2018屆江蘇省四市高三數(shù)學模擬試卷及答案
數(shù)學考試其實并不難，只要多做一些數(shù)學模擬試卷就可以把數(shù)學成績提上去，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2018屆江蘇省四市高三數(shù)學模擬試卷，希望能幫到你。
2018屆江蘇省四市高三數(shù)學模擬試卷題目
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
1.已知集合 ， ，則集合 中元素的個數(shù)為 ▲ .
2.設(shè) ， ( 為虛數(shù)單位)，則 的值為 ▲ .
3.在平面直角坐標系 中，雙曲線 的離心率是 ▲ .
4.現(xiàn)有三張識字卡片，分別寫有“中”、“國”、“夢”這三個字.
將這三張卡片隨機排序，則能組成“中國夢”的概率是 ▲ .
5.如圖是一個算法的流程圖，則輸出的 的值為 ▲ .
6.已知一組數(shù)據(jù) ， ， ， ， ，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ▲ .
7.已知實數(shù) ， 滿足 則 的取值范圍是 ▲ .
8.若函數(shù) 的圖象過點 ，
則函數(shù) 在 上的單調(diào)減區(qū)間是 ▲ .
9.在公比為 且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 中， 為 的前 項和.若 ，且 ，則 的值為 ▲ .
10.如圖，在正三棱柱 中，已知 ，點 在棱 上，則三棱錐 的體積為 ▲ .
11.如圖，已知正方形 的邊長為 ， 平行于 軸，頂點 ， 和 分別在函數(shù) ， 和 ( )的圖象上，則實數(shù) 的值為 ▲ .
12.已知對于任意的 ，都有 ，則實數(shù) 的取值范圍是 ▲ .
13.在平面直角坐標系 中，圓 .若圓 存在以 為中點的弦 ，且 ，則實數(shù) 的取值范圍是 ▲ .
14.已知 三個內(nèi)角 ， ， 的對應(yīng)邊分別為 ， ， ，且 ， .當 取得最大值時， 的值為 ▲ .
二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟.
15.(本小題滿分14分)
如圖，在 中，已知點 在邊 上， ， ， ， .
(1)求 的值;
(2)求 的長.
16.(本小題滿分14分)
如圖，在四棱錐 中，底面 是矩形，點 在棱 上(異于點 ， )，平面 與棱 交于點 .
(1)求證： ;
(2)若平面 平面 ，求證： .
17.(本小題滿分14分)
如圖，在平面直角坐標系 中，已知橢圓 的左、右頂點分別為 ， ，過右焦點 的直線 與橢圓 交于 ， 兩點(點 在 軸上方).
(1)若 ，求直線 的方程;
(2)設(shè)直線 ， 的斜率分別為 ， .是否存在常數(shù) ，使得 ?若存在，求出 的值;若不存在，請說明理由.
18.(本小題滿分16分)
某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設(shè)計如圖所示.圓 的圓心與矩形 對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切( 為上切點)，與左右兩邊相交( ， 為其中兩個交點)，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1m，且 .設(shè) ，透光區(qū)域的面積為 .
(1)求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域;
(2)根據(jù)設(shè)計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值
越大越好.當該比值最大時，求邊 的長度.
19.(本小題滿分16分)
已知兩個無窮數(shù)列 和 的前 項和分別為 ， ， ， ，對任意的 ，都有 .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)若 為等差數(shù)列，對任意的 ，都有 .證明： ;
(3)若 為等比數(shù)列， ， ，求滿足 的 值.
20.(本小題滿分16分)
已知函數(shù) ， .
(1)當 時，求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù) ， .若函數(shù) 的最小值是 ，
求 的值;
(3)若函數(shù) ， 的定義域都是 ，對于函數(shù) 的圖象上的任意一點 ，在函數(shù) 的圖象上都存在一點 ，使得 ，其中 是自然對數(shù)的底數(shù)， 為坐標原點.求 的取值范圍.
宿遷市高三年級第三次模擬考試
數(shù)學Ⅱ(附加題)
21.[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.[選修41：幾何證明選講](本小題滿分10分)
如圖，圓 的弦 ， 交于點 ，且 為弧 的中點，點 在弧 上.若 ，求 的度數(shù).
B.[選修42：矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知矩陣 ，若 ，求矩陣 的特征值.
C.[選修44：坐標系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
在極坐標系中，已知點 ，點 在直線 上.當線段 最短時，求點 的極坐標.
D.[選修45：不等式選講](本小題滿分10分)
已知 ， ， 為正實數(shù)，且 .求證： .
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22.(本小題滿分10分)
在平面直角坐標系 中，點 ，直線 與動直線 的交點為 ，線段 的中垂線與動直線 的交點為 .
(1)求動點 的軌跡 的方程;
(2)過動點 作曲線 的兩條切線，切點分別為 ， ，求證： 的大小為定值.
23.(本小題滿分10分)
已知集合 ，對于集合 的兩個非空子集 ， ，若 ，則稱 為集合 的一組“互斥子集”.記集合 的所有“互斥子集”的組數(shù)為 (視 與 為同一組“互斥子集”).
(1)寫出 ， ， 的.值;
2018屆江蘇省四市高三數(shù)學模擬試卷答案
一、填空題
1. 2.1 3. 4. 5. 6. (或 )
7. (或 ) 8. (或 ) 9. 10.
11. 12. (或 ) 13. (或 ) 14.
注意：填空題第6、7、8、12、13均提供兩種書寫方法，都算正確，不要扣分。其他寫法均判為0分。
二、解答題
15.(1)在 中， ， ，
所以 .……………………………………2分
同理可得， . …………………………………………………4分
所以
………………………………6分
.……………………………………………8分
(2)在 中，由正弦定理得， .……10分
又 ，所以 . ………………………………………12分
在 中，由余弦定理得，
. ………………………………14分
注意：第15(1)題時，嚴格按照邏輯段給分，譬如
要先代入公式，再代入數(shù)字運算，不寫公式扣1分。15(2)要先把正弦定理和余弦定理公式寫出來，再代入數(shù)字運算，不寫公式扣1分。
16.(1)因為 是矩形，所以 .…………………………………………2分
又因為 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .…………………………………………………………4分
又因為 平面 ，平面 平面 ，
所以 .…………………………………………………………………6分
(2)因為 是矩形，所以 . ………………………………………8分
又因為平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 . …………………………………10分
又 平面 ，所以 . ………………………………………12分
又由(1)知 ，所以 . ……………………………………14分
注意：16(1)嚴格按照邏輯段給分，使用線面平行判定定理與性質(zhì)定理時，缺少任何一個條件，該邏輯段分數(shù)全部扣除。16(2)使用面面垂直性質(zhì)定理時，缺少任何一個條件，該邏輯段分數(shù)全部扣除;證明線線垂直時，只能使用“在兩條平行線中，一條垂直于已知直線，則另一條也垂直于該直線”，使用其他方法，該邏輯段分數(shù)均扣除。這道題考查知識點較為冷門，絕不要姑息遷就，給學生提個醒。
17.(1)因為 ， ，所以 ，所以 的坐標為 ，……1分
設(shè) ， ，直線 的方程為 ，
代入橢圓方程，得 ，
則 ， . …………………………4分
若 ，則 ，
解得 ，故直線 的方程為 .……………………6分
(2)由(1)知， ， ，
所以 ，…………………………………………8分
所以 ………………………………………12分
，
故存在常數(shù) ，使得 .…………………………………………14分
注意：第17(1)中設(shè)直線 的方程為 ，利用 ，技巧性較高，常規(guī)的設(shè)法，要對照給分。第17(2)中，沒有利用 ，直接代入 ，運算結(jié)果正確也可以。
18.(1)過點 作 于點 ，則 ，
所以 ，
.……………………………2分
所以
，………………………………6分
因為 ，所以 ，所以定義域為 .……………………8分
(2)矩形窗面的面積為 .
則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為 .…10分
設(shè) ， .
則
，………………………………………………12分
因為 ，所以 ，所以 ，故 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)減.
所以當 時， 有最大值 ，此時 (m). …14分
答：(1) 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為 ，定義域為 ;
(2)透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時， 的長度為1m.………16分
注意：18(1)中，沒有求出定義域為 ，或者求解錯誤，扣2分。18題兩個小題中，沒有明確給出答案，各扣1分。
19.(1)由 ，得 ，
即 ，所以 . ……………………………2分
由 ， ，可知 .
所以數(shù)列 是以 為首項， 為公差的等差數(shù)列.
故 的通項公式為 .………………………………………………4分
(2)證法一：設(shè)數(shù)列 的公差為 ，則 ，
由(1)知， .
因為 ，所以 ，即 恒成立，
所以 即 …………………………………………………6分
又由 ，得 ，
所以
.
所以 ，得證. …………………………………………………………8分
證法二：設(shè) 的公差為 ，假設(shè)存在自然數(shù) ，使得 ，
則 ，即 ，
因為 ，所以 .……………………………………………………6分
所以 ，
因為 ，所以存在 ，當 時， 恒成立.
這與“對任意的 ，都有 ”矛盾!
所以 ，得證. …………………………………………………………8分
(3)由(1)知， .因為 為等比數(shù)列，且 ， ，
所以 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列.
所以 ， .…………………………………………………10分
則 ，
因為 ，所以 ，所以 .…………………12分
而 ，所以 ，即 (*).
當 ， 時，(*)式成立;………………………………………………14分
當 時，設(shè) ，
則 ，
所以 .
故滿足條件的 的值為 和 .………………………………………………16分
20.(1)當 時， ， .……………………2分
因為 在 上單調(diào)增，且 ，
所以當 時， ;當 時， .
所以函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是 .……………………………………4分
(2) ，則 ，令 得 ，
當 時， ，函數(shù) 在 上單調(diào)減;
當 時， ，函數(shù) 在 上單調(diào)增.
所以 .………………………………………6分
�、佼� ，即 時，
函數(shù) 的最小值 ，
即 ，解得 或 (舍)，所以 ;………8分
�、诋� ，即 時，
函數(shù) 的最小值 ，解得 (舍).
綜上所述， 的值為 .………………………………………………………10分
(3)由題意知， ， .
考慮函數(shù) ，因為 在 上恒成立，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)增，故 .…………………12分
所以 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
設(shè) ，則 在 上恒成立，
所以 在 上單調(diào)減，所以 . …………………………14分
設(shè) ，
則 在 上恒成立，
所以 在 上單調(diào)增，所以 .
綜上所述， 的取值范圍為 . ………………………………………16分
注意：20(3)解法較多，各種方法按照3個得分點，每個2分，對應(yīng)給分。
宿遷市2017屆高三第三次調(diào)研測試
數(shù)學(附加題)參考答案與評分標準
21.A.連結(jié) ， .
因為 為弧 的中點，所以 .
而 ，
所以 ，
即 . ………………………5分
又因為 ，
所以 ，
故 .……………………………10分
B.因為 ，
所以 解得 所以 .……………………………5分
所以矩陣 的特征多項式為 ，
令 ，解得矩陣 的特征值為 ， .………………………10分
C.以極點為原點，極軸為 軸正半軸，建立平面直角坐標系，
則點 的直角坐標為 ，直線 的直角坐標方程為 .…………4分
最短時，點 為直線 與直線 的交點，
解 得 所以點 的直角坐標為 .……………………8分
所以點 的極坐標為 .……………………………………………………10分
D.因為 ，所以 ，…………………………5分
所以 ，
當且僅當 時，取“ ”.……………………………………………10分
22.(1)因為直線 與 垂直，所以 為點 到直線 的距離.
連結(jié) ，因為 為線段 的中垂線與直線 的交點，所以 .
所以點 的軌跡是拋物線.……………………………………………………2分
焦點為 ，準線為 .
所以曲線 的方程為 . ………………………………………………5分
(2)由題意，過點 的切線斜率存在，設(shè)切線方程為 ，
聯(lián)立 得 ，
所以 ，即 (*)，……………………8分
因為 ，所以方程(*)存在兩個不等實根，設(shè)為 ，
因為 ，所以 ，為定值. ……………………………10分
23.(1) ， ，…………………………………………………………2分
. ……………………………………………………………………4分
(2)解法一：設(shè)集合 中有k個元素， .
則與集合 互斥的非空子集有 個.…………………………………6分
于是 .…………………8分
因為 ，
，
所以 .………………10分
解法二：任意一個元素只能在集合 ， ， 之一中，
則這 個元素在集合 ， ， 中，共有 種;…………………………6分
其中 為空集的種數(shù)為 ， 為空集的種數(shù)為 ，
所以 ， 均為非空子集的種數(shù)為 ，………………………8分
又 與 為同一組“互斥子集”，
所以 .………………………………………………10分
注意：23(1) ， ，每個1分; ，給2分，均不需要寫出過程。
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