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因式分解的十二種方法
學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)因式分解方程首要培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，并培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣；其次是多做題，熟練掌握；最后就是掌握好因式分解方程的常用方算法，與做題相結(jié)合，能夠讓自己更好的理解這些方算法。接下來小編為你帶來因式分解方程的十二種方算法，希望對你有幫助。
因式分解方程是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。接下來的內(nèi)容是初二數(shù)學(xué)知識點之因式分解方程。
因式分解方程
定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解方程(也叫作分解因式)。
分解因式與整式乘法為相反變形。
同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟
1、因式分解方程與解高次方程有密切的關(guān)系。對于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數(shù)學(xué)上可以證明，對于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過于復(fù)雜，在非專業(yè)領(lǐng)域沒有介紹。對于分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較復(fù)雜。對于五次以上的一般多項式，已經(jīng)證明不能找到固定的因式分解方程法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。
2 、所有的三次和三次以上多項式都可以因式分解方程。這看起來或許有點不可思議。比如X^4+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解方程。但是它的次數(shù)高于3，所以一定可以因式分解方程。如果有興趣，你也可以用待定系數(shù)法將其分解，只是分解出來的式子并不整潔。
3 、因式分解方程雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解方程很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉(zhuǎn)相除法來求得。標(biāo)準(zhǔn)的輾轉(zhuǎn)相除技能對于中學(xué)生來說難度頗高，但是中學(xué)有時候要處理的多項式次數(shù)并不太高，所以反復(fù)利用多項式的除法也可以比較笨，但是有效地解決找公因式的問題。
方法 因式分解方程沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，除法等。
注意三原則
1.分解要徹底(是否有公因式，是否可用公式)
2.最后結(jié)果只有小括號
3.最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))
4.最后結(jié)果每一項都為最簡因式
歸納方法：
1.提公因式法。
2.公式法。
3.分組分解法。
4.湊數(shù)法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]
5.組合分解法。
6.十字相乘法。
7.雙十字相乘法。
8.配方法。
9.拆項補項法。
10.換元法。
11.長除法。
12.求根法。
13.圖象法。
14.主元法。
15.待定系數(shù)法。
16.特殊值法。
17.因式定理法。
溫馨提示：在高等數(shù)學(xué)上因式分解方程有一些重要結(jié)論，在初等數(shù)學(xué)層面上證明很困難，但是理解很容易。
初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系
下面是對平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們很好的掌握下面的內(nèi)容。
平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。
水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，兩坐標(biāo)軸的交點為平面直角坐標(biāo)系的原點。
平面直角坐標(biāo)系的要素：①在同一平面②兩條數(shù)軸③互相垂直④原點重合
三個規(guī)定：
�、僬较虻囊�(guī)定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向
�、趩挝婚L度的規(guī)定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數(shù)軸上必須相同。
�、巯笙薜囊�(guī)定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。
相信上面對平面直角坐標(biāo)系知識的講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能考試成功。
初中數(shù)學(xué)知識點：平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成
對于平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成內(nèi)容，下面我們一起來學(xué)習(xí)哦。
平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成
在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系。通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的公共原點O稱為直角坐標(biāo)系的原點。
通過上面對平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成知識的講解學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們對上面的內(nèi)容都能很好的掌握，同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)吧。
初中數(shù)學(xué)知識點：點的坐標(biāo)的性質(zhì)
下面是對數(shù)學(xué)中點的坐標(biāo)的性質(zhì)知識學(xué)習(xí)，同學(xué)們認(rèn)真看看哦。
點的坐標(biāo)的性質(zhì)
建立了平面直角坐標(biāo)系后，對于坐標(biāo)系平面內(nèi)的任何一點，我們可以確定它的坐標(biāo)。反過來，對于任何一個坐標(biāo)，我們可以在坐標(biāo)平面內(nèi)確定它所表示的一個點。
對于平面內(nèi)任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應(yīng)點a，b分別叫做點C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對（a，b）叫做點C的坐標(biāo)。
一個點在不同的象限或坐標(biāo)軸上，點的坐標(biāo)不一樣。
希望上面對點的坐標(biāo)的性質(zhì)知識講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握，相信同學(xué)們會在考試中取得優(yōu)異成績的。
初中數(shù)學(xué)知識點：因式分解方程的一般步驟
關(guān)于數(shù)學(xué)中因式分解方程的一般步驟內(nèi)容學(xué)習(xí)，我們做下面的知識講解。
因式分解方程的一般步驟
如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，
通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。
注意：因式分解方程一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解方程，若題目沒有明確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解方程，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解方程，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個整式的積的形式。
相信上面對因式分解方程的一般步驟知識的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們會考出好成績。
初中數(shù)學(xué)知識點：因式分解方程
下面是對數(shù)學(xué)中因式分解方程內(nèi)容的知識講解，希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)。
因式分解方程
因式分解方程定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解方程。
因式分解方程要素：①結(jié)果必須是整式②結(jié)果必須是積的形式③結(jié)果是等式④
因式分解方程與整式乘法的關(guān)系：m(a+b+c)
公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。
公因式確定方法：①系數(shù)是整數(shù)時取各項最大公約數(shù)。②相同字母取最低次冪③系數(shù)最大公約數(shù)與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。
提取公因式步驟：
�、俅_定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。
分解因式注意；
�、俨粶�(zhǔn)丟字母
�、诓粶�(zhǔn)丟常數(shù)項注意查項數(shù)
�、垭p重括號化成單括號
�、芙Y(jié)果按數(shù)單字母單項式多項式順序排列
�、菹嗤蚴綄懗蓛绲男问�
⑥首項負(fù)號放括號外
�、呃ㄌ杻�(nèi)同類項合并。
通過上面對因式分解方程內(nèi)容知識的講解學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望上面的內(nèi)容給同學(xué)們的學(xué)習(xí)很好的幫助。
把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解方程.因式分解方程的方算法多種多樣,現(xiàn)總結(jié)如下：
1、 提公因算法
如果一個多項式的各項都含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 應(yīng)用公式算法
是因為分解因式與整式乘算法有著互逆的關(guān)系,如果把乘算法公式反過來,那么就可以用來把某些多項式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分組分解算法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,并提出公因式a,把它后兩項分成一組,并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘算法
對于mx +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解方程為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析：1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方算法
對于那些不能利用公式算法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解方程.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項算法
可以把多項式拆成若干部分,再用進行因式分解方程.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 換元算法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù),然后進行因式分解方程,最后再轉(zhuǎn)換回來.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根算法
令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解方程為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通過綜合除算法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1
則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 圖象算法
令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解方程為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解方程x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2
則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元算法
先選定一個字母為主元,然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列,再進行因式分解方程.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此題可選定a為主元,將其按次數(shù)從高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值算法
將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合,并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解方程式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積,即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值
則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系數(shù)算法
首先判斷出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項式因式分解方程.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知這個多項式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式.
設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
因式分解的定義
把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。
因式分解主要有十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。
因式分解常用公式
1、平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）。
2、完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。
3、立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）。
4、立方差公式：a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）。
5、完全立方和公式：a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3。
6、完全立方差公式：a3—3a2b+3ab2—b3=（a—b）3。
7、三項完全平方公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2。
8、三項立方和公式：a3+b3+c3—3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2—ab—bc—ac）。
拓展閱讀：因式分解方法
1、提公因式法
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式，也可以是多項式。
具體方法：在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考慮。當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當(dāng)各項的系數(shù)有分?jǐn)?shù)時，公因式系數(shù)為各分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。如果多項式的第一項為負(fù)，要提出負(fù)號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出負(fù)號時，多項式的各項都要變號。
基本步驟：
�。�1）找出公因式；
�。�2）提公因式并確定另一個因式；
�、僬夜蚴娇砂凑沾_定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；
�、谔峁蚴讲⒋_定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因 式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
�、厶嵬旯蚴胶�，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。
口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號，變形看奇偶。
2、公式法
如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。
3、十字相乘法
十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項。
口訣：分二次項，分常數(shù)項，交叉相乘求和得一次項。（拆兩頭，湊中間）
�。�1）用十字相乘法分解二次項，得到一個十字相乘圖（有兩列）；
�。�2）把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx。
�。�3）先以一個字母的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項；
�。�4）再按另一個字母的一次系數(shù)進行檢驗；
�。�5）橫向相加，縱向相乘。
4、輪換對稱法
當(dāng)題目為一個輪換對稱式時，可用輪換對稱法進行分解。
5、分組分解法
通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項式有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
6、拆添項法
把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解，這種分解因式的方法叫做拆項補項法。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
7、配方法
對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
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