小學(xué)數(shù)學(xué)難題巧妙解題方法
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識(shí)。
連比法
把應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系巧妙地轉(zhuǎn)化為連比，不僅可使有些問(wèn)題順利獲解，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高解題能力。
例1 某廠有三個(gè)車間，第一車間工人數(shù)是第二車間工人數(shù)的5倍，第三車間的工人數(shù)等于第一、二兩個(gè)車間工人數(shù)之和。已知第一車間比第三車間少52人，問(wèn)三個(gè)車間共有多少工人?
依題意知，一車間人數(shù)與二車間人數(shù)的比是5∶1;三車間人數(shù)是5+1=6(份)。因此，第一、二、三車間工人數(shù)的連比是5∶1∶6，故三個(gè)車間共有工人：
例2 A、B、C三人共做零件900個(gè)，A做總數(shù)的30%，B比C多做
一般思路：
A做 900×30%=270(個(gè))
由條件知，B、C做的個(gè)數(shù)比是(1+3)∶3=4∶3，A與B和C做的個(gè)數(shù)比是30%∶(1-30%)=3∶7，而4+3恰好等于7。
所以A、B、C三人所做零件個(gè)數(shù)的連比是3∶4∶3，總份數(shù)3+4+3=10.
例3 有一水槽，裝有甲、乙注水管和丙放水管，槽空時(shí)，單開(kāi)甲管5分鐘可以注滿，單開(kāi)乙管10分鐘可以注滿，槽滿時(shí)開(kāi)丙管15分鐘可以放完。現(xiàn)在甲、乙、丙三管齊開(kāi)，2分鐘后閉上乙管，問(wèn)還需幾分鐘可以注滿水槽?
連比法：〔30-(6+3-2)×2〕÷(6-2)=4(分鐘)
算理：根據(jù)連比可知，把總工作量平均分成30份，甲、乙兩管開(kāi)1分鐘分別注進(jìn)6份和3份，丙管開(kāi)1分鐘放出2份。三管齊開(kāi)進(jìn)(6+3-2)份，閉上乙管1分鐘進(jìn)(6-2)份，故有上式。
若設(shè)待植棵數(shù)“1”，則算式為
若設(shè)已植了x棵，由題意
用連比解：
例5 煤礦中學(xué)有數(shù)學(xué)、美術(shù)、音樂(lè)三個(gè)研究小組，數(shù)學(xué)組人數(shù)是總數(shù)的
解：∵數(shù)學(xué)組人數(shù)∶總數(shù)=3∶5，∴美音總?cè)藬?shù)∶總數(shù)=2∶5，而
美音總?cè)藬?shù)∶美術(shù)組人數(shù)∶音樂(lè)組人數(shù)=8∶3∶5。所以
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聯(lián)想
聯(lián)想是由一事物想到另一事物的心理過(guò)程。它能夠把一事物與其它事物的某些共同點(diǎn)，聯(lián)系起來(lái)思維，是一種不依常規(guī)、尋求變異的思維形式，是創(chuàng)造思維的核心。對(duì)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行全面剖析聯(lián)想，解一步、看兩步、想到第三步，多方探求答案，是發(fā)散思維的基礎(chǔ)，解題優(yōu)化的先導(dǎo)。
例1今有面值3分和8分的郵票共50張，總值3.25元，兩種郵票各多少?gòu)?
聯(lián)想《雞兔同籠》問(wèn)題，可這樣理解：將兩種郵票看作兩種動(dòng)物，只有3只腳一個(gè)頭和8只腳一個(gè)頭的動(dòng)物50個(gè)，腳共為325只，這兩種動(dòng)物各有多少個(gè)?
8分郵票(325-3×50)÷(8-3)=35(張)
3分郵票50-35-15(張)
或(8×50-325)÷(8-3)=15(張)
根據(jù)小學(xué)生的思維特點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)量含有倍數(shù)(或分率)、相差關(guān)系時(shí)，用線段圖形象地揭示它們之間的數(shù)量關(guān)系是有效的分析方法。
據(jù)圖縱橫聯(lián)想：
(一)由條件“乙給甲200本”可想到：
①現(xiàn)乙比原乙少200本;
�、诂F(xiàn)甲比原甲多200本;
③總量未變;
�、艿攘筷P(guān)系：原甲=現(xiàn)乙、原乙=現(xiàn)甲、原乙(現(xiàn)甲)-原甲(現(xiàn)乙)=200(本);
�、墼�(現(xiàn)乙)：原乙(現(xiàn)甲)=5∶(2+5)=5∶7。
通過(guò)上述剖析聯(lián)想，學(xué)生頓開(kāi)茅塞。衍生出求問(wèn)題：“作家乙原有書(shū)多少本?”的思路：可由總數(shù)求，也可由原甲(現(xiàn)乙)求，還可直接求。解題思路越開(kāi)闊，迅速作出判斷的靈感和能力也就越強(qiáng)。鼓勵(lì)學(xué)生爭(zhēng)論，克服從眾心理，培養(yǎng)競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，學(xué)生興趣盎然，對(duì)算式與算理各抒己見(jiàn)。
(1)先求總數(shù)
此解的關(guān)鍵是200對(duì)應(yīng)總數(shù)的分率，由于原乙與現(xiàn)甲、原甲與現(xiàn)乙可等量代換。其解法如下：
=700(本)(以下各式略)
(2)先求原甲(現(xiàn)乙)
(一)原甲→總數(shù)→所求
(二)現(xiàn)乙→所求
(3)直接求
直覺(jué)思維，由布魯納提出。是一種粗線條的、簡(jiǎn)約的、瞬間綜合的，不按邏輯程序進(jìn)行的思維形式。它通過(guò)對(duì)客觀事物的敏銳觀察、整體感知實(shí)質(zhì)、憑借已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行緊張思考，準(zhǔn)確判斷，跳越邏輯法則，采用捷徑直接解決問(wèn)題。
在肯定這些解法的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有創(chuàng)造性的基礎(chǔ)上，誘導(dǎo)進(jìn)一步觀察線段圖推敲題意，學(xué)生的直覺(jué)思維將得到開(kāi)拓。算式為
200×3+100 100×5+100
200×4-100 100×7
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列表看看
例1 甲乙兩人共需做140個(gè)零件。甲做自己任務(wù)的80%，乙做自己任務(wù)的75%，這時(shí)甲乙共剩下32個(gè)零件未完成。問(wèn)各需做多少個(gè)?
由題意，知甲乙已完成108(140-32)個(gè)，甲剩自己任務(wù)的20%(1-80%)，乙剩自己任務(wù)的25%(1-75%)。為計(jì)算方便，先把甲項(xiàng)或乙項(xiàng)中的數(shù)量變?yōu)橄嗤�，其他相關(guān)數(shù)量順理轉(zhuǎn)化。
可見(jiàn)：個(gè)數(shù)欄內(nèi)下比上多20個(gè)，是因?yàn)橐覚趦?nèi)下比上多
25%，這二者是相對(duì)應(yīng)的，由此得：
甲需做20÷25%=80(個(gè))
乙需做140-80=60(個(gè))
當(dāng)題目因缺乏某一條件難以解答時(shí)，可假設(shè)出所需條件，作為輔助已知數(shù)，然后在增加條件的情況下研究解題方法。
例2 一登山運(yùn)動(dòng)員從山腳到山頂，再原路返回，他上山的速度是每小時(shí)4千米，下山的速度是每小時(shí)6千米，這個(gè)運(yùn)動(dòng)員上下山的平均速度為每小時(shí)多少千米?
從上表可看出，從山腳到山頂?shù)穆烦滩徽撌嵌嗌�，它的平均速度都�?.8千米。因此可以設(shè)路程為“1”，則往返的路程為1×2，1÷4，1÷6分別為往返的時(shí)間。得后種解法。
例3 一個(gè)正好裝12千克油的桶裝滿了油，想從中倒出6千克。但沒(méi)有6千克的容器，也沒(méi)有秤，僅有一個(gè)8千克和一個(gè)5千克的容器。怎樣的倒法才能使8千克容器中恰好裝了6千克的油?
用列表方法，說(shuō)明這題的兩種解法：
解法一：
解法二：
例4 智力題：某商店規(guī)定，話梅五分錢一個(gè)、三個(gè)話梅核可換一個(gè)話梅。小勇買了八角錢的話梅，你知道他最多可以吃到多少個(gè)話梅嗎?
可見(jiàn)：第一次用八角錢可買話梅80÷5=16(個(gè))，同時(shí)有16個(gè)話梅核。
第二次用第一次吃剩的16個(gè)話梅核去換話梅，可換5個(gè)，還余1個(gè)話梅核;同時(shí)吃了5個(gè)話梅，就留有5個(gè)話梅核，共計(jì)6個(gè)。
第三次用6個(gè)話梅核去換2個(gè)話梅，吃了2個(gè)，還剩下兩個(gè)話梅核。
第四次在處理2個(gè)話梅核時(shí)，有兩種方法：其一，先借1個(gè)話梅核，湊全了3個(gè)換吃1個(gè)話梅，將吃剩的話梅核作歸還;其二，先借吃1個(gè)話梅，將吃剩的1個(gè)話梅核與原先剩的2個(gè)話梅核湊齊，換來(lái)1個(gè)話梅作歸還。這樣，用2個(gè)話梅核便能換吃1個(gè)話梅。
他最多可以吃到16+5+2+1=24(個(gè))話梅。
最佳思路：根據(jù)上述分析，用2個(gè)話梅核就能換吃1個(gè)話梅，于是每買2個(gè)話梅，實(shí)際上能吃到3個(gè)話梅，買話梅的個(gè)數(shù)與實(shí)際吃到的話梅個(gè)數(shù)的比是2∶3.這樣，用八角錢能買16個(gè)話梅，可吃到
3×(16÷2)=24(個(gè)) 或
也可這樣解：按規(guī)定，每買1個(gè)話梅，就可用吃剩的1個(gè)話梅核，換回
依次下去，實(shí)際上能吃到的話梅的個(gè)數(shù)應(yīng)是：
q1=1，故
列 舉 法
這是一種不完全歸納法，有些抽象。結(jié)論難以確定正誤時(shí)，根據(jù)需要既要列舉一些有代表性的數(shù)據(jù)(如0與1)，也要照顧到各種情況，否則會(huì)出現(xiàn)以偏概全的錯(cuò)誤。通過(guò)觀察計(jì)算，從中得到啟示，找出規(guī)律，確定結(jié)論是否成立。
例5 一個(gè)數(shù)乘以真分?jǐn)?shù)，積一定小于這個(gè)數(shù)。( )
顯然，結(jié)論中的“一定”不確切。
例6 判斷，圓心角一定，扇形的半徑與面積成不成比例。( )
用公式推導(dǎo)，繁雜不易理解。列舉些數(shù)據(jù)：
設(shè)圓心角為45°，r為半徑，S為面積。
當(dāng)r=1時(shí)，S=0.3925;
當(dāng)r=2時(shí)，S=1.57;
當(dāng)r=3時(shí)，S=3.5325;
當(dāng)r=4時(shí)，S=6.28.
r與S的比值或積都不一定，因而扇形的半徑與面積不成比例。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（十八）
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邏輯推理
例1 從代號(hào)為A、B、C、D、E、F六名刑警中挑選若干人執(zhí)行任務(wù)。人選配備要求：
(1)A、B兩人中至少去1人;
(2)A、D不能一起去;
(3)A、E、F三人中派2人去;
(4)B、C兩人都去或都不去;
(5)C、D兩人中去1人;
(6)若D不去，則E也不去。
應(yīng)派誰(shuí)去?為什么?
可這樣思考：由條件(1)，
假設(shè)A去B不去，由(2)知D不去，由(5)知C一定去。這樣，則與條件(4)B、C兩人都去或都不去矛盾。
假設(shè)A、B都去，由(2)知D不去，由(5)知C一定去，由(6)知E不去，由(3)知F一定去。無(wú)矛盾，(4)也符合。
故應(yīng)由A、B、C、F四人去。
例2 河邊有四只船，一個(gè)船夫，每只船上標(biāo)有該船到達(dá)對(duì)岸所需的時(shí)間。如果船夫一次劃兩只船過(guò)河，按花費(fèi)時(shí)間多的那只船計(jì)算，全部劃到對(duì)岸至少要用幾分鐘?
至少要用2+1+10+2+2=17(分鐘)
例3甲、乙、丙三人和三只熊A、B、C同時(shí)來(lái)到一條河的南岸，都要到北岸去�，F(xiàn)在只有一條船，船上只能載兩個(gè)人或兩只熊或一個(gè)人加一只熊，不管什么情況，只要熊比人數(shù)多，熊就會(huì)把人吃掉。人中只有甲，熊中只有A會(huì)劃船，問(wèn)怎樣才能安全渡河?
這里只給出一種推理方法：
枚舉法
把問(wèn)題分為既不重復(fù)，也不遺漏的有限種情況，一一列舉問(wèn)題的解答，最后達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的。
例4 公社每個(gè)村準(zhǔn)備安裝自動(dòng)電話。負(fù)責(zé)電話編碼的雅琴師傅只用了1、2、3三個(gè)數(shù)字，排列了所有不相同的三位數(shù)作電話號(hào)碼，每個(gè)村剛好一個(gè)，這個(gè)公社有多少個(gè)村?
運(yùn)用枚舉法可以很快地排出如下27個(gè)電話號(hào)碼：
所以該公社有 27(3×9)個(gè)村。
例5 國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，第二次(1980年12月)3題：一個(gè)盒中裝有7枚硬幣：2枚1分的，2枚5分的，2枚10分的，1枚25分的。每次取出兩枚，記下它們的和，然后放回盒中，如此反復(fù)。那么記下的和至多有多少種不同的數(shù)?
枚舉出兩枚硬幣搭配的所有情況
共有9種可能的和。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（十七）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識(shí)。
模式法
在解決問(wèn)題時(shí)，尋找模式的思考方法是一種十分有效的策略。運(yùn)用這種方法時(shí)，從問(wèn)題的最簡(jiǎn)單例子或其變式著手，根據(jù)這些具體例子來(lái)發(fā)現(xiàn)其中的模式或規(guī)則，然后以此來(lái)獲取問(wèn)題的一般解。
尋找模式，提出并檢驗(yàn)猜想以及用公式表示判斷準(zhǔn)則，雖然不是數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容，但它們是數(shù)學(xué)思想、思維、概括數(shù)學(xué)知識(shí)的核心問(wèn)題。
例1 階梯問(wèn)題：造4步的階梯需要方塊10個(gè)，造10步的階梯需要多少塊?造20步的需要多少塊?
4步的階梯，第一步用1塊，第二步用2塊(右邊第二列)，第三步用3塊，等等。
加起來(lái)就得到所需的總數(shù)：
1+2+3+4=10
建造10步的階梯，可從四步的階梯開(kāi)始首先加上第五步的5塊這一列，隨之是第六步的6塊這一列，等等，直到第10步。總數(shù)是：
1+2+3+……+9+10=55(塊)
不難發(fā)現(xiàn)這樣的模式：每加上一步所需的塊數(shù)正好是這一步的順序數(shù)。因此把1到20的整數(shù)相加就可得到20步階梯的方塊總數(shù)。然而要計(jì)算這個(gè)總和比較麻煩。要直接得到這個(gè)總和，除非有個(gè)計(jì)算公式。如果學(xué)生不熟悉這種公式，則可以從以下的數(shù)字資料中去尋找可能模式：
4步階梯 需要10塊
10步階梯 需要55塊
能否察覺(jué)步數(shù)與所需塊數(shù)之和間的關(guān)系?從僅有的兩個(gè)例子來(lái)發(fā)現(xiàn)模式是有困難的，需要考察更多的特殊例子。為此可把一些比較簡(jiǎn)單的例子集中起來(lái)，將有關(guān)數(shù)據(jù)記錄在表中。
讓學(xué)生試著去發(fā)現(xiàn)步數(shù)與所需塊數(shù)之間的關(guān)系。因關(guān)系很不明顯，學(xué)生只能看出得數(shù)是整數(shù)。這時(shí)如能作出一個(gè)猜想，并進(jìn)而檢驗(yàn)這個(gè)猜想，便是解決這個(gè)問(wèn)題的良好開(kāi)端。學(xué)生可以思考4與10、5與15、7與28等等有著怎樣的關(guān)系。
幾次“追蹤”后，可給學(xué)生指出(4×5)÷2=10，同樣地(5×6)÷2=15。于是學(xué)生似乎感到有法則可依循。然后再一起來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)法則：(6×7)÷2=21，……(10×11)÷2=55，學(xué)生猜測(cè)幾步階梯所需的方塊數(shù)總和是由公式n(n+1)÷2來(lái)確定的。在這個(gè)時(shí)候?qū)W生有理由相信20步階梯所需的總塊數(shù)是(20×21)÷2=210。但還不能完全肯定這個(gè)結(jié)果。
我們所以要尋求規(guī)律，目的是要能夠以此作出一個(gè)可以導(dǎo)致解決問(wèn)題的一般公式的猜想或假設(shè)。但這必須小心謹(jǐn)慎，因?yàn)橥鶗?huì)出現(xiàn)所作的猜想對(duì)列舉的例子是成立的，而對(duì)于一般化的問(wèn)題卻不成立的情況。
只有猜想得到了證明，才是求得了一般解的公式，為此必須確立猜想的有效性�？梢酝ㄟ^(guò)以下兩者之一來(lái)實(shí)現(xiàn)：
(1)歸納。證明法則在第一個(gè)例子中是成立的、假定對(duì)某個(gè)給定的例子的前面所有例子都成立，證明某個(gè)給定的例子后一個(gè)例子也成立，由此可證得猜想成立。
(2)演繹。根據(jù)已知的事實(shí)，通過(guò)邏輯推理而導(dǎo)出。只有在這時(shí)猜想才可稱作判斷準(zhǔn)則。如果能找出一個(gè)不滿足猜想的例子，則就足以否定猜想的有效性。
怎樣確定階梯的步數(shù)與所需的塊數(shù)之間的假設(shè)關(guān)系是有效的呢?學(xué)生猜測(cè)所需的.方塊數(shù)是由n(n+1)÷2式確定的。n是步數(shù)，學(xué)生可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證這個(gè)猜想。在建造階梯的過(guò)程中學(xué)生已經(jīng)看到，如果有n步，需要的塊數(shù)是前n個(gè)自然數(shù)的和，即
1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n
如果第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)，和是n+1;第二個(gè)數(shù)加上倒數(shù)第二個(gè)數(shù)，得2+(n-1)=n+1;第三個(gè)數(shù)加上倒數(shù)第三個(gè)數(shù)，得3+(n-2)=n+1。同樣的方法連續(xù)配對(duì)相加，各對(duì)數(shù)的和均是n+1。
這就是所作的猜想。這樣，就得到了判斷前n個(gè)自然數(shù)的和的方法即法則，同時(shí)也解決了原先的問(wèn)題。
例2 根據(jù)模式
你能預(yù)測(cè)下圖的結(jié)果嗎?
仔細(xì)審視考察表：
可以作出何種猜想?分析這個(gè)表可發(fā)現(xiàn)區(qū)域數(shù)是由公式2n-1確定的，其中n是點(diǎn)子數(shù)。n=1、2、3、4、5都是正確的。
根據(jù)相應(yīng)的法則，6個(gè)點(diǎn)的區(qū)域數(shù)應(yīng)是數(shù)26-1=32，但實(shí)際上不是這個(gè)數(shù)字，而是30或31(見(jiàn)圖)。所以這個(gè)猜想不能概括為法則。
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文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識(shí)。
逆推
也稱倒推法。思考的途徑是從題目的問(wèn)題出發(fā)，倒著推理，逐步靠攏已知條件，直到解決問(wèn)題。有些題目用順推法頗感困難，而用倒推法解卻能化難為易。
例1 一種細(xì)菌每小時(shí)可增長(zhǎng)1倍，現(xiàn)有一批這樣的細(xì)菌，10小時(shí)可增長(zhǎng)到100萬(wàn)個(gè)。問(wèn)增長(zhǎng)到25萬(wàn)個(gè)時(shí)需要幾小時(shí)?
因?yàn)榧?xì)菌每小時(shí)增長(zhǎng)1倍，所以增長(zhǎng)到25萬(wàn)個(gè)后再經(jīng)過(guò)1小時(shí)就可以增長(zhǎng)到25×2=50(萬(wàn)個(gè))，增長(zhǎng)到50萬(wàn)個(gè)后又經(jīng)過(guò)1小時(shí)就可以增長(zhǎng)到50×2=100(萬(wàn)個(gè))。
從25萬(wàn)個(gè)增長(zhǎng)到100萬(wàn)個(gè)要用1+1=2(小時(shí))，所以增長(zhǎng)到25萬(wàn)個(gè)時(shí)需要10-2=8(小時(shí))。
把第二天運(yùn)走后再余下的噸數(shù)看作單位“1”，還剩下的12噸占第二天
又把第一天運(yùn)走后余下的噸數(shù)看作單位“1”， 16噸貨占第一天運(yùn)走
=30(噸)
例3(國(guó)外有趣的故事題)傳說(shuō)捷克的公主柳布莎，決定她所要嫁的人必須能解下面的問(wèn)題：一只籃中有若干李子，取出它的一半又一枚給第一人，再取出其余的一半又一枚給第二人，又取出最后所余的一半又一枚給第三人，那末籃中的李子就沒(méi)有剩余�；@內(nèi)有李子多少枚?
逆推法：〔(3×2+1)×2+1〕×2
=〔7×2+1〕×2
=15×2
=30(枚)
若抓住“1”的轉(zhuǎn)移，算式為
例4 甲、乙兩人從1開(kāi)始輪流報(bào)數(shù)，每人每次只能輪流報(bào)1至3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，如甲報(bào)1、2，乙可報(bào)3或3、4;或3、4、5，誰(shuí)先報(bào)到100誰(shuí)勝;乙怎樣報(bào)才能獲勝?
解題分析：如果某一次乙報(bào)后還剩下100或99、100;或98、99、100，那么甲取勝，乙則敗。但是乙要取勝，他倒數(shù)第二次報(bào)后必須剩下4個(gè)數(shù)，使甲一次不能報(bào)完。因?yàn)?00是4的倍數(shù)，甲先報(bào)，無(wú)論甲報(bào)幾個(gè)數(shù)，乙只要報(bào)自己報(bào)的數(shù)字個(gè)數(shù)與甲報(bào)的個(gè)數(shù)加起來(lái)是4。這樣，剩下的數(shù)字個(gè)數(shù)總是4的倍數(shù)，乙定獲勝。
例5 有甲、乙兩堆小球，各有小球若干，如果按照下列規(guī)律挪動(dòng)小球;第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，那么如此挪動(dòng)四次后，甲、乙兩堆的所有小球恰好都是16個(gè)，問(wèn)甲、乙兩堆小球最初各有多少個(gè)?
此題用逆推法列表分析如下：
從表中可明顯看出甲堆最初有21個(gè)小球，乙堆有11個(gè)。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（十五）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識(shí)。
巧虛構(gòu)
虛構(gòu)求解是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，可幫助我們從困境中解脫出來(lái)，是假設(shè)法的一種。
例1 我國(guó)運(yùn)動(dòng)員為參加十一屆亞運(yùn)會(huì)進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練。跑10000米的時(shí)
設(shè)過(guò)去跑10000米需要21分鐘，那么縮短的時(shí)間為1分鐘，現(xiàn)在所需的時(shí)間為20分鐘，因此過(guò)去與現(xiàn)在所需時(shí)間的比為21∶20。
根據(jù)路程一定，速度與時(shí)間成反比例，則過(guò)去與現(xiàn)在的速度比為20∶21。所求為
(21-20)÷20=5%
例2 甲、乙、丙三人進(jìn)行競(jìng)走比賽。甲按某一速度的2倍走完全程的一半，又按某一速度的一半，走完余下的路程。乙在一半的時(shí)間內(nèi)，按某一速度的2倍行走，在另一半的時(shí)間內(nèi)，卻按某一速度的一半行走。丙始終按某一速度走完了全程。問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)目的地?誰(shuí)最后到達(dá)目的地?
設(shè)三人競(jìng)走的全程為400米，某一速度為每分鐘行100米。那么甲行完全程需要的時(shí)間為(400÷2)÷(100×2)+(400÷2)÷(100÷2)=5(分鐘)。
又設(shè)乙行完全程的時(shí)間為x分鐘，則得：
解得 x=3.2
丙行完全程的時(shí)間為400÷100=4(分鐘)
例3 A、B、C、D、E五個(gè)代表隊(duì)參加某項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽，結(jié)果的得分情況是這樣的：
A隊(duì)比B隊(duì)多50分;…………………………………①
C隊(duì)比A隊(duì)少70分;…………………………………②
B 隊(duì)比D隊(duì)少30分;…………………………………③
E隊(duì)比C隊(duì)多80分。………………………………④
請(qǐng)按各隊(duì)的得分的多少，給這五個(gè)隊(duì)排一個(gè)先后名次。分析：從這四個(gè)關(guān)系中解出五個(gè)隊(duì)的得分?jǐn)?shù)是不可能的。于是，我們可以給這五個(gè)隊(duì)中任意一個(gè)隊(duì)虛構(gòu)一個(gè)分?jǐn)?shù)，并由此逐個(gè)算出其四個(gè)隊(duì)的分?jǐn)?shù)(當(dāng)然也是虛構(gòu)的)最終以這些虛構(gòu)的分?jǐn)?shù)來(lái)回答名次的排序問(wèn)題。
解：設(shè)A隊(duì)得200分。
則由①知：B隊(duì)得200-50=150(分)
由②知：C隊(duì)得200-70=130(分)
由③知：D隊(duì)得150+30=180(分)
由④知：E隊(duì)得130+80=210(分)
名次為E、A、D、B、C。
例4 劉師傅和古師傅加工同一種零件。劉加工的零件
傅加工這種零件的技術(shù)水平是否相同?如果不同誰(shuí)的技術(shù)好些?
分析：比較兩人技術(shù)水平的高低，可以比在同一時(shí)間內(nèi)誰(shuí)加工的零件數(shù)多，也可以比加工同樣數(shù)量的零件誰(shuí)用的時(shí)間少。
現(xiàn)在問(wèn)題中既沒(méi)有給出兩位師傅各自加工的零件數(shù)、也沒(méi)給出他們加工零件所用的具體時(shí)間數(shù)。并且這兩種量的具體數(shù)值是求不出來(lái)的。和前面的一樣，可任我們虛構(gòu)。
=2(小時(shí))。
所以劉師傅平均每小時(shí)加工的零件數(shù)為
古師傅平均每小時(shí)加工的零件數(shù)為
30÷2=15(個(gè))
顯然，古師傅的技術(shù)水平高一些。
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