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高一數(shù)學(xué)函數(shù)的知識點整合

時間:2021-07-22 18:02:04 數(shù)學(xué) 我要投稿

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的知識點整合

  定義域

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的知識點整合

 �。ǜ咧泻瘮�(shù)定義)設(shè)A,B是兩個非空的數(shù)集,如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x屬于集合A。其中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;

  值域

  名稱定義

  函數(shù)中,應(yīng)變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合

  常用的求值域的方法

 �。�1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合),

  (3)函數(shù)單調(diào)性法,

 �。�4)配方法,(5)換元法,(6)反函數(shù)法(逆求法),(7)判別式法,(8)復(fù)合函數(shù)法,(9)三角代換法,(10)基本不等式法等

  關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

  定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件”。平時數(shù)學(xué)中,實行“定義域優(yōu)先”的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手“硬”一手“軟”,使學(xué)生對函數(shù)的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)模^不能厚此薄皮,何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。如果函數(shù)的值域是無限集的話,那么求函數(shù)值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質(zhì)有時并不能奏效,還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的`問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利于對定義域內(nèi)函的理解,從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。

  “范圍”與“值域”相同嗎?

  “范圍”與“值域”是我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個概念,許多同學(xué)常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念�!爸涤颉笔撬泻瘮�(shù)值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值),而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說:“值域”是一個“范圍”,而“范圍”卻不一定是“值域”。

  冪函數(shù)

  掌握冪函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)是學(xué)好冪函數(shù)的關(guān)鍵所在,下面是高中頻道為大家整理的冪函數(shù)公式大全,希望對廣大朋友有所幫助。

  定義:

  形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

  定義域和值域:

  當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的值域的不同情況如下:在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域

  性質(zhì):

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x0,則a可以是任意實數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x0和x0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);

  排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

  總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:

  如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);

  如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

  在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

  在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

  而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域。

  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

  可以看到:

  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

  (2)當(dāng)a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

  (3)當(dāng)a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。

  (4)當(dāng)a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

  (5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。

  (6)顯然冪函數(shù)無界。

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  定義域

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的知識點整合

 �。ǜ咧泻瘮�(shù)定義)設(shè)A,B是兩個非空的數(shù)集,如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x屬于集合A。其中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;

  值域

  名稱定義

  函數(shù)中,應(yīng)變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合

  常用的求值域的方法

 �。�1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合),

  (3)函數(shù)單調(diào)性法,

 �。�4)配方法,(5)換元法,(6)反函數(shù)法(逆求法),(7)判別式法,(8)復(fù)合函數(shù)法,(9)三角代換法,(10)基本不等式法等

  關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

  定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件”。平時數(shù)學(xué)中,實行“定義域優(yōu)先”的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手“硬”一手“軟”,使學(xué)生對函數(shù)的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)模^不能厚此薄皮,何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。如果函數(shù)的值域是無限集的話,那么求函數(shù)值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質(zhì)有時并不能奏效,還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的`問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利于對定義域內(nèi)函的理解,從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。

  “范圍”與“值域”相同嗎?

  “范圍”與“值域”是我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個概念,許多同學(xué)常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念�!爸涤颉笔撬泻瘮�(shù)值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值),而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說:“值域”是一個“范圍”,而“范圍”卻不一定是“值域”。

  冪函數(shù)

  掌握冪函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)是學(xué)好冪函數(shù)的關(guān)鍵所在,下面是高中頻道為大家整理的冪函數(shù)公式大全,希望對廣大朋友有所幫助。

  定義:

  形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

  定義域和值域:

  當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的值域的不同情況如下:在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域

  性質(zhì):

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x0,則a可以是任意實數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x0和x0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);

  排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

  總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:

  如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);

  如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

  在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

  在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

  而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域。

  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

  可以看到:

  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

  (2)當(dāng)a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

  (3)當(dāng)a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。

  (4)當(dāng)a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

  (5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。

  (6)顯然冪函數(shù)無界。