一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒(méi)看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒(méi)辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎?
解 設(shè)渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.
則根據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8，整理，得x2+0.8x-1.8=0.
解這個(gè)方程，得x1=-1.8(舍去)，x2=1.
所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.
答 渠道的上口寬2.5m，渠深1m.
說(shuō)明 求解本題開(kāi)始時(shí)好象無(wú)從下筆，但只要能仔細(xì)地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.
五、古詩(shī)問(wèn)題
例5 讀詩(shī)詞解題：(通過(guò)列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡).
大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物;
而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù);
十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符;
哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜?
解 設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3.
則根據(jù)題意，得x2=10(x-3)+x，即x2-11x+30=0，解這個(gè)方程，得x=5或x=6.
當(dāng)x=5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去;
當(dāng)x=6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.
答 周瑜去世的年齡齡為36歲.
說(shuō)明 本題雖然是一道古詩(shī)問(wèn)題，但它涉及到數(shù)字和年齡問(wèn)題，通過(guò)求解同學(xué)們應(yīng)從中認(rèn)真口味.
六、象棋比賽
例6 象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選 手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤.試計(jì)算這次比賽共有多少個(gè)選手參加.
解 設(shè)共有n個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n-1)個(gè)選手比賽一局，共計(jì)n(n-1)局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為n(n-1)局.由于每局共計(jì)2分，所以全部選手得分總共為n(n-1)分.顯然(n-1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n-1)=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44(舍去).
答 參加比賽的選手共有45人.
說(shuō)明 類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈(zèng)賀年片等問(wèn)題，都可以仿照些方法求解.
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