有關(guān)奇偶分析的數(shù)論奧數(shù)專項(xiàng)分析
現(xiàn)在的奧數(shù)，其難度和深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了同級(jí)的義務(wù)教育教學(xué)大綱。而相對(duì)于這門(mén)課程，一般學(xué)校的數(shù)學(xué)課應(yīng)該稱為“普通基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”。特此為大家準(zhǔn)備了有關(guān)奇偶分析的數(shù)論奧數(shù)專項(xiàng)分析18。
5.能否將1至25這25個(gè)自然數(shù)分成若干組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和?
6.在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個(gè)學(xué)生進(jìn)行比賽，每?jī)扇硕假愐痪帧，F(xiàn)知，其中有一位學(xué)生共得7分，另一位學(xué)生共得20分，試說(shuō)明，在比賽過(guò)程中至少有過(guò)一次平局。
7.在黑板上寫(xiě)上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a，b，并寫(xiě)上a-b(其中a≥b)。問(wèn)：最后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)?
8.設(shè)a1，a2，…，a64是自然數(shù)1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;
c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;
d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;
……
這樣一直做下去，最后得到的一個(gè)整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?
答案：
5.不能。提示：仿例3。
6.證：設(shè)得7分的學(xué)生勝了x1局，敗了y1局，得20分的`學(xué)生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：
x1-y1=7，x2-y2=20。
如果比賽過(guò)程中無(wú)平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場(chǎng)次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù)，由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù)，推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過(guò)程中至少有一次平局。
7.奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S=1+2+…+909是一個(gè)奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-(a-b)=2b，這是一個(gè)偶數(shù)，說(shuō)明總和S的奇偶性不變。由于開(kāi)始時(shí)S是奇數(shù)，因此終止時(shí)S仍是一個(gè)奇數(shù)。
8.偶數(shù)。
解：我們知道，對(duì)于整數(shù)a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計(jì)算的第二步中，32個(gè)數(shù)
a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，
分別與下列32個(gè)數(shù)
a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，
有相同的奇偶性，這就是說(shuō)，在只考慮奇偶性時(shí)，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來(lái)的計(jì)算過(guò)程改為
第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;
第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;
第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;
……
最后一步所得到的數(shù)是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個(gè)排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個(gè)偶數(shù)，故最后一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)
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