考研數(shù)學(xué)極限七種運(yùn)算方法及適用情況
在日常生活或是工作，學(xué)習(xí)中，大家一定都或多或少地接觸過(guò)一些數(shù)學(xué)知識(shí)，下面是小編為大家收集的有關(guān)考研數(shù)學(xué)極限七種運(yùn)算方法及適用情況相關(guān)內(nèi)容，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
基礎(chǔ)階段，我們的目標(biāo)是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基礎(chǔ)階段學(xué)習(xí)極限應(yīng)從兩個(gè)方面著手，一是極限的定義，二是極限的運(yùn)算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解，理解的意思并不是會(huì)背誦定義內(nèi)容，而是能夠領(lǐng)會(huì)定義內(nèi)容背后的所蘊(yùn)含的含義，正確理解所代表的任意小以及代表的距離。
除定義本身以外，極限的趨近狀態(tài)也要注意區(qū)分，對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)有六種趨近狀態(tài)：各自的含義要非常清楚，而數(shù)列只有一種趨近狀態(tài)，雖然沒(méi)有指明，但是數(shù)列里邊的隱含之意為。
極限的計(jì)算則需要首先掌握考研數(shù)學(xué)要考到的七種基本方法，知道七種方法適用的情況。
第一種是四則運(yùn)算，此方法大家最為熟悉，但比較容易出錯(cuò)，需要注意使用四則運(yùn)算的前提是進(jìn)行運(yùn)算的函數(shù)極限必須都是存在的;
第二種是等價(jià)無(wú)窮小替換，這一方法比較受歡迎，而且很多極限計(jì)算的問(wèn)題只需經(jīng)過(guò)等價(jià)無(wú)窮小代換就能得出結(jié)果，不需再使用其他方法，需要注意的是等價(jià)無(wú)窮小代換前提必須首先是無(wú)窮小才可代換，另外只能在乘積因子內(nèi)代換(有些是可以在加減因子中代換的，但是在沒(méi)有十足把握的情況下應(yīng)避免使用在加減因子中代換);
第三種是洛必達(dá)法則，適用于及型未定式，在使用的過(guò)程中需要注意一下幾點(diǎn)：
1、洛必達(dá)法則必須結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他類(lèi)型未定式需要轉(zhuǎn)化成及型才可以使用洛必達(dá)法則等;
第四種是泰勒展式，這是解決極限問(wèn)題的利器，在基礎(chǔ)階段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的內(nèi)容即可，具體使用原則會(huì)在強(qiáng)化階段給出;
第五種是夾逼定理，主要用于解決含有不等式關(guān)系的極限問(wèn)題，特別應(yīng)用于個(gè)分式之和的數(shù)列極限問(wèn)題，通過(guò)放縮分母來(lái)達(dá)到出現(xiàn)不等關(guān)系的目的;
第六種是定積分的定義，與夾逼定理相區(qū)別，夾逼定理解決的問(wèn)題放縮分母后分子可用一個(gè)式子去表示，而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問(wèn)題，通過(guò)主要的三步：
1、提取
2、湊出
3、極限符號(hào)及連加符號(hào)改寫(xiě)為，改寫(xiě)為，改寫(xiě)為計(jì)算定積分即可解決個(gè)分式之和的數(shù)列極限問(wèn)題;
第七種方法是適用于數(shù)列極限的單調(diào)有界性定理，難點(diǎn)在于如何確定證明方向，一般單調(diào)有界性定理適用于由遞推公式給出的數(shù)列極限問(wèn)題，因此可采取數(shù)學(xué)歸納法證明有界性，做差的辦法證明單調(diào)性。
以上，從大的框架結(jié)構(gòu)上給出了極限一章極限定義和極限計(jì)算的常用方法，希望同學(xué)們對(duì)這一章有一個(gè)宏觀的把握，但是具體的細(xì)節(jié)掌握還要待進(jìn)一步細(xì)致的學(xué)習(xí)。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要多留心多總結(jié)把重要的方法記錄下來(lái)，錯(cuò)題記錄下來(lái)方便后續(xù)的自我檢查。
拓展閱讀：
考研數(shù)學(xué)的極限計(jì)算的答題技巧
極限的計(jì)算可以說(shuō)是考研數(shù)學(xué)中一個(gè)必出的考點(diǎn)，它以怎樣的形式出現(xiàn)還會(huì)是很多研友們的困擾。
極限是考研數(shù)學(xué)每年必考的內(nèi)容，在客觀題和主觀題中都有可能會(huì)涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實(shí)上，由于這一部分內(nèi)容的.基礎(chǔ)性，每年間接考查或與其他章節(jié)結(jié)合出題的比重也很大。極限的計(jì)算是核心考點(diǎn)，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵。
常見(jiàn)題型
極限無(wú)外乎出這三個(gè)題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵，極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個(gè)不存在就無(wú)法進(jìn)行運(yùn)算。以下我們就極限的內(nèi)容簡(jiǎn)單總結(jié)下。
常用計(jì)算方法
極限的計(jì)算常用方法：四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、兩個(gè)重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。
四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、兩個(gè)重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度；在強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段考生會(huì)遇到一些較為復(fù)雜的極限計(jì)算，此時(shí)運(yùn)用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來(lái)求極限會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算，熟記一些常見(jiàn)的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效；夾逼定理、利用定積分定義常常用來(lái)計(jì)算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計(jì)算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計(jì)算；單調(diào)有界收斂定理可用來(lái)證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。
與極限計(jì)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)
1、連續(xù)、間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類(lèi)：判斷間斷點(diǎn)類(lèi)型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限；
2、漸近線，(垂直、水平或斜漸近線)；
3、多元函數(shù)積分學(xué)，二重極限的討論計(jì)算難度較大，�？疾樽C明極限不存在。
數(shù)列極限的典型方法
下面我們重點(diǎn)講一下數(shù)列極限的典型方法。求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式。
1、抽象數(shù)列求極限
這類(lèi)題一般以選擇題的形式出現(xiàn)，因此可以通過(guò)舉反例來(lái)排除。此外，也可以按照定義、基本性質(zhì)及運(yùn)算法則直接驗(yàn)證。
2、求具體數(shù)列的極限，可以參考以下幾種方法：
a.利用單調(diào)有界必收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限
首先，用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性，進(jìn)而確定極限存在性；其次，通過(guò)遞推關(guān)系中取極限，解方程，從而得到數(shù)列的極限值。
b.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限
如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，形如，則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限，此時(shí)再用洛必達(dá)法則求解。
3、求N項(xiàng)和或項(xiàng)積數(shù)列的極限，主要有以下幾種方法：
a.利用特殊級(jí)數(shù)求和法
如果所求的項(xiàng)和式極限中通項(xiàng)可以通過(guò)錯(cuò)位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式，那么通過(guò)整理可以直接得出極限結(jié)果。
b.利用冪級(jí)數(shù)求和法
若可以找到這個(gè)級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，則可以利用冪級(jí)數(shù)函數(shù)的方法把它所對(duì)應(yīng)的和函數(shù)求出，再根據(jù)這個(gè)極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值。
c.利用定積分定義求極限
若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子，剩余的項(xiàng)可用一個(gè)通項(xiàng)表示，則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。
d.利用夾逼定理求極限
若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子，剩余的項(xiàng)不能用一個(gè)通項(xiàng)表示，但是其余項(xiàng)是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。
e.求N項(xiàng)數(shù)列的積的極限
一般先取對(duì)數(shù)化為項(xiàng)和的形式，然后利用求解項(xiàng)和數(shù)列極限的方法進(jìn)行計(jì)算。
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