小學數(shù)學難題解法技巧大全
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（十一）[1]
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。
巧填兩個真分數(shù)之間的分數(shù)
兩個真分數(shù)之間的分數(shù)是無窮的，這里給出幾種簡便填法。
數(shù)，下同)。
且兩個分數(shù)是真分數(shù)，
且兩個分數(shù)為真分數(shù)，則a>b，
即 bc-ad<0，
因為 a、b、c、d是正數(shù)，故 ac>0，a(a+c)>0，c(a+c)>0，
(5)根據(jù)“大小兩數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，必大于小數(shù)而小于大數(shù)。”求
符合要求。
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。
(6)倍乘法
若插入“四個數(shù)”，就把它們各擴大“五倍”，即倍數(shù)比插入數(shù)多1。
(7)化為小數(shù)
顯然，0.75～0.8之間的數(shù)是無窮的。
(8)反復(fù)通分
(9)變分子相同
故知所求數(shù)依次為
(個)符合要求的分數(shù)。如果擴大3倍，則得(63-55)×3-1=23(個)。
(10)化為百分數(shù)
(11)單位“1”法
把兩個分數(shù)中的任意一個看作“1”，求出另一個分數(shù)占單位“ 1”的幾分之幾，取所得分數(shù)分子與分母的中間數(shù)作分子，分母不變，再乘以單位“1”即得問題的解。
(12)數(shù)軸法
都滿足條件。
件
數(shù))，取其中的m份(m＜n)，一般表達式
所以該題的解為：
n的取值無限，其解無窮。
假設(shè)m=2，n=3，則
上是關(guān)系有理數(shù)集的稠密性的問題——任意兩個不同的有理數(shù)之間存在著無窮多個有理數(shù)。
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（十）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。
巧試商
(1)定位打點
首先用打點的方法定出商的最高位。
其次用除數(shù)的最高位去除被除數(shù)的前一位(如果被除數(shù)的前一位不夠，就除被除數(shù)的前兩位)。
最后換位調(diào)商。試商后，如果除數(shù)和商相乘的積比被除數(shù)大時，將試商減1;小時，且余數(shù)比除數(shù)大，將試商加1.例略。
(2)比積法
就是在求得商的最高位后，以后試商時，把被除數(shù)和已得的商與除數(shù)之積比較，從而確定該位上的商。常可一次試商獲得成功，從而提高解題速度，還可培養(yǎng)學生的比較判斷能力。
例如，9072÷252=36.
十位上商3，得積756.在個位上試商時，只要把1512與756相比較，便知1512是756的2倍，故商的個位應(yīng)是3的2倍6.特別是當商中有相同數(shù)字時，更方便。
本題在個位上試商時，只要把1268與1256相比較，便知應(yīng)為8，且很快寫出積1256，從而得到余數(shù)12.
(3)四舍五入法
除數(shù)是兩、三位數(shù)的除法。根據(jù)除數(shù)“四舍五入”的試商方法，常需調(diào)商。若改為“四舍一般要減一，五入一般要加一”，�？梢淮味ㄉ獭�
例如，175÷24，除數(shù)24看作20，被除數(shù)175，初商得8，直接寫商7.
2299÷382，382可看作400，上商5，積是2000.接近2299，但結(jié)果商還是小，可直接寫商6.
(4)三段試商法
把兩位數(shù)的除數(shù)的個位數(shù)1—9九個數(shù)字，分為“1、2、3”、“4、5、6”、“7、8、9”三段來處理。
當除數(shù)的個位數(shù)是1、2、3時，用去尾法試商(把1、2、3舍去)。
商。
當除數(shù)個位數(shù)是4、5、6時，先用進一法試商，再用去尾法試商，然
商為8，取6—8之間的“7”為準確商。如果兩次初
是初商6、7中的“6”.
(5)高位試低位調(diào)
用除數(shù)最高位上的數(shù)去估商，再用較低位上的數(shù)調(diào)整商。例如：513÷73=7的試商調(diào)商過程如下。
A.用除數(shù)十位上的7去除被除數(shù)的前兩位數(shù)51，初商為7;
B.用除數(shù)個位上的3調(diào)商：從513中 去減7與70的積490，余23，23比初商7 與除數(shù)個位數(shù)3的積21大，故初商準確，為7.
如果283÷46時，用除數(shù)高位上的4去除28，初商為7，用除數(shù)個位6調(diào)商，從283中減去7與40的積余3，3比7與除數(shù)個位數(shù)6的積42小，初商則過大。調(diào)為6.
這種試商方法簡便迅速，初商出得快，由于“低位調(diào)”，準確商也找得準。同時，由于用除數(shù)最高位上的數(shù)去估商時，初商只存在過大的情況，調(diào)整初商時只需要調(diào)小，這樣，調(diào)商也較快。
但是，有時在采用這種方法試商時，初商與準確商仍存在著差距過大的
調(diào)商，從181中減去6與30的積，余1，1比6與7的積小，照理應(yīng)將初商調(diào)為5，因為1比42小41，而41>37，為了減少調(diào)商次數(shù)，直接將初商調(diào)為“4”，稱為“跳調(diào)”。這樣便于較快地找出準確商。
(6)靠五法
對除數(shù)不大接近于整十數(shù)、整百數(shù)的，如9424÷152，不論用舍法或者入法，都要兩次調(diào)商。如果我們把除數(shù)152看作150，即不是用四舍五入法，而是向五靠，一般能減少試商次數(shù)，甚至可以一次定商。
(7)同頭無除
當被除數(shù)和除數(shù)的最高位數(shù)字相同，而被除數(shù)的次高位數(shù)字又比除數(shù)次高位數(shù)字小的，例如3368÷354=9……，1456÷182=8，一般的就用“同頭無除商8、9”.
(8)半除
被除數(shù)的前一位或兩位數(shù)正好是除數(shù)前兩位數(shù)的一半或接近一半的，例如965÷193=5，1305÷261=5，一般用“半除商5”.
(9)一次定商法
對確定每一位商，分四步進行：
第一步，用5作基商，先求出除數(shù)的5倍是多少;
第二步，求差數(shù)，即求出被除到的數(shù)與除數(shù)的5倍的差數(shù);
第三步，求差商，差數(shù)÷除數(shù)=“差商”;
第四步，定商，若差數(shù)>0，當差商是幾，定商為“5+幾”，若差數(shù)<0，當差商是幾，定商為“5-幾”。
例如：517998÷678=764……6
(1)先從高位算起，定第一位商7.
先求除數(shù)的5倍：678×5=3390求差商(5179-3390)÷678=2……;
定商 5+2=7;
(2)定第二位商6.
差商(4339-3390)÷678=1……
定商 5+1=6;
(3)定第三位商4.
被除數(shù)與除數(shù)5倍的差小于0，差商不足1，
定商5-1=4，即2718÷678的商定為4.
對于上述一次定商法，在定商的過程中，如果被除到的數(shù)是除數(shù)的1倍或2倍，可以直接定商，不必拘泥于上面四步。
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（九）
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巧設(shè)條件
有些題數(shù)量關(guān)系抽象，猛一看去甚至覺得條件“不充分”。若把題變?yōu)椤翱吹靡�，摸得著”，則易為學生理解接受。
例1 制造某種機器零件的時間甲比乙少用1/4，那么，甲比乙的工作效率高( )%.
若假設(shè)乙加工這種零件要8小時(是4的倍數(shù)計算方便)，那么，甲加工
如果設(shè)乙加工這種零件要4分鐘，那么，他每小時加工15個;甲用的時間比乙少1/4，只需要3分鐘，他每小時能加工20個。這樣，就更簡捷了。
(20—15)÷15≈33.3%.
設(shè)正方形的邊長為6個長度單位(6是2和3的最小公倍數(shù))，則
例3 甲數(shù)比乙數(shù)多25%，乙數(shù)比甲數(shù)少( )%.
數(shù)少
例4 一組題。
(1)一個正方形體的棱長擴大2倍，那么它的體積就擴大( )倍，表面積擴大( )倍。
假設(shè)原正方體的棱長為1個單位長度，其體積為1×1×1，表面積為1×1×6;擴大后的棱長為2，體積為23、表面積為22×6。再通過比較就可得出結(jié)果。
(2)大圓半徑是小圓半徑的3倍，大圓周長是小圓周長的( )倍，小圓
假定小圓半徑為1，則大圓半徑為3。
與小圓面積的比是( )。
假設(shè)陰影部分的面積為6，代入計算比直接利用兩個“分率”推導易理解。
求小明比小方高多少，就是求168cm的1/6+1，即高出24cm.
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（八）[1]
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巧求最小公倍數(shù)
求最小公倍數(shù)要根據(jù)具體題，靈活選用最佳方法。
(1)倍數(shù)查找法
例如，求6和9的最小公倍數(shù)。
分別求出要求最小公倍數(shù)的那幾個數(shù)的一些公倍數(shù)，從中找出相同的且最小的一個。
6的倍數(shù)有：6、12、18、24……
9的倍數(shù)有：9、18、27、36……
則[6，9]=18.
(2)約分法
(證明略)
例如，求84與36的最小公倍數(shù)。
[84， 36]=3×84=252或 36×7=252
經(jīng)逐次約分后，分數(shù)線上下形成了兩列數(shù)，從這兩列數(shù)的“頭乘頭或尾乘尾”即可得出原先兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
(3)短除法
[15，30，40]=5×3×2×4=120.
用短除法求最小公倍數(shù)最好用質(zhì)數(shù)去試除，否則易出錯。如：
∴ [15，30，40]=10×3×5×4=600.
因為用合數(shù)去除，相當于用2除再用5除，而15雖然不能被10整除，卻可以被5整除。如果用10去除，就少用5去除，使結(jié)果擴大5倍。這是錯誤的。
此法也不是非要用質(zhì)數(shù)去試除不可。例如，下面兩式都是對的。
2×2×3×5×4 4×3×5×4
=240 =240
這是因為12、60和16既有公約數(shù)2，也有公約數(shù)4。用較大的公約數(shù)去除，能減少運算步驟，應(yīng)靈活選用。
(4)歸類法
成倍數(shù)關(guān)系的幾個數(shù)，最大的那個是它們的最小公倍數(shù)。
例如，12、15和60成倍數(shù)關(guān)系，即12與15分別是60的約數(shù)。
則[12，15，60]=60
如果三個數(shù)兩兩互質(zhì)，其積是它們的最小公倍數(shù)。
例如，3、4和5，3和4、3和5，4和5都是互質(zhì)數(shù)。
則[3，4，5]=3×4×5=60.
如果三個數(shù)當中只有兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么其中較大的數(shù)與另外一個數(shù)的最小公倍數(shù)，就是這三個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如，8和4是倍數(shù)關(guān)系，較大數(shù)8和3的最小公倍數(shù)是24.
則[8，4，3]=24.
(5)翻倍法
當幾個數(shù)之間不存在倍數(shù)關(guān)系或互質(zhì)關(guān)系，要找它們的最小公倍數(shù)時，用兩個(或兩個以上)數(shù)中較大的那個數(shù)依次乘以2、3、4、5……求得“最先積”如果是另一個數(shù)(或另幾個數(shù))的倍數(shù)時，這個“最先積”就是所求的最小公倍數(shù)。
例如，求30、35和70的最小公倍數(shù)。
因為70是三個數(shù)中較大的數(shù)，用70依次去乘以2、3、4……得出積是70×2=140，70×3=210，70×4=280……而210是30、35和70的倍數(shù)中的“最先積”，所以
[30，35，70]=210.
(6)用商法
先把兩個數(shù)寫成除法的形式，大數(shù)作被除數(shù)，小數(shù)作除數(shù)(除數(shù)為大于1的自然數(shù))，所得的商寫成最簡分數(shù)。這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)等于被除數(shù)乘以商的分母。
例如，求64與48的最小公倍數(shù)。
64×3=192
∴[64，48]=192.
(7)口訣法
例如，求18和24的最小公倍數(shù)。
乘法口訣：“三六一十八(3×6=18)，四六二十四(4×6=24)”。6是它們的公約數(shù)，3和4是互質(zhì)數(shù)。
則[18， 24]=6×3×4=72.
(8)最簡分數(shù)法
例如，求84和63的最小公倍數(shù)。
寫為真分數(shù)，化為最簡分數(shù)。原分數(shù)的分子(或分母)乘以最簡分數(shù)的.分母(或分子)。
63×4=252或 3×84=252.
則[84，63]=252.
再如，求36、40和44的最小公倍數(shù)。
[36，40]=360.
[44，360]=3960.
則[36，40，44]=3960.
(9)特征法
例如，求24和30的最小公倍數(shù)。
根據(jù)24和30能被2整除的特征，記下2;
再根據(jù)都能被3整除，記下3.
2乘3得6，24和30分別除以6商為4、5，4和5互質(zhì)。則[24，30]=6×4×5=120.
(10)定理法
定理：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。等于這兩個數(shù)的乘積除以它們的最大公約數(shù)。
這里的數(shù)都是自然數(shù)，即：
此定理的證明對小學教師來講，應(yīng)予以掌握，以居高臨一般書中介紹的證法不易掌握，這里給出兩種簡便證法。
證明：?∵(a，b)|b，
∵a|[a，b]，b|[a，b]，
存在正整數(shù)m，n，
使[a，b]=am…(1)
[a，b]=bn…(2) [2]
∴ k=1，
[1]數(shù)的整除定理3：如果b|a1，那么b|(a1a2…an)。(n>1)
[2]最小公倍數(shù)的性質(zhì)1：如果[a，b]=m，n是a、b的任意一個公倍數(shù)，那么m|n.
[3]最大公約數(shù)的性質(zhì)2，如果[a，b]=c，那么(a÷c，b÷c)=1.
(見《算術(shù)基礎(chǔ)理論》)
證明：設(shè)(a，b)=t，
則a=t·p1，b=t·p2，其中(p1，p2)=1，
則有[a，b]=[t·p1，t·p2]
=t· p1·p2.
例1 求44和64的最小公倍數(shù)。
這種方法雖然計算較復(fù)雜，但優(yōu)點是在求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的同時，復(fù)習了求最大公約數(shù)。如果習題既要求求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，又要求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，那就更顯示出其優(yōu)越性。
例2 a、b的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是225，求a、b各是多少?
又因(a，b)=15，所以
a=15p1，b=15p2，且(p1，p2)=1，
于是15p1·15p2=225×15，所以
p1·p2=15，其中(p1，p2)=1.
由此得
例3整數(shù)a、b之積為9408，它們的最小公倍數(shù)是336，求a、b.
因a·b=9408，[a，b]=336及上述定理得
設(shè)a=28p1，b=28p2，(p1，p2)=1，于是ab=282·p1·p2=9408，
p1· p2=12，(p1，p2)=1.
由此得
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。
(11)比例法
把要求最小公倍數(shù)的兩個數(shù)看作一個比的前項和后項，再將這個比化簡，使其成為一個比例。這個比例內(nèi)項(或外項)的積，即為所求。
例如，求34與51的最小公倍數(shù)。
34∶51=2∶3
則[34，51]=34×3=102.
(12)擴倍法
把最大數(shù)擴大到能被另外兩個數(shù)整除，擴大的倍數(shù)與最大數(shù)的積就是要求的最小公倍數(shù)。
例如，
∵60×4=240，240÷16=15，240÷24=10，
∴[16，24，60]=60×4=240.
(13)求差取積法
此法分三種情況，這里分別給出兩種證明方法，第二種證法簡捷。
一、兩個數(shù)的差小于減數(shù)
先求兩數(shù)之差，然后用差作除數(shù)，去除減數(shù)，再用所得的商乘以被減數(shù)，所得的積就是原兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如，求12與15的最小公倍數(shù)。
15-12=3，12÷3=4，
15×4=60.
則[12，15]=60.
證法一：(下面的字母都表示自然數(shù))
設(shè)兩個數(shù) a、b，a-b=c，且 0<C<B。< p>
如果b÷c=q，則aq=[a，b].
證明：∵ a-b=c，∴a=b+c，
又∵b÷c=q，∴b=c·q，
∴ aq=(b+c)· q=(c· q+c)· q
=(q+1)·cq=(q+1)·b，
∴b|aq.
又∵a|aq，∴aq是a，b的公倍數(shù)。
設(shè) m=[a，b]，則aq=km。
∵a|m、ak|mk、ak|ap，∴k| q.
又∵ b|m、bk|mk、bk|aq，即 cq· k|(q+1)· cq，
∴ k|(q+1)，顯然(q，q+1)=1，
∴k=1，
∴ aq=m=[a，b].
證法二：
如果a-b=c，c<B，B÷C=D，< p>
那么[a，b]=ad.
證明：∵a-b=c，且c<B，< p>
∴a÷b=1(余c).
又∵b÷c=d，
∴(a，b)=(b，c)=c.(輾轉(zhuǎn)相除法所依據(jù)的兩個定理)
二、兩個數(shù)的差大于減數(shù)。
若兩個數(shù)的差大于減數(shù)時，可以先把減數(shù)擴大若干倍，使減數(shù)接近被減數(shù)，然后再按上述方法求出這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如，求42與105的最小公倍數(shù)。
42×2=84 105-84=21
42÷21=2 105×2=210
則[42，105]=210
證法一：
設(shè)兩個數(shù) a、b，且 a-b>b，則將b擴大 k倍(k是大于 1的自然數(shù))，使 0
如果b÷c=q，那么aq=[a，b].
證明：∵ a-kb=c∴ a=kb+c，
∵ b÷C=q∴b=cq，
∴ a=kb+c=kcq+c=(kq+1)· c，
aq=(kq+1)c· q=(kq+1)· cq
=(kq+1)· b，
∴ b|aq.
又∵a|aq，∴aq是a與b的公倍數(shù)。
設(shè)[a，b]=m，則aq=pm(p是自然數(shù))。
∵a|m、ap|pm、ap|aq、p|q，
b|m、bp|pm、(qc)·p|(kq+1)·cq，
∴ p|(kq+1).
∵(q， kq +1)= 1，∴ p= 1，
∴ aq=pm=[a，b].
證法二：
如果 a-nb=c，c<B，B÷C=D，< p>
那么[a，b]=ad.
證明：∵ a-nb=c，且 c<B，< p>
∴ a÷b=n(余 c).
又∵b÷c=d，
∴(a，b)=(b，c)=c.
三、兩個數(shù)的差不能整除減數(shù)。
如果兩個數(shù)的差不能整除減數(shù)時，可用差的約數(shù)(從大到小試除)作除數(shù)，然后再按上述方法求出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：求189與135的最小公倍數(shù)。
189-135=54∵54 135，
54的約數(shù)有 27、18……
∵135÷27=5，
189×5=945，
則[189，135]=945.
如果兩數(shù)差等于減數(shù)時，這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是被減數(shù)。
證法一：
設(shè)兩個數(shù)a、b，a-b=c，且c b，c的約數(shù)為c1、c2…，cn其中ci是這些約數(shù)中能整除b的最大一個。
令b÷ci=q，則aq=[a，b].
證明：設(shè)c÷ci=d，則c=cid.
又∵a-b=c，∴a=b+c，
∵ b÷ci=q，∴b=ci·q.
aq=(b+c)·q=(ciq+cid)·q=(q+d)·ciq
=(q+d)· b，
∴ b|aq。又∵ a|aq，∴ aq是a、b的公倍數(shù)。
同樣設(shè)[a，b]=m，則aq=km.
∵a|m、ak|km、ak|aq，∴k|q，
∵b|m、bk|km、bk|aq，∴ bk|(q+d)·b，
∴k|(q+d).
∵(q，q+d)=1[設(shè)q，q+d]≠1，令(q，q+d)=n(n 是大于1的自然數(shù))，那么
q= n· q1，
q+d=n· q2，
d=nq2-q=nq2-nq1=n(q2-q1)，
∴b=ci· q=ci· nq1，
c=cid=cin(q2-q1)，
∴ cin是c的約數(shù)，cin|b且cin>ci.
這與已知ci是c的約數(shù)中能整除b的最大一個相矛盾，∴ (q，q+d)= 1.
∴ k=1，∴aq=m=[a，b].
證法二：
如果a-b=c，c<B，(B，C)=D，< p>
b=dm，
那么[a，b]=am.
證明：∵ a-b=c，且c<B，< p>
∴ a÷b=1(余c).
又∵(b，c)=d，
∴(a，b)=(b，c)=d.
又∵ b=dm，
(14)巧檢驗兩數(shù)最小公倍數(shù)
求兩數(shù)的最小公倍數(shù)是《數(shù)的整除》這一單元的重點內(nèi)容。用這兩個數(shù)與它們分解質(zhì)因數(shù)結(jié)果互質(zhì)的兩個數(shù)交叉相乘，看所得的積是否等于所求得結(jié)果，來判斷這結(jié)果是不是它們的最小公倍數(shù)。
例如，求32和40的最小公倍數(shù)。
[3，40]=160.
檢驗：
由于32×5=160或40×4=160，所以160是32和42的最小公倍數(shù)正確。
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（七）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。
巧記分數(shù)化小數(shù)的結(jié)果
記熟一些分數(shù)化小數(shù)的結(jié)果，對提高分數(shù)、小數(shù)四則運算和分數(shù)化小數(shù)的速度有很大幫助。
0.75，這幾個分數(shù)比較常見易記。其他的只要找到竅門，記熟也不難。
分母是5的最簡分數(shù)：把分子乘以2，再縮小10倍。
分子是1，分母是大于5的質(zhì)數(shù)，可以用下面的方法：
把分子1化為0.9999……，直到依次把9“除盡”，商便是循環(huán)小數(shù)。例如：
由于被除數(shù)各位上的數(shù)都是9，減積時不需要退位，就能使計算比較簡便。
如果分子不是1，可先把分子是1的分數(shù)化為循環(huán)小數(shù)，再乘以原來的分子。例如：
乘以原來的分子得：
(如圖)分子是1，就從這六個數(shù)字中 最小的一個起排六個數(shù)字;分子是2，就從這六個數(shù)字中第二小的一個起排六個數(shù)字，依此類推。分母是8的最簡分數(shù)：分子是1，小數(shù)的第一位也是1;分子是3，小數(shù)的第一位也是3。即
分母是9的最簡分數(shù)：它的結(jié)果都是一個循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的數(shù)字和分子的數(shù)字相同。
分母是10的最簡分數(shù)：把分子縮小10倍即可。
分母是20的最簡分數(shù)：把分子擴大5倍，再縮小100倍。
分母是25的最簡分數(shù)：把分子擴大4倍，再縮小100倍。
分母是50的最簡分數(shù)：把分子擴大2倍，再縮小100倍。
根據(jù)分數(shù)單位的小數(shù)值，用乘法把分數(shù)化成小數(shù)。比用除法簡捷。
不難發(fā)現(xiàn)，這些題的商，全部是循環(huán)小數(shù)，1÷11的商的循環(huán)節(jié)是09，2÷11商的循環(huán)節(jié)是2個9，即18，3÷11商的循環(huán)節(jié)是3個9，即27……”。這樣，你只要看到題目，根據(jù)規(guī)律，馬上就可想出它們的商。
例如，7÷11，它的商是循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)是7個9，即63。
被除數(shù)超過10，可分兩步思考：
第一步是先用口算求出商的整數(shù)部分;第二步是再看求出商的整數(shù)部分后的余數(shù)是幾，根據(jù)余數(shù)寫出商的循環(huán)節(jié)。
例如，72÷11，先求商的整數(shù)部分是6，再看它的余數(shù)是6，可斷定
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（六）
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巧求最大公約數(shù)
(1)列舉約數(shù)法
例如，求24和36的最大公約數(shù)。
顯然(24，36)=12.
(2)分解質(zhì)因數(shù)法
就是先把要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把這幾個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)相乘，所得的積就是要求的最大公約數(shù)。
例如，求12、18和54的最大公約數(shù)。
所以(12，18，54)=2×3=6.
(3)除數(shù)相除法(短除法)
就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個數(shù)，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，再把所有的除數(shù)連乘起來，乘得的積就是所求的最大公約數(shù)。
例如，求24、60和96的最大公約數(shù)。
所以(24、60、96)=2×2×3=12.
(4)應(yīng)用相除法
就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個數(shù)，一直除到商只有公約數(shù)1為止。然后用被除數(shù)除以商。
例如，求36和54的最大公約數(shù)。
(5)輾轉(zhuǎn)相除法
也稱歐幾里得除法。
就是用大數(shù)除以小數(shù)，如果能整除，小數(shù)就是所求的最大公約數(shù);如果不能整除，再用小數(shù)除以第一個余數(shù)，如果能整除，第一余數(shù)就是所求的最大公約數(shù);如果不能整除，再用第一個余數(shù)除以第二個余數(shù)，如果能整除，第二個余數(shù)就是所求的最大公約數(shù)，如果不能整除，再像上面那樣繼續(xù)除下去，直到余數(shù)為0為止，最后的那個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。
例如，求621和851的最大公約數(shù)。
則(621，851)=23.
(6)輾轉(zhuǎn)相減法
在求幾個數(shù)的最大公約數(shù)時，可從任一大數(shù)中減去任意小數(shù)的任意倍數(shù)，同時作幾個減法。
理論根據(jù)：
定理1：如果甲、乙二數(shù)的差是乙數(shù)，那么甲、乙二數(shù)的最大公約數(shù)就是乙數(shù)。
即：如果a-b=b，那么(a，b)=b。(本文字母都是自然數(shù))
證明：∵a-b=b，
∴a=2b，即 b|2b→b|a.
又∵b|b，∴(a，b)=b.
定理2：如果兩個數(shù)的差不等于零，那么這兩個數(shù)的最大公約數(shù)就是減數(shù)與差數(shù)的最大公約數(shù)。
即：如果a-b=c(a>b)，
那么(a，b)=(b，c).
可理解為差與小數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，差就是所求的最大公約數(shù);如果差與小數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，差與小數(shù)的最大公約數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。
∵a-b=c，
因此t是b、c的公約數(shù)。
又設(shè)(p2，p1-p2)=m(m>1)，則
故(P2，P1-P2)=m不能成立，只能是：(P2，P1-P2)=1。說明t不但是b、c的公約數(shù)，而且是最大公約數(shù)。即：
(b，c)=t，
∴(a，b)=(b，c).
例如，429-143=286，
∴(429，143)=(143，286).
又∵143|286，
∴(143，286)=143.
因此(429，143)=143.
根據(jù)上面的兩個定理求(a，b).
設(shè)a>b，
�、佼� b|a時，則(a，b)=b.
�、诋攂 a時，則a-b=p1，即(a，b)=(b，P1).
其中當P1|b時，則(b，P1)=P1.
當P1 b時，則b-P1=P2，即(b，P1)=(P1，P2).
……
照此依次減下去，被減數(shù)、減數(shù)在逐漸減小，差也隨著相對減小，最后必能得到一個ppn=0。這時pn-1=pn-2，所以(pn-2，pn-1)=pn-1.由此得出：
(a，b)=(b，p1)=(p1，p2)=(p2，p3)=……=(pn-2，pn-1)=pn-1.
這種方法稱輾轉(zhuǎn)相減法。
實例說明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍;用3的7倍減去3的4倍一定還是3的倍數(shù)，得3的3倍，然后用3的4倍減去3的3倍結(jié)果是3的1倍。因此(21，12)=3.
應(yīng)用中貴在靈活。求解過程中，可隨時截取判斷。
例1 求1105和1547的最大公約數(shù)。
1547-1105=422， (1)
1105-422×2=211， (2)
422-221=211， (3)
211-211=0. (4)
沒必要輾轉(zhuǎn)相減到最后，由式子(2)知221與442成倍數(shù)關(guān)系，則(1105，1547)=221.
例2 求971和 601的最大公約數(shù)。
∵971-601=370， (1)
601-370=231， (2)
370-231=139， (3)
231-139=92， (4)
139-92=47， (5)
……
1-1=0，
∴(971，601)=1.
由(5)式可知(92，47)=1，便可斷定
(971，601)=1.
例3 求27090、21672、11352和8127的最大公約數(shù)。
用這種方法約簡分數(shù)、判斷互質(zhì)數(shù)等。例略。
(7)小數(shù)縮倍法
就是求兩個數(shù)的最大公約數(shù)時，如果這兩個數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，就把小數(shù)依次除以2、3、4……，直到除得的商是較大數(shù)的約數(shù)為止，那個商就是所求的最大約數(shù)。
例如，求45和75的最大公約數(shù)。
45÷3=15，15|75，則(45，75)=15.
(8)差除法
如果兩個數(shù)的差能整除較小的數(shù)，那么這個差就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。
已知a-b=c，且c|b(a>b).
求證(a，b)=c.
證明：由 c|b，設(shè) b=cq.
于是 a=b+c=cq+c=c(q+1).
在a=c(q+1)和b=cq中，
因為(q+1，q)=1，
所以(a，b)=c.
例如，求91和98的最大公約數(shù)。
∵ 98-91=7， 7|91，
∴(91，98)=7.
(9)倍差除法
當出現(xiàn)找出的差不能整除小數(shù)時，把小數(shù)再擴大幾倍，使之略超過大數(shù)，用新得的數(shù)減去大數(shù)的差去除小數(shù)。
例4 求112與420的最大公約數(shù)。
112×4=448， 448-420=28，
28|112，
則(11，420)=28.
例5 求168與630的最大公約數(shù)。
168×4=672， 672-630=42，
42|168，
則(168，630)=42.
能夠這樣解的依據(jù)是什么呢?現(xiàn)證明如下(字母均為自然數(shù))。
如果nb-a=c，c<B
那么(a，b)=c.
證明：設(shè)t是a，b的公約數(shù)，則t|a，t|b，
∴nb-a=c，且c<B
∵t|nb，t|c，
因此，a，b的公約數(shù)一定是b、c的公約數(shù)。
同理也可證明b、c的公約數(shù)一定是a、b的公約數(shù)。所以a、b的最大公約數(shù)等于b、c的最大公約數(shù)。即：
(a，b)=(b，c).
又∵c|b，
∴(a，b)=(b，c)=c.
或用差的從大到小的因數(shù)試除。
例6 求161和115的最大公約數(shù)。
161-115=46.
∵46 115，
而23|115，
∴(161，115)=23.
例7 求95和152的最大公約數(shù)。
∵ 95×2-152=38，
且38 95，
但19|95，
∴(95，152)=19.
這種方法，也適用于求三個以上數(shù)的最大公約數(shù)。
例8 求217，62和93的最大公約數(shù)，
因為217-62-93=62，
且31|62、31|93，
所以(217，62，93)=31.
例9求 418、494和 589的最大公約數(shù)。
因為494-418=76，76 418，
418-(76×5)=38，38|76，
則(418，494)=38.
而589-(38×15)=19，19|38，
所以(418，494，589)=19.
例10 判斷255和182是否互質(zhì)。
255-182=73，73 182，
182-(73×2)=36，36 73，
而73-(36×2)=1，
所以(255，182)=1，即為互質(zhì)數(shù)。
4862-2618=2244，
2618-2244=374，374|2244，
(10)分數(shù)法
把求最大公約數(shù)的兩個數(shù)，寫為真分數(shù)，逐次約成最簡分數(shù)。原分數(shù)的分子(或分母)除以最簡分數(shù)的分子(或分母)，商就是最大公約數(shù)。
例如，求24、30和36的最大公約數(shù)。
則(2430)=6.
則(6，36)=6.
所以(24，30，36)=6.
(11)用商法
例如，求64與48的最大公約數(shù)。
先把兩個數(shù)寫成除法的形式，大數(shù)作被除數(shù)，小數(shù)作除數(shù)(除數(shù)為大于1的自然數(shù))。所得的商寫成最簡分數(shù)。
這兩個數(shù)的最大公約數(shù)等于除數(shù)除以商的分母。即：48÷3=16，∴(64，48)=16.
如果，兩個數(shù)相除，商為整數(shù)，那么，這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是除數(shù)。
這種方法也適用于求兩個以上的數(shù)的最大公約數(shù)。例如，求36、30和20的最大公約數(shù)。
所以(36，30，20)=2.
(12)利用等式關(guān)系
利用(am，bm)=m(a，b)。
例如，求36與54的最大公約數(shù)。
(36，54)=(18×2，18×3)
=18(2，3)=18.
利用(an，bn)=(a，b)n.
例如，求64與216的最大公約數(shù)。
(64，216)=(43，63)
=(4，6)3=23=8.
利用若(a，b)=1，則(ac，b)=(c，b).
例1 求46與253的最大公約數(shù)。
(46，253)=(46，11×23)
=(46，23)=23.
例2 求12，286的最大公約數(shù)。
(12，286)=2(6，143)
=2(6，11×13)=2(6，13)=2.
例3 求245、315和560的最大公約數(shù)。
(245，315，560)=5(49，63，112)
=5(49， 63， 28×4)=5(49，63，28)
=5×7(7，9，4)=35.
(13)口訣查找法
就是用乘法口訣對照求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)，看哪個因數(shù)是求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的約數(shù)，再進一步判斷那個公約數(shù)是不是所求的最大公約數(shù)。
例如，求56和72的最大公約數(shù)。
看56與72，立即想到乘法口訣“七八五十六”與“八九七十二”。8是56與72的公約數(shù)，56的另一個約數(shù)7與72的另一個約數(shù)9成互質(zhì)數(shù)，所以公約數(shù)8就是56與72的最大公約數(shù)。
(14)特征心算法
根據(jù)求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)所具有的能被某些數(shù)整除的特征確定。
例如，求24和30的最大公約數(shù)。
根據(jù)24和30能同時被2整除的特征，記下2;
再根據(jù)24和30還能同時被3整除，記下3;
由2乘3得6，24與30分別除以6的商分別是4與5，4與 5互質(zhì)，則(24，30)=6.
小學數(shù)學難題解法大全之巧妙解題方法（五）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。
巧判斷能被4、6、8、9、7、11、13、17、19、23、25、99、125、273約的數(shù)
能被4約：末尾兩位數(shù)是0或能被4約的數(shù)。例如36900，987136。
能被6約：既能被2約又能被3約的數(shù)。例如114，914860。
能被8約：末三位是0或能被8約的數(shù)。例如321000，5112。
能被9約：能被9整除的準則以下列的事實為基礎(chǔ)，即在十進系統(tǒng)中，1以后帶幾個零的數(shù)(即10的任何次冪)在被9除時必然得出余數(shù)1。實際上，
第一項都是由9組成的，顯然能被9整除。因此，10n被9除時必然得余數(shù)1。
然后，我們再看任意的數(shù)，例如4351。一千被9除得余數(shù)1，于是四千被9除得余數(shù)4。同樣，三百被9除得余數(shù)3，五十被9除得余數(shù)5，還余下個位數(shù)1。因而，
4351=能被9整除的某一個數(shù)+4+3+5+1
如果“尾數(shù)”4+3+5+1(它是該數(shù)的各位數(shù)字之和)能被9整除，那么，整個數(shù)也能被9整除。因而可得到結(jié)論：如果某一個數(shù)的“各位數(shù)字的和”能被9整除，那么這個數(shù)也能被9整除。例如 111222，8973。
9的倍數(shù)除以9，其商有如下特點：
被除數(shù)是兩位數(shù)，商是被除數(shù)尾數(shù)的補數(shù)，即補足10的數(shù)。
例如 63÷9=7，3的補數(shù)是7。
被除數(shù)是三位數(shù)，商首同尾互補。
例如
被除數(shù)是四位數(shù)，商的中間數(shù)字是被除數(shù)前兩位數(shù)字之和。
被除數(shù)是五、六位數(shù)……原理同上。商的第二位數(shù)字是被除數(shù)前兩位數(shù)字之和，第三位數(shù)字是被除數(shù)前三位數(shù)字的和……
能被7約∶70以內(nèi)的兩位數(shù)能否被7約一目了然，大于70的兩位數(shù)只要減去70也就一清二楚了。
三位數(shù)，只要把百位數(shù)字乘以2加余下約數(shù)，和能被7約這三個數(shù)就能被7約。例如812，
(8×2+12)÷7=4。
百位數(shù)字乘以2，是因為100除以7得商14余2，即每個100余2，把它放到十位數(shù)里。
四位數(shù)，只要在百位數(shù)的計算方法上減去千位數(shù)字。因為1001能被7約，即1000要能被7約還缺1，有幾個1000應(yīng)減去幾。例如1820，
(8×2+20-1)÷7=5。
能被11約：
奇偶位數(shù)差法：一個數(shù)奇位上的數(shù)字和與偶位上的數(shù)字和的差(大數(shù)減小數(shù))是0或11的倍數(shù)的數(shù)。
例1 3986576
(6+5+8+3)-(7+6+9)
=22-22=0，
則11|3986576。
例2 9844
(9+4)-(8+4)
=13-12=1，
則 11 9844。
小節(jié)法：把判斷數(shù)從個位起每兩位分成一小節(jié)，最后的不足兩位數(shù)也當作一節(jié)。只要看各小節(jié)之和是否有約數(shù)9或11。
例3 2879503
03+95+87+2
=187=11×17，
即11| 2879503。
例4 1214159265
65+92+15+14+12
=198=2×9×11，
即9|1214159265，11|1214159265。
能被7或11或13約的數(shù)一次性判斷法：
那么要判別N能否被7或11或13約，只須判別A與B(或B與A)的差能否被7或11或13約。
證明：因為1000=7×11×13-1
10002=(7×11×13-1)2
=7×11×13的倍數(shù)+1
10003=7×11×13的倍數(shù)-1
……
例 5 987198719871
由 A-B=(871+198)-(719+987)
=1069-1706，
知 B-A=637=72×13。
即能被7和13約，不能被11約。
例6 21203547618
由(618+203)-(547+21)
=253=11×23，
知原數(shù)能被11約，不能被7或13約。
若其差為0，則這個數(shù)必能同時被7、11、13約。
例如 8008 8-8=0，
則8008÷7=1144，8008÷11=728，
8008÷13=616。
能被17約：
(1)末兩位數(shù)與以前的數(shù)字組成的數(shù)的2倍之差數(shù)(或反過來)能被17約的數(shù);
(2)末三位數(shù)與以前的數(shù)字組成的數(shù)的3倍之差數(shù)(或反過來)能被17約的數(shù);
(3)末三位數(shù)的6倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)之差數(shù)(或反過來)能被17約的數(shù)。
例如，31897168
由(1)得318971×2-68=637874，
重復(fù)四次得 170，17|170，
故知 17|31897168。
由(2)得 31897×3-168=95523，
523-95× 3=238，
17|238，故知17|31897168。
由(3)得31897-163×6=30889，
再由(2)889-30×3=799，
最后由(1)99-7×2=85，
17|85，則 17|31897168。
能被19約：
(1)末三位數(shù)的3倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)的2倍之差(或反過來)能被19約的數(shù);
(2)末兩位數(shù)的2倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)的9倍之差(或反過來)能被19約的數(shù);
(3)末三位數(shù)的11倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)之差(或反過來)能被19約的數(shù)。
例如，742050833
由(3)得742050-833×11=732887，
再由(1)887×3-732×2=1197，
最后由(2)97×2-11×9=95，
19|95，則19|742050833。
能被23約：
(1)末三位數(shù)的2倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被23約的數(shù);
(2)末兩位數(shù)的2倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)的7倍之差能被23約的數(shù)。
例如，542915
由(1)得915×2-542=1288，
288×2-1=575，
23|575，則23|542915。
由(2)5429×7-15×2=37973，
379×7-73×2=2507，
25×7-7×2=161，
23|161，則23|542915。
能被25約：
末兩位數(shù)是00、25、50、75的自然數(shù)。
能被99約：
可同時被3與33或9與11約的自然數(shù)。
能被99各因數(shù)約：
把被判斷的數(shù)從個位起，每兩位分成一段，各段數(shù)之和能被各因數(shù)的某一因數(shù)約，這個數(shù)就能被這個因數(shù)約。
證明：設(shè)這個數(shù) N=a0+a1·10+a2·102+a3·103+a4·104+a5·105+……
因為99×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因數(shù)33、11、9、3約。
所以當(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3約時，N也能被這四個數(shù)約。當N是奇位數(shù)時，仍然成立。
例7 4326321
4+32+63+21=120，
3|120，則3|4326321。
例8 84564
8+45+64=117，
9|117，則 9|84564。
例9 493526
49+35+26=110，
11|110，則11|493526。
例10 18270945
18+27+09+45=99，
33|99，則33|18270945。
能被273約：
根據(jù)定理：若c|b、c a、則b a。
例如，判別272452654能否被273整除。
3|273，3 272452654，
則 273 272452654。
若判斷36786360能否被24約，根據(jù)定理：
若b|a，c|a，(b，c)=1，
則其 bc|a。
因為24=3×8，(3，8)=1，
3|36786360，8|36786360，
所以 24|36786360。
同理，因為132=3×4×11，
(3，4，11)=1，
而3、4、11能分別約992786256，
則132|992786256。
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