最簡分?jǐn)?shù)奧數(shù)競賽題

　　1、最簡分?jǐn)?shù)奧數(shù)競賽題：從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數(shù)(至少選一個，不能不選)，使它們的和為4的倍數(shù)，一共有幾種方法?

　　2、一個回文數(shù)是指從首位數(shù)讀到末位數(shù)，與從末位數(shù)讀到首位數(shù)都相同的數(shù)(例如：11511，22222，10001)。請問可被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個數(shù)與全部五位數(shù)的回文數(shù)的個數(shù)之比是多少?答案請用最簡分?jǐn)?shù)表示。

　　1.從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數(shù)(至少選一個，不能不選)，使它們的.和為4的倍數(shù)，一共有幾種方法?

　　解答：先從3,4,5,6,7,8中隨便選幾個(可以不選)。之后根據(jù)在3,4,5,6,7,8中選出數(shù)的和除以4的余數(shù)來決定選不選1,2，方法如下：若那個和除以4余1則1,2都選;余2則選2不選1;余3則選1不選2;余0則都不選。這樣總共有2的6次方共64種方法，但是其中有一種一個數(shù)都不選的方法，需要去掉，故滿足條件的選法有63種。

　　2.一個回文數(shù)是指從首位數(shù)讀到末位數(shù)，與從末位數(shù)讀到首位數(shù)都相同的數(shù)(例如：11511，22222，10001)。請問可被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個數(shù)與全部五位數(shù)的回文數(shù)的個數(shù)之比是多少?答案請用最簡分?jǐn)?shù)表示。

　　解答：五位回文數(shù)的一般形式為ABCDE，所以五位回文數(shù)共有9×10×10=900個。若五位回文數(shù)能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數(shù)，即2a+c-2b=11，2a+c-2b=22，2b-(2a+c)=11或2b=2a+c。

　　若2a+c-2b=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時，a-b=5，b=0，1，2，3，4;當(dāng)c=3時，a-b=4，b=0，1，2，3，4，5;當(dāng)c=5時，a-b=3，b=0，1，2，3，4，5，6;當(dāng)c=7時，a-b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7;當(dāng)c=9時，a-b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8。共35個數(shù)。

　　若2a+c-2b=22，則c為偶數(shù)，且不小于4，當(dāng)c=4時，a-b=9，b=0;當(dāng)c=6時，a-b=8，b=0，1;當(dāng)c=8時，a-b=7，b=0，1，2。共6個數(shù)。

　　若2b-(2a+c)=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時，b-a=6，a=1，2，3;當(dāng)c=3時，b-a=7，a=1，2;當(dāng)c=5時，b-a=8，a=1;c=7或9時，a和b無法同時為1位數(shù)，所以共有6個數(shù)。

　　若2b=2a+c，則c為偶數(shù)，當(dāng)c=0時，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9;當(dāng)c=2時，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8;當(dāng)c=4時，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7;當(dāng)c=6時，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6;當(dāng)c=8時，b=a+4，a=1，2，3，4，5。共35個數(shù)。

　　所以能被11整除的五位回文數(shù)有35+6+6+35=82個，與全部五位回文數(shù)的個數(shù)之比為41/450

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