高二數(shù)學(xué)《綜合法和分析法》教學(xué)設(shè)計(jì)
學(xué)生探究過(guò)程：
證明的方法
（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。
（2）、例1．設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．
證明：(用分析法思路書寫)
要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a +b＞0)
只需證a2-2ab+b2＞0成立，
即需證(a-b)2 ＞0成立。
而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此 命題得證。
(以下用綜合法思路書寫)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由 題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證
例2、若實(shí)數(shù) ，求證：
證明：采用差值比較法：
例3、已知 求證
本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。
證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于 對(duì)稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。
2）商值比較法：設(shè)故原不等式得證。
注：比較法是證明不等 式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。
討論：若題設(shè)中去掉 這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？
2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用教案三（新人教A版選修2-3）
2．2．2事的相互獨(dú)立性
目標(biāo)：
知識(shí)與技能：理解兩個(gè)事相互獨(dú)立的概念。
過(guò)程與方法：能進(jìn)行一些與事 獨(dú)立有關(guān)的概率的計(jì)算。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
重點(diǎn)：獨(dú)立事 同時(shí)發(fā)生的概率
教學(xué)難點(diǎn)：有關(guān)獨(dú)立事發(fā)生的概率計(jì)算
授類型：新授
時(shí)安排：2時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1 事的定義：隨機(jī)事：在一定條下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事；
必然事：在一定條下必然發(fā)生的事；
不可能事：在 一定條下不可能發(fā)生的事
2．隨機(jī)事的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事 發(fā)生的頻率 總是接近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事 的概率，記作 ．
3.概率的確定方法：通過(guò)進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，用這個(gè)事發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；
4．概率的性質(zhì)：必然事的概率為 ，不可能事的概率為 ，隨機(jī)事的概率為 ，必然事和不可能事看作隨機(jī)事的兩個(gè)極端情形
5 基本事：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果（事 ）稱為一個(gè)基本事
6．等可能性事：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有 個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個(gè)基本事的概率都是 ，這種 事叫等可能性事
7．等可能性事的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有 個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事 包含 個(gè)結(jié)果，那么事 的概率
8．等可能性事的概率公式及一般求解方法
9.事的和的意義:對(duì)于事A和事B是可以進(jìn)行加法運(yùn)算的
10 互斥事:不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事．
一般地：如果事 中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說(shuō)事 彼此互斥
11．對(duì)立事:必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事．
12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥，那么
探究:
(1)甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？
事 ：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事 ：乙擲一枚硬幣，正面朝上
(2)甲壇子里有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙壇子里有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球的概率是多少？
事 ：從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球；事 ：從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球
問(wèn)題(1)、(2)中事 、 是否互斥？（不互斥）可以同時(shí)發(fā)生嗎？（可以）
問(wèn)題(1)、(2)中事 （或 ）是否發(fā)生對(duì)事 （或 ）發(fā)生的概率有無(wú)影響？（無(wú)影響）
思考:三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取,事A為“第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”, 事B為“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”. 事A的發(fā)生會(huì)影響事B 發(fā)生的概率嗎?
顯然，有放回地抽取獎(jiǎng)券時(shí)，最后一名同學(xué)也是從原的.三張獎(jiǎng)券中任抽一張，因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對(duì)最后一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果沒(méi)有影響，即事A的發(fā)生不會(huì)影響事B 發(fā)生的概率．于是
P（B A）=P(B）,
P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B).
二、講解新：
1．相互獨(dú)立事的定義：
設(shè)A, B為兩個(gè)事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事A與事B相互獨(dú)立（mutually independent ) .
事 （或 ）是否發(fā)生對(duì)事 （或 ）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事叫做相互獨(dú)立事
若 與 是相互獨(dú)立事，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨(dú)立
2．相互獨(dú)立事同時(shí)發(fā)生的概率：
問(wèn)題2中，“從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球”是一個(gè)事，它的發(fā)生，就是事 ， 同時(shí)發(fā)生，記作 ．（簡(jiǎn)稱積事）
從甲壇子里摸出1個(gè)球，有5種等可能的結(jié)果；從乙壇子里摸出1個(gè)球，有4種等可能的結(jié)果 于是從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，共有 種等可能的結(jié)果 同時(shí) 摸出白球的結(jié)果有 種 所以從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球的概率 ．
另一方面，從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率 ，從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率。
這就是說(shuō)，兩個(gè)相互獨(dú)立事同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事發(fā)生的概率的積 一般地，如果事 相互獨(dú)立，那么這 個(gè)事同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事發(fā)生的概率的積，即
3．對(duì)于事A與B及它們的和事與積事有下面的關(guān)系：
三、講解范例：
例 1.某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購(gòu)買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券．獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)．如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事的概率：
(1)都抽到某一指定號(hào)碼；
(2)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼；
(3)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼。
解： (1)記“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事A, “第二次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事B ，則“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼”就是事AB．由于兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，因此A與B相互獨(dú)立．于是由獨(dú)立性可得，兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率：
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（A ）U（ B）表示．由于事A 與 B互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事的定義，所求的概率為：
P (A ）十P（ B）=P（A）P（ ）+ P（ ）P（B )
= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由于事 AB , A 和 B 兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事的定義，所求的概率為 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5。
例2.甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊 次，甲射中的概率為 ，乙射中的概 率為 ，求：
（1） 人都射中目標(biāo)的概率；
�。�2） 人中恰有 人射中目標(biāo)的概率；
�。�3） 人至少有 人射中目標(biāo)的概率；
�。�4） 人至多有 人射中目標(biāo)的概率？
解：記“甲射擊 次，擊中目標(biāo)”為事 ，“乙射擊 次，擊中目標(biāo)”為事 ，則 與 ， 與 ， 與 ， 與 為相互獨(dú)立事，
�。�1） 人都射中的概率為：
∴ 人都射中目標(biāo)的概率是 ．
（2）“ 人各射擊 次，恰有 人射中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事 發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事 發(fā)生） 根據(jù)題意，事 與 互斥，根據(jù)互斥事的概率加法公式和相互獨(dú)立事的概率乘法公式，所求的概率為：
∴ 人中恰有 人射中目標(biāo)的概率是 ．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為 ．
�。ǚ�2）：“2人至少有一個(gè)擊中”與“2人都未擊中”為對(duì)立事，
2個(gè)都未擊中目標(biāo)的概率是 ，
∴“兩人至少有1人擊中目標(biāo)”的概率為 ．
（4）（法1）：“至多有1人擊中目標(biāo)”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”，
故所求概率為：
�。ǚ�2）：“至多有1人擊中目標(biāo)”的對(duì)立事是“2人都擊中目標(biāo)”，
故所求概率為
例 3.在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān)，只要其中有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作 假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率
解：分別記這段時(shí)間內(nèi)開關(guān) ， ， 能夠閉合為事 ， ， ．
由題意，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒(méi)有影響 根據(jù)相互獨(dú)立事的概率乘法公式，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)都不能閉合的概率是
∴這段時(shí)間內(nèi)至少有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是
答：在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率是 ．
變式題1：如圖添加第四個(gè)開關(guān) 與其它三個(gè)開關(guān)串聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率
變式題2：如圖兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)再與第三個(gè)開關(guān)并聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率
方法一：
方法二：分析要使這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作只要排除 開且 與 至少有1個(gè)開的情況
例 4.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2．
�。�1）假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后未被擊中的概率；
�。�2）要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？
分析:因?yàn)閿硻C(jī)被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機(jī)，故敵機(jī)被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機(jī)的概率
解:（1）設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事為 (k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事為
∵事 ， ， ， ， 相互獨(dú)立，
∴敵機(jī)未被擊中的概率為
∴敵機(jī)未被擊中的概率為 ．
�。�2）至少需要布置 門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿（1）可得：
敵機(jī)被擊中的概率為1-
∴令 ，∴
兩邊取常用對(duì)數(shù)，得
∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī)
點(diǎn)評(píng)：上面例1和例2的解法，都是解應(yīng)用題的逆向思考方法 采用這種方法在解決帶有詞語(yǔ)“至多”、“至少”的問(wèn)題時(shí)的運(yùn)用，常常能使問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)便
四、堂練習(xí)：
1．在一段時(shí)間內(nèi)，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么在這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去此地的概率是( )
2．從甲口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是 ，從乙口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率 是 ，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，那么 等于（ ）
2個(gè)球都是白球的概率 2個(gè)球都不是白球的概率
2個(gè)球不都是白球的概率 2個(gè)球中恰好有1個(gè)是白球的概率
3．電燈泡使用時(shí)間在1000小時(shí)以上概率為0.2，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后壞了1個(gè)的概率是（ ）
0.128 0.096 0.104 0.384
4．某道路的 、 、 三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45 秒，某輛車在這條路上行駛時(shí)，三處都不停車的概率是 （ ）
5．（1）將一個(gè)硬幣連擲5次，5次都出現(xiàn)正面的概率是 ；
�。�2）甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果它們預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別是0.8與0.7，那么在一次預(yù)報(bào)中兩個(gè)氣象臺(tái)都預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是 ．
6．棉籽的發(fā)芽率為0.9，發(fā)育為壯苗的概率為0.6，
�。�1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為 ；此穴無(wú)壯苗的概率為 ．
�。�2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為 ；此穴有壯苗的概率為 ．
7．一個(gè)工人負(fù)責(zé)看管4臺(tái)機(jī)床，如果在1小時(shí)內(nèi)這些機(jī)床不需要人去照顧的概率第1臺(tái)是0.79，第2臺(tái)是0 .79，第3臺(tái)是0.80，第4臺(tái)是0.81，且各臺(tái)機(jī)床是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響，計(jì)算在這個(gè)小時(shí)內(nèi)這4臺(tái)機(jī)床都不需要人去照顧的概率.
8．制造一種零，甲機(jī)床的廢品率是0.04，乙機(jī)床的廢品率是0.05．從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1，其中恰有 1廢品的概率是多少？
9 ．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中任取一個(gè)球，問(wèn)取得的球是同色的概率是多少？
答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)
6.(1) , (2) ,
7. P=
8. P=
9. 提示：
五、小結(jié) ：兩個(gè)事相互獨(dú)立，是指它們其中一個(gè)事的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事發(fā)生的概率沒(méi)有影響 一般地，兩個(gè)事不可能即互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐率遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的，而相互獨(dú)立事是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的 相互獨(dú)立事同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事發(fā)生的概率的積,這一點(diǎn)與互斥事的概率和也是不同的
六、后作業(yè)：本58頁(yè)練習(xí)1、2、3 第60頁(yè) 習(xí)題 2. 2A組4. B組1
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、教學(xué)反思：
1. 理解兩個(gè)事相互獨(dú)立的概念。
2. 能進(jìn)行一些與事獨(dú)立有關(guān)的概率的計(jì)算。
3. 通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
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