初等函數的定義是什么
初等函數是由冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數與常數經過有限次的有理運算及有限次函數復合所產生，并且能用一個解析式表示的函數。下面是小編給大家整理的初等函數的定義簡介，希望能幫到大家!
初等函數的定義
初等函數是由冪函數(power function)、指數函數(exponential function)、對數函數(logarithmic function)、三角函數(trigonometric function)、反三角函數(inverse trigonometric function)與常數經過有限次的有理運算(加、減、乘、除、有理數次乘方、有理數次開方)及有限次函數復合所產生，并且能用一個解析式表示的函數。
它是最常用的一類函數，包括常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(以上是基本初等函數)，以及由這些函數經過有限次四則運算或函數的復合而得的所有函數。即基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的函數復合所構成并可以用一個解析式表出的函數，稱為初等函數。
還有一系列雙曲函數也是初等函數，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦，cosh是雙曲余弦或超余弦，tanh是雙曲正切，coth是雙曲余切，sech是雙曲正割，csch是雙曲余割。初等函數在其定義域內連續(xù)。
一個初等函數，除了可以用初等解析式表示以外，往往還有其他表示形式。例如 ，三角函數 y=sinx 可以用無窮級數表為y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函數是最先被研究的一類函數，它與人類的生產和生活密切相關，并且應用廣泛。為了方便，人們編制了各種函數表，如平方表、開方表、對數表、三角函數表等。
函數在復數域的推廣
復變三角函數
例如將y=sinx和y=cosx中變量x換為復變量z，則得到復變三角函數w=sinz和w=cosz，它們是整函數。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數。它們具有實三角函數的很多類似性質：周期性、微商性質、三角恒等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是對任何z都成立。三角函數與指數函數密切聯(lián)系，因此應用時很方便。sinz的單葉性區(qū)域將Gk單葉并共形地映為全平面上除去實軸上線段[-1，1]和負虛軸后得到的區(qū)域;它將Rk單葉并共形地映為全平面除去實軸上兩條射線( ,-1]和[1, )后得到的區(qū)域。類似地可以指出cosz的單葉性區(qū)域。
復變指數函數
在指數函數式w=ex中將x換為復變量z，便得到復變指數函數w=ez。復變指數函數有類似于實指數函數的性質：ez是一整函數且對任何復數z，ez≠0;它滿足ez1·ez2=ez1+z2;ez以2kπi為周期，ez=ez+2kπi;并且它的導數與本身相同，即 (ez)'=ez。函數w=ez在全平面實現共形映射。任何一個區(qū)域，只要對區(qū)域內任兩點，其虛部之差小于2π，它就是ez的單葉性區(qū)域。例如，指數函數把直線x=x0變?yōu)閳A周，把直線y=y0變?yōu)樯渚�argw=y0，因而把區(qū)域Sk變?yōu)閰^(qū)域0w<2π，把寬度為β的帶形區(qū)域α0<α0+β(β≤2π)變?yōu)殚_度為β的角形域α0w<α0+β。
復變對數函數
對數函數w=lnz是指數函數w=ez的反函數，它有無窮多個值2kπ(k 為整數)，稱為它的分支。每一個分支在區(qū)域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的。對數函數把這個區(qū)域單葉地變?yōu)閹螀^(qū)域θ0w<θ0+2π，也把開度為β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)變?yōu)閷挾葹棣碌膸螀^(qū)域θ0w<θ0+β。 像實對數函數一樣，它滿足lnz1+lnz2=ln(z1·z2)。
復變反三角函數
w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分別是sinz，cosz和tanz的反函數，并稱復變反三角函數。它們能由對數函數合成。它們都是多值函數。
復變雙曲函數
將實雙曲函數推廣到復數域得復變雙曲函數。像實雙曲函數一樣，復變雙曲函數能由復變指數函數合成。
復變冪函數
將實冪函數的實變量用復數替換即得復變冪函數。一般來說，它是多值函數。
有理函數
實系數多項式稱為整有理函數。其中最簡單的`是線性函數 y=α0+α1x，它的圖象是過y軸上y=α0點的斜率為α1的直線。二次整有理函數y=α0+α1x+α2x2的圖象為拋物線。
兩個整有理函數之比為分式有理函數。分式有理函數其中最簡單的是反比例函數，其圖象為雙曲線。整有理函數和分式有理函數統(tǒng)稱有理函數。有理函數起源于代數學。
兩個復系數的多項式之比為有理函數，它實現擴充的復平面到自身的解析映射。分式線性函數是一個特殊的有理函數，它在復分析中有重要的意義。另一個特殊情形是冪函數w=zn，n 是自然數，它在全平面是解析的。因此當n≥2時，它在全平面除z=0以外到處實現共形映射(保角映射)。它將圓周|z|= r變?yōu)閳A周|w|=rn，將射線argz=θ變?yōu)樯渚�argw=nθ。任何一個區(qū)域,只要該區(qū)域中任兩點的輻角差小于2π/n，它就是w=zn的單葉性區(qū)域。冪函數w=zn的反函數為根式函數，它有n個值(k=0，1，…，n-1)，稱為它的分支。它們在任何區(qū)域θ1z<θ1+2π中都單值解析。
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