高一數(shù)學(xué)重要的知識點總結(jié)
高一的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門課程的時候,對知識點進行總結(jié),可以檢查學(xué)生對知識的真正掌握程度。下面是百分網(wǎng)小編為大家整理的高一數(shù)學(xué)重要知識歸納,希望對大家有用!
高一數(shù)學(xué)必背知識
(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)
1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射.
2、對于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點:
(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式.
(3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù).
3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:
(1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)將x,y對換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達式y(tǒng)=f-1(x),并注明定義域.
注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起.
、谑煜さ膽(yīng)用,求f-1(x0)的值,合理利用這個結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運算.
(二)、函數(shù)的解析式與定義域
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時,求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型:
(1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題,這時自變量x有實際意義,求定義域要結(jié)合實際意義考慮;
(2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:
、俜质降姆帜覆坏脼榱;
、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零;
③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
、苤笖(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
、萑呛瘮(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等.
應(yīng)注意,一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時,定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).
(3)已知一個函數(shù)的定義域,求另一個函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時f(x)的定義域,即g(x)的值域.
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況
(1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時,必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.
(2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可.
(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達式時,可用換元法求函數(shù)f(x)的表達式,這時必須求出g(x)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.
(4)若已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達式.
高一數(shù)學(xué)知識要點
函數(shù)的值域與最值
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:
(1)直接法:亦稱觀察法,對于結(jié)構(gòu)較為簡單的`函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域.
(2)換元法:運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時,用三角換元.
(3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.
(4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.
(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.
(6)判別式法:把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.
(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.
如函數(shù)的值域是(0,16],最大值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無最大值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時,函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.
3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用
函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”,“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上,求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值.
高一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識
一丶函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.
注意:
1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零,
(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
u 相同函數(shù)的判斷方法:①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上 .
(2) 畫法
A、 描點法:
B、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間
(2)無窮區(qū)間
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
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