數(shù)學(xué)五年級上冊《數(shù)學(xué)廣角─植樹問題》教材分析
和前面幾冊教材一樣，本冊也專門安排了數(shù)學(xué)廣角單元，向?qū)W生滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本冊的數(shù)學(xué)廣角──植樹問題包含三個例題，主要是滲透有關(guān)植樹問題的一些思想方法，通過現(xiàn)實生活中一些常見的實際問題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實際問題。
解決植樹問題的思想方法是實際生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。植樹問題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。在現(xiàn)實生活中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場敲鐘等，這些問題情境中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題，我們就把這類問題統(tǒng)稱為植樹問題。在植樹問題中，植樹的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長方形或圓形等）。即使是關(guān)于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強調(diào)：要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。
教材在編排上，注重引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、猜測、驗證、推理等數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中探索解決問題的有效方法的能力。在教學(xué)植樹問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提高學(xué)生解決實際問題的能力。
下面就教材中安排的三個典型例題進行分析。
一、經(jīng)歷解決問題的過程
教材第106頁例1通過學(xué)生熟悉的植樹情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，經(jīng)歷猜想、實驗、抽象等數(shù)學(xué)活動過程，探索間隔與點之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，再運用模型解決實際問題。讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、解決問題的全過程。
教材用幾個小朋友的對話和圖片來呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問題的過程。首先由一個男孩說出學(xué)生們可能會想到的答案：1005=20（棵），接著一個女孩問：對嗎？檢驗一下，來引發(fā)學(xué)生思考。接下來由小精靈提出了解決問題的常用方法──從簡單的情況入手解決復(fù)雜的問題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹時確定樹苗數(shù)量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個小男孩提出25 m可以栽幾棵？這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想──一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時教材進一步提出不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡單的問題。最后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決前面的植樹問題：100 m長的小路共有20個間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析、思考、解決問題的整個全過程展示出來，讓學(xué)生經(jīng)歷這個過程并從中學(xué)習(xí)一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗，并且可以從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。
對于例2（兩端不栽的情況）以及第107頁做一做第2題（一端栽一端不栽的情況），由于學(xué)生前面有了探索的經(jīng)驗，這里可以放手讓學(xué)生去探索，用自己的方法去發(fā)現(xiàn)這兩種情況的植樹問題中隱含的規(guī)律。
二、體會基本的數(shù)學(xué)思想
本單元通過一些生活中的事例，讓學(xué)生根據(jù)不同的情況總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問題。但是，本單元的教學(xué)最終目的并不只是讓學(xué)生明白規(guī)律，而是要引領(lǐng)學(xué)生進一步探究規(guī)律的產(chǎn)生原因，幫助其建立一一對應(yīng)的思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。
在植樹問題中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)植樹問題的`難點。為了突破這一難點，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀幫助學(xué)生理解植樹問題的數(shù)學(xué)模型。例1是探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題，讓學(xué)生通過畫線段圖來發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過這兩幅圖，讓學(xué)生把點（樹）與線（間隔）一一對應(yīng)起來，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個點（樹），所以栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1。例2通過遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽的線段圖，做一做的第2題讓學(xué)生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個單元教材通過線段圖的教學(xué)，突出一一對應(yīng)的思想，并以此為基礎(chǔ)分析植樹問題三種不同的情況，即兩端都栽只栽一端與兩端都不栽。無論哪種情形，都能用一一對應(yīng)的思想統(tǒng)領(lǐng)。
教材通過選取生活中不同的事例，讓學(xué)生體會一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法──化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題所帶來的便利。同時培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。
在練習(xí)中，教材以植樹問題為背景幫助學(xué)生清楚地認識到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與植樹問題有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。
三、感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動經(jīng)驗
教材第108頁例3討論的是在封閉圖形周圍栽樹的情形。學(xué)生學(xué)習(xí)了例1、例2后，掌握了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問題的思考方法來解決封閉圖形中的植樹問題。
面對封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：先畫圖試試看。假設(shè)周長是40 m，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面例1、例2的研究經(jīng)驗──直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4棵后，教材并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹問題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是請小精靈進一步提出問題：如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實可以轉(zhuǎn)化成一端栽另一端不栽的情形。接下來，教材通過兩位學(xué)生的對話我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹一一對應(yīng)相當(dāng)于一端栽，一端不栽，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯(lián)系。
本單元注重讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、驗證、推理與交流等活動，使學(xué)生既學(xué)會一些解決問題的一般方法與策略，又積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。例如，例1通過對嗎？檢驗一下100 m太長了，可以先用簡單的數(shù)試試你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律等，滲透了猜測──探索──歸納──應(yīng)用的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法。
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