2018屆浙江高考數(shù)學(xué)理二模試卷
高考數(shù)學(xué)要想獲得高分，必須要多做一些模擬試卷熟悉高考數(shù)學(xué)的相關(guān)題型，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2018屆浙江高考數(shù)學(xué)理二模試卷，希望能幫到你。
2018屆浙江高考數(shù)學(xué)理二模試卷題目
一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.已知復(fù)數(shù)z1=2﹣i，z2=1+i，其中i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z= ，若a﹣z為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為( )
A. B. C.﹣ D.﹣
2.命題“∀x∈[0，+∞)，sinx+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈(﹣∞，0)，sinx0+x0<0
B.∀x∈(﹣∞，0)，sinx+x≥0
C.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0<0
D.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0≥0
3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2)，N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(﹣∞，0) D.(﹣∞，0]
4.已知中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線的漸近線方程為y=± x則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. 或 D. 或
5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在兩側(cè)，且乙、丙兩人站在一起，那么不同的排法種數(shù)為( )
A.12 B.24 C.36 D.72
6.如圖，正方形ABCD中，P，Q分別是邊BC，CD的中點，若 =x +y ，則xy=( )
A.2 B. C. D.
7.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典.其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何?”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深一寸，鋸道長一尺.問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為( ) (注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈ )
A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸
8.將函數(shù)f(x)=2sin(πx)的圖象向左平移φ(0<φ<4)個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若實數(shù)x1，x2滿足|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|min=2，則φ=( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3
9.若如圖的程序框圖運行的結(jié)構(gòu)為S=﹣ ，則判斷框①中可以填入的是( )
A.i>4? B.i≥4? C.i>3? D.i≥3?
10.多項式(x2﹣x﹣y)5的展開式中，x7y項的系數(shù)為( )
A.20 B.40 C.﹣15 D.160
11.如圖，是圓錐一部分和四分之一球組成的組合體的三視圖，則此幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
12.已知函數(shù)f(x)= +bx﹣2a(a∈R)，其中b= (2sin •cos )dt，若∃x∈(1，2)，使得f′(x)•x+f(x)>0成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(﹣∞，1) B.(0，1] C.(﹣∞， ) D.(﹣∞， ]
二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)
13.某校高三年級的一次測驗成績的頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)要按如圖所示的4個分數(shù)段進行分層抽樣，抽取100人了解情況，已知70～80分數(shù)段抽取了30人，則全體高三年級學(xué)生的平均分數(shù)為 (以各組區(qū)間的中點值代表改組的取值)
14.若以橢圓 =1的右頂點為圓心的圓與直線x+ y+2=0相切，則該圓的標準方程是 .
15.設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標函數(shù)z=kx+y的最大值為9，則實數(shù)k的值為 .
16.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c= ，C= ，點D在邊AB上，且 • =0，則線段CD的最大值為 .
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟(共5小題，滿分60分)
17.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=2﹣3Sn(n∈N*)
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式
(Ⅱ)設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{ }的前n項和Tn.
18.(12分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知側(cè)按AA1⊥底面ABC，且四邊形AA1B1B是邊長為2的正方形，CA=CB，點M為棱AB的中點，點E，F(xiàn)分別在按AA1，A1B1上
(Ⅰ)若點F為棱A1B1的中點，證明：平面ABC1⊥平面CMF
(Ⅱ)若AE= ，A1F= ，且CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值.
19.(12分)根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定(試行)》(HJ633﹣2012)規(guī)定，空氣污染指數(shù)劃分為六檔，指數(shù)越大，級別越高，說明污染越嚴重，對人體健康的影響也越明顯，如表(1)所示，若表(2)、表(3)分別是石家莊市、北京市近期空氣質(zhì)量記錄.
表一：
空氣質(zhì)量指數(shù) [0，50]
[51，100]
[101，150]
[151，200]
[201，300] 300以上
空氣質(zhì)量狀況 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴重污染
(Ⅰ)根據(jù)表(2)、表(3)中的數(shù)據(jù)，通過研究1月1日至7日石家莊市、北京市近一周空氣污染指數(shù)的平均值，比較石家莊市、北京市近一周空氣污染的嚴重程度(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
(Ⅱ)將1月1日至7日分別記為x，x=1，2，3，4，5，6，7，其對應(yīng)的空氣污染指數(shù)為y，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)說明石家莊市空氣污染指數(shù)y與日期x之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱，丙說明理由
(Ⅲ)小明在北京經(jīng)營一家洗車店，經(jīng)小明統(tǒng)計，AQI指數(shù)不高于200時，洗車店平均每天虧損約200元，AQI指數(shù)在200至400時，洗車店平均每天收入約400元，AQI指數(shù)大于400時，洗車店平均每天收入約700元，求小明的洗車店在近兩周每天收入的數(shù)學(xué)期望(結(jié)構(gòu)保留整數(shù)部分)
附：相關(guān)系數(shù)r= ，r∈[0.30，0.75)時，相關(guān)性一般，r∈[0.75，1]時，相關(guān)性很強
參考數(shù)據(jù)： =28， (y1﹣ )2≈123134， (xi﹣ )(y1﹣ )= 68， ≈1857.
20.(12分)已知拋物線ω：y2=ax(a>0)上一點，P(t，2)到焦點F的距離為2t
(Ⅰ)求拋物線ω的方程
(Ⅱ)如圖已知點D的坐標為(4，0)，過拋物線ω的焦點F的直線交拋物線ω于M，N兩點，若過D和N兩點的直線交拋物線ω的準線于Q點，求證：直線MQ與x軸交于一定點.
21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)若x1，x2(x1m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22.(10分)已知平面直角坐標系中，曲線C1的直角坐標方程為(x+1)2+(y﹣1)2=1，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos(θ+ )=2
(Ⅰ)求曲線C1與曲線C2的參數(shù)方程
(Ⅱ)若點A，B分別在曲線C1與曲線C2上，求|AB|的最小值.
[選修4-5;不等式選講]
23.已知函數(shù)f(x)=|x﹣t|，t∈R
(Ⅰ)若t=1，解不等式f(x)+f(x+1)≤2
(Ⅱ)若t=2，a<0，求證：f(ax)﹣f(2a)≥af(x)
2018屆浙江高考數(shù)學(xué)理二模試卷答案
一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.已知復(fù)數(shù)z1=2﹣i，z2=1+i，其中i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z= ，若a﹣z為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出.
【解答】解：復(fù)數(shù)z= = = = ，
∵a﹣z=a﹣ + i為純虛數(shù)，
∴a﹣ =0，解得a= .
故選：B.
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2.命題“∀x∈[0，+∞)，sinx+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈(﹣∞，0)，sinx0+x0<0 B.∀x∈(﹣∞，0)，sinx+x≥0
C.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0<0 D.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0≥0
【考點】21：四種命題.
【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.
【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題.所以命題“∀x∈[0，+∞)，sinx+x≥0”的否定是：∃∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0<0;
故選：C.
【點評】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系.
3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2)，N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(﹣∞，0) D.(﹣∞，0]
【考點】18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.
【分析】先將集合M化簡，然后集合M∩N=N，則N⊂M，得實數(shù)a.
【解答】解：集合M={x|y=lg(x﹣2)}={x|x>2}，N={x|x≥a}，
若集合M∩N=N，則N⊂M，
∴a>2，即(2，+∞).
故選：A.
【點評】本題考查集合的包含關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.
4.已知中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線的漸近線方程為y=± x則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. 或 D. 或
【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】當雙曲線的焦點坐標在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為 ，由已知條件推導(dǎo)出 ;當雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為 ，由已知條件推導(dǎo)出 .由此利用分類討論思想能求出該雙曲線的離心率.
【解答】解：∵中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線的漸近線方程為y=± x，
∴雙曲線的焦點坐標在x軸上或在y軸上，
�、佼旊p曲線的焦點坐標在x軸上時，
設(shè)雙曲線方程為 ，
它的漸近線方程為y=± ，∴ ，
∴e= = = ;
當雙曲線的焦點在y軸上時，
設(shè)雙曲線方程為 ，
它的漸近線方程為y= ，∴ ，∴ ，
∴e= = = .
綜上所述，該雙曲線的離心率為 或 .
故選：C.
【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用.
5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在兩側(cè)，且乙、丙兩人站在一起，那么不同的排法種數(shù)為( )
A.12 B.24 C.36 D.72
【考點】D8：排列、組合的實際應(yīng)用.
【分析】根據(jù)題意，分3步進行分析：①、乙、丙兩人站在一起，用捆綁法將2人看成一個整體進行分析;②、將這個整體與丁、戊進行全排列，③、分析甲的站法數(shù)目，進而由分步計數(shù)原理計算可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：
①、乙、丙兩人站在一起，將2人看成一個整體，考慮其順序有A22種順序;
②、將這個整體與丁、戊進行全排列，有A33種情況;
�、邸⒓撞徽驹趦蓚�(cè)，則乙丙的整體與丁、戊有2個空位可選，有2種情況，
則不同的排法有A22×A33×2=24種;
故選：B.
【點評】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素.
6.如圖，正方形ABCD中，P，Q分別是邊BC，CD的中點，若 =x +y ，則xy=( )
A.2 B. C. D.
【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義.
【分析】 y( =x( )+y( )=(x﹣ ) +( ) = .可得x﹣ =1， =1，即可
【解答】解：∵ y( =x( )+y( )=(x﹣ ) +( ) = .
可得x﹣ =1， =1，解得x= ，y= ，∴xy=
故選：D
【點評】本題考查了向量的線性運算，屬于中檔題.
7.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典.其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何?”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深一寸，鋸道長一尺.問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為( ) (注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈ )
A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸
【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積.
【分析】由題意畫出圖形，求出圓柱的底面半徑，進一步求出弓形面積，代入體積公式得答案.
【解答】解：如圖，
AB=10(寸)，則AD=5(寸)，CD=1(寸)，
設(shè)圓O的半徑為x(寸)，則OD=(x﹣1)(寸)，
在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+(x﹣1)2=x2，解得：x=13(寸).
∴sin∠AOD= ，即∠AOD≈22.5°，則∠AOB=45°.
則弓形 的面積S= ≈6.33(平方寸).
則算該木材鑲嵌在墻中的體積約為V=6.33×100=633(立方寸).
故選：D.
【點評】本題考查棱柱、棱錐、棱臺體積的求法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題.
8.將函數(shù)f(x)=2sin(πx)的圖象向左平移φ(0<φ<4)個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若實數(shù)x1，x2滿足|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|min=2，則φ=( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3
【考點】HJ：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得|x1﹣x2|min=2，得φ的值
【解答】解：將函數(shù)f(x)=2sin(πx)的圖象向左平移φ(0<φ<4)個單位，得到函數(shù)y=g(x)=2sin(πx+φπ)的圖象，
故f(x)的最大值為2，最小值為﹣2，g(x)的最大值為2，最小值為﹣2.
若實數(shù)x1，x2滿足|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|=2，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x1﹣x2|min=2.
不妨假設(shè)f(x1)=2，g(x2)=﹣2，則 πx1=2kπ+ ，πx2+πφ=2nπ﹣ ，k、n∈Z，
即x1=2k+ ，x2=2n﹣ ﹣φ，此時，有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=1+φ，或|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=﹣2+1+φ，
∴φ=1 或φ=3，
故選：D.
【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，函數(shù)的最值以及函數(shù)的周期的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是好題，題目新穎，有一定難度，屬于中檔題.
9.若如圖的程序框圖運行的結(jié)構(gòu)為S=﹣ ，則判斷框①中可以填入的是( )
A.i>4? B.i≥4? C.i>3? D.i≥3?
【考點】EF：程序框圖.
【分析】模擬運行程序，可得結(jié)論.
【解答】解：模擬運行程序，可得S=﹣ ，i=2;S=﹣ +2cos =﹣ ，i=3;
S=﹣ +3cosπ= ，i=4;S= +4cos =﹣ ，i=5，循環(huán)結(jié)束，
故選A.
【點評】本題是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，解題的關(guān)鍵是判斷程序框圖功能及判斷終止程序的k值.
10.多項式(x2﹣x﹣y)5的展開式中，x7y項的系數(shù)為( )
A.20 B.40 C.﹣15 D.160
【考點】DB：二項式系數(shù)的性質(zhì).
【分析】由題意知，當其中一個因式取﹣y，一個因式取﹣x，其余的3個因式都取x2 時，
可得含x7y的項，由此求得結(jié)果.
【解答】解：多項式(x2﹣x﹣y)5表示5個因式(x2﹣x﹣y)的乘積，
當只有一個因式取﹣y，一個因式取﹣x，
其余的3個因式都取x2時，才可得到含x7y的項;
所以x7y的系數(shù)為 • • =20.
故選：A.
【點評】本題考查了排列組合、二項式定理和乘方的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.
11.如圖，是圓錐一部分和四分之一球組成的組合體的三視圖，則此幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以正視圖為底面的四分之一球與半圓錐的組合體，分別計算它們的體積，相加可得答案.
【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以正視圖為底面的四分之一球與半圓錐的組合體，
底面(四分之一球)的半徑R=2，
故四分之一球的體積V= = ，
半圓錐的底面面積S= =2π，
高h=3，
故半圓錐的體積為：2π，
故組合體的體積V= ，
故選：C
【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵.
12.已知函數(shù)f(x)= +bx﹣2a(a∈R)，其中b= (2sin •cos )dt，若∃x∈(1，2)，使得f′(x)•x+f(x)>0成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(﹣∞，1) B.(0，1] C.(﹣∞， ) D.(﹣∞， ]
【考點】67：定積分.
【分析】先利用微積分基本定理求出a，得到函數(shù)的`解析式，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，求出函數(shù)y=x+ 的最大值即可.
【解答】解：b= (2sin •cos )dt= sintdt=﹣cost| =﹣(cos ﹣cos0)=1，
∴f(x)= +x﹣2a，
設(shè)g(x)=xf(x)=2lnx+a2+x2﹣2ax，
∴g′(x)= +2x﹣2a，g′(x)=f′(x)•x+f(x)，
∵∃x∈(1，2)，使得f′(x)•x+f(x)>0成立，
∴∃x∈(1，2)，使得 +2x﹣2a>0，
∴∃x∈(1，2)，使得a< +x，
又y=x+ 在(1，2)上單調(diào)遞增，
∴a<( +x)max< +2= ，
∴a< ，
故選：C
【點評】本題以函數(shù)為載體，考查微積分基本定理，導(dǎo)數(shù)的運用，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題
二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)
13.某校高三年級的一次測驗成績的頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)要按如圖所示的4個分數(shù)段進行分層抽樣，抽取100人了解情況，已知70～80分數(shù)段抽取了30人，則全體高三年級學(xué)生的平均分數(shù)為 82 (以各組區(qū)間的中點值代表改組的取值)
【考點】B8：頻率分布直方圖.
【分析】先求出70～80分數(shù)段與90～100分數(shù)段的頻率，再求平均分.
【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖知，
70～80分數(shù)段的頻率為 =0.3，
∴90～100分數(shù)段的頻率為
1﹣(0.1+0.3+0.4)=0.2，
∴平均分為 =0.1×65+0.3×75+0.4×85+0.2×95=82，
故答案為：82.
【點評】本題考查了利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.
14.若以橢圓 =1的右頂點為圓心的圓與直線x+ y+2=0相切，則該圓的標準方程是 (x﹣2)2+y2=4 .
【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】求得橢圓的右頂點，利用點到直線的距離公式，即可圓的半徑，即可求得圓的標準方程.
【解答】解：橢圓 =1的右頂點(2，0)，
則圓心(2，0)，設(shè)圓心到直線x+ y+2=0的距離為d，
則d= =2，
∴該圓的標準方程的方程(x﹣2)2+y2=4，
故答案為：(x﹣2)2+y2=4.
【點評】求得橢圓的右頂點，利用點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.
15.設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標函數(shù)z=kx+y的最大值為9，則實數(shù)k的值為 ﹣5或2 .
【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.
【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想進行求解即可.
【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=kx+y得y=﹣kx+z，
則直線截距最大時，z最大，
∵目標函數(shù)z=kx+y的最大值為9，
∴y+kx=9，即y=﹣kx+9，
則目標函數(shù)過定點(0，9)，
當k=0時，y=z，此時直線過點A時，直線的截距最大，
由 得 ，即A(2，5)，
此時最大值z=5不滿足條件.
當k>0時，目標函數(shù)的斜率為﹣k<0，
平移直線y=﹣kx+z，則直線經(jīng)過點A(2，5)時，截距最大，
此時z=9=2k+5，得2k=4，k=2，
當k<0時，目標函數(shù)的斜率為﹣k>0，
平移直線y=﹣kx+z，則直線經(jīng)過點C時，截距最大，
由 得 ，即C(﹣ ， )
此時z=9=﹣ k+ ，得﹣3k=15，得k=﹣5，滿足條件.
綜上k=﹣5或k=2，
故答案為：﹣5或2
【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.注意本題要對k進行分類討論.
16.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c= ，C= ，點D在邊AB上，且 • =0，則線段CD的最大值為 .
【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算.
【分析】根據(jù)| |=| |= 得出a2+b2=3+ab，再利用基本不等式得出ab的范圍，根據(jù)面積公式得出CD關(guān)于ab的表達式，從而得出CD的最值.
【解答】解： =abcos = ，
∵| |=| |= ，
∴ =3，即a2+b2=3+ab，
又a2+b2≥2ab，∴3+ab≥2ab，∴ab≤3.
∵ • =0，∴CD⊥AB，
∴S= = ×CD×c，即 ab= CD，
∴CD= ab≤ ，
故答案為： .
【點評】本題考查了平面向量的應(yīng)用與數(shù)量積運算，面積公式及基本不等式，屬于中檔題.
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟(共5小題，滿分60分)
17.(12分)(2017•衡水金卷二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=2﹣3Sn(n∈N*)
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式
(Ⅱ)設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{ }的前n項和Tn.
【考點】8E：數(shù)列的求和;8H：數(shù)列遞推式.
【分析】(Ⅰ)當n≥2時，由已知條件an=2﹣3Sn得到an﹣1=2﹣3Sn﹣1，將這兩個式子相減，再結(jié)合數(shù)列{an}的前n項和Sn的定義易得數(shù)列{an}的通項公式
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中求得的通項公式不難推出：bn=log2an=1﹣2n，所以利用裂項相消法來求數(shù)列{ }的前n項和Tn.
【解答】解：(Ⅰ)當n≥2時，∵an=2﹣3Sn…①
∴an﹣1=2﹣3Sn﹣1…②
�、侃仮诘茫篴n﹣an﹣1=﹣3(Sn﹣Sn﹣1)=﹣3an
∴4an=an﹣1;即 = ，
又a1=2﹣3S1=2﹣3a1;得：a1= ，
∴數(shù)列{an}是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列
∴an= ×( )n﹣1=21﹣2n(n∈N*)，即an=21﹣2n(n∈N*)，
(Ⅱ)∵an=21﹣2n(n∈N*)，bn=log2an，
∴bn=log2an=log221﹣2n=1﹣2n，
∴ = = ( ﹣ ).
∴Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )，
= (1﹣ )，
= (n∈N*).
【點評】本題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和的求解，利用裂項相消求和法是解決本題的關(guān)鍵.
18.(12分)(2017•衡水金卷二模)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知側(cè)按AA1⊥底面ABC，且四邊形AA1B1B是邊長為2的正方形，CA=CB，點M為棱AB的中點，點E，F(xiàn)分別在按AA1，A1B1上
(Ⅰ)若點F為棱A1B1的中點，證明：平面ABC1⊥平面CMF
(Ⅱ)若AE= ，A1F= ，且CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值.
【考點】MI：直線與平面所成的角;LY：平面與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)推導(dǎo)出AA1⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，從而AB⊥平面CMF，由此能證明平面ABC1⊥平面CMF.
(Ⅱ)記線段A1B1的中點為N，連結(jié)MN，以M為原點，MC為x軸，MA為y軸，MN為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AC1與平面CEF所成角的正弦值.
【解答】證明：(Ⅰ)∵AA1B1B是邊長為2的正方形，∴AA1⊥AB，
又在正方形ABB1A1中，F(xiàn)，M分別是線段A1B1，AB的中點，
∴FM∥A1A，∴AB⊥FM，
在△ABC中，CA=CB，且點M是線段AB的中點，
∴CM⊥AB，
又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，
又AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面CMF.
解：(Ⅱ)在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB= ，且CM=1，
記線段A1B1的中點為N，連結(jié)MN，
由(Ⅰ)知MC、MA、MN兩兩互相垂直，
以M為原點，MC為x軸，MA為y軸，MN為z軸，建立空間直角坐標系，
則C(1，0，0)，E(0，1， )，F(xiàn)(0， ，2)，A(0，1，0)，C1(1，0，2)，
=(﹣1，1， )， =(0，﹣ ， )， =(1，﹣1，2)，
設(shè)平面CEF的一個法向量 =(x，y，z)，
則 ，取z=2，得 =(5，4，2)，
設(shè)直線AC1與平面CEF所成角為θ，
則sinθ=|cos< >|= = = ，
∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為 .
【點評】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
19.(12分)(2017•衡水金卷二模)根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定(試行)》(HJ633﹣2012)規(guī)定，空氣污染指數(shù)劃分為六檔，指數(shù)越大，級別越高，說明污染越嚴重，對人體健康的影響也越明顯，如表(1)所示，若表(2)、表(3)分別是石家莊市、北京市近期空氣質(zhì)量記錄.
表一：
空氣質(zhì)量指數(shù) [0，50]
[51，100]
[101，150]
[151，200]
[201，300] 300以上
空氣質(zhì)量狀況 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴重污染
(Ⅰ)根據(jù)表(2)、表(3)中的數(shù)據(jù)，通過研究1月1日至7日石家莊市、北京市近一周空氣污染指數(shù)的平均值，比較石家莊市、北京市近一周空氣污染的嚴重程度(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
(Ⅱ)將1月1日至7日分別記為x，x=1，2，3，4，5，6，7，其對應(yīng)的空氣污染指數(shù)為y，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)說明石家莊市空氣污染指數(shù)y與日期x之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱，丙說明理由
(Ⅲ)小明在北京經(jīng)營一家洗車店，經(jīng)小明統(tǒng)計，AQI指數(shù)不高于200時，洗車店平均每天虧損約200元，AQI指數(shù)在200至400時，洗車店平均每天收入約400元，AQI指數(shù)大于400時，洗車店平均每天收入約700元，求小明的洗車店在近兩周每天收入的數(shù)學(xué)期望(結(jié)構(gòu)保留整數(shù)部分)
附：相關(guān)系數(shù)r= ，r∈[0.30，0.75)時，相關(guān)性一般，r∈[0.75，1]時，相關(guān)性很強
參考數(shù)據(jù)： =28， (y1﹣ )2≈123134， (xi﹣ )(y1﹣ )= 68， ≈1857.
【考點】BK：線性回歸方程.
【分析】(Ⅰ)求出平均數(shù)，比較即可;
(Ⅱ)求出r，根據(jù)r的范圍判斷即可;
(Ⅲ)設(shè)洗車店平均每天收入為X元，則X可能的取值為﹣200，400，700分別求出P(X=﹣200)，P(X=400)，P(X=700)，求出E(X)的值即可.
【解答】解：(Ⅰ)石家莊市近一周空氣污染指數(shù)的平均值為：
≈293.43，
北京市近一周空氣污染指數(shù)的平均數(shù)為：
≈262.71，
∴石家莊市與北京市的空氣都處于重度污染，
且石家莊市比北京市的污染更嚴重;
(Ⅱ)r= ≈ ≈ ≈0.31，
∵r∈[0.30，0.75)，
∴石家莊市空氣污染指數(shù)y與日期x之間線性相關(guān)關(guān)系一般;
(Ⅲ)設(shè)洗車店平均每天收入為X元，
則X可能的取值為﹣200，400，700，
P(X=﹣200)= = ，
P(X=400)= = ，
P(X=700)= ，
則X的分布列為：
X ﹣200 400 700
P
故E(X)=﹣200× +400× +700× = ≈164(元)，
故小明的洗車店在近兩周每天收入的數(shù)學(xué)期望是164元.
【點評】本題考查了平均數(shù)問題，考查相關(guān)系數(shù)的計算以及數(shù)學(xué)期望問題，是一道中檔題.
20.(12分)(2017•衡水金卷二模)已知拋物線ω：y2=ax(a>0)上一點，P(t，2)到焦點F的距離為2t
(Ⅰ)求拋物線ω的方程
(Ⅱ)如圖已知點D的坐標為(4，0)，過拋物線ω的焦點F的直線交拋物線ω于M，N兩點，若過D和N兩點的直線交拋物線ω的準線于Q點，求證：直線MQ與x軸交于一定點.
【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì).
【分析】(Ⅰ)根據(jù)拋物線的定義，可得a=4t，將P代入拋物線方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得拋物線ω的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)直線MN的方程為x=my+1，聯(lián)立方程組，表示出直線ND的方程，與拋物線ω的準線方程構(gòu)成方程組，解得Q的坐標，求出直線MQ的斜率，得到直線MQ的方程，求出交點坐標即可.
【解答】解：(Ⅰ)由拋物線的定義可知丨PF丨=t+ =2t，則a=4t，
由點P(t，2)在拋物線上，則at=4，
∴a× =4，則a2=16，
由a>0，則a=4，
∴拋物線的方程y2=4x;
(Ⅱ)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
設(shè)直線MN的方程為x=my+1
，整理得：y2﹣4my﹣4=0，
由韋達定理可知：y1•y2=﹣4，
依題意，直線ND與x軸不垂直，∴x2=4.
∴直線ND的方程可表示為，y= (x﹣4)①
∵拋物線ω的準線方程為，x=﹣1②
由①，②聯(lián)立方程組可求得Q的坐標為(﹣1，﹣ )
∴Q的坐標可化為(﹣1， )，
∴kMQ= ，
∴直線MQ的方程為y﹣y1= (x﹣x1)，
令y=0，可得x=x1﹣ = ，
∴直線MQ與x軸交于定點( ，0).
【點評】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
21.(12分)(2017•衡水金卷二模)設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)若x1，x2(x1m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)= ﹣x12+2lnx12，令x12=t，則t>1，g(t)= ﹣t﹣2lnt，x，求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求最值，即可求實數(shù)m的取值范圍.
【解答】解：(Ⅰ)f′(x)= ，
0
a>2，令f′(x)=0，則x1= ，x2= ，
2
∴函數(shù)在(1，x1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x1，2)內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(x1)
a≥ ，x1= ，x2= ≥2，
∴函數(shù)在(1，2)內(nèi)單調(diào)遞減，∴f(x)min=f(2)=2ln2+4﹣4a=0.
∴a= ln2+1< (舍去)
綜上所述，a= ;
(Ⅱ)x1，x2是f′(x)= 在(0，+∞)內(nèi)的兩個零點，是方程x2﹣ax+1=0的兩個正根，
∴x1+x2=a>0，x1x2=1，△>0，∴a>2，∴x1>1
∴f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)= ﹣x12+2lnx12，
令x12=t，則t>1，g(t)= ﹣t﹣2lnt，
∴g′(t)=﹣ <0，
∴g(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，
∴g(t)>g(1)=0，
∴m≤0.
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確構(gòu)造函數(shù)，合理求導(dǎo)是關(guān)鍵.
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22.(10分)(2017•衡水金卷二模)已知平面直角坐標系中，曲線C1的直角坐標方程為(x+1)2+(y﹣1)2=1，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos(θ+ )=2
(Ⅰ)求曲線C1與曲線C2的參數(shù)方程
(Ⅱ)若點A，B分別在曲線C1與曲線C2上，求|AB|的最小值.
【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程.
【分析】(Ⅰ)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求曲線C1與曲線C2的參數(shù)方程
(Ⅱ)若點A，B分別在曲線C1與曲線C2上，求|AB|的最小值，即求出A到曲線C2距離的最小值.
【解答】解：(Ⅰ)曲線C1的直角坐標方程為(x+1)2+(y﹣1)2=1，參數(shù)方程為 (α為參數(shù));
曲線C2的極坐標方程為ρcos(θ+ )=2 ，直角坐標方程為x﹣y﹣4=0，參數(shù)方程為 (t為參數(shù));
(Ⅱ)設(shè)A(﹣1+cosα，1+sinα)，
A到曲線C2的距離d= = ，
∴sin(α﹣45°)=﹣1時，|AB|的最小值為3 ﹣1.
【點評】本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查點到直線距離公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.
[選修4-5;不等式選講]
23.(2017•衡水金卷二模)已知函數(shù)f(x)=|x﹣t|，t∈R
(Ⅰ)若t=1，解不等式f(x)+f(x+1)≤2
(Ⅱ)若t=2，a<0，求證：f(ax)﹣f(2a)≥af(x)
【考點】R4：絕對值三角不等式;R5：絕對值不等式的解法.
【分析】(I)由題意可得|x﹣1|+|x|≤2，對x討論，去掉絕對值，解不等式，求并集即可得到所求解集;
(II)由題意可證f(ax)﹣af(x)≥f(2a)，運用絕對值不等式的性質(zhì)，求得左邊的最小值，即可得證.
【解答】(I)解：由題意，得f(x)+f(x+1)=|x﹣1|+|x|，
因此只須解不等式|x﹣1|+|x|≤2，
當x≤0時，原不等式等價于﹣2x+1≤2，即﹣ ≤x≤0;
當0
當x>1時，原不等式等價于2x﹣1≤2，即1
綜上，原不等式的解集為{x|﹣ ≤x≤ }.
(II)證明：由題意得f(ax)﹣af(x)=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|
=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|
=|2a﹣2|=f(2a).
所以f(ax)﹣f(2a)≥af(x)成立.
【點評】本題考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查不等式的證明，注意運用絕對值不等式的性質(zhì)，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題.
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