概率的定義是什么意思
概率,又稱或然率、機會率、機率(幾率)或可能性,它是概率論的基本概念。下面是小編給大家整理的概率的簡介,希望能幫到大家!
概率的定義
來源
概率(Probability)一詞來源于拉丁語“probabilitas”,又可以解釋為 probity.Probity的意思是“正直、誠實”,在歐洲probity用來表示法庭案例中證人證詞的權威性,且通常與證人的聲譽相關。總之與現(xiàn)代意義上的概率“可能性”含義不同。
古典定義
如果一個試驗滿足兩條:
(1)試驗只有有限個基本結果;
(2)試驗的每個基本結果出現(xiàn)的可能性是一樣的。
這樣的試驗便是古典試驗。
對于古典試驗中的事件A,它的概率定義為:P(A)= ,其中n表示該試驗中所有可能出現(xiàn)的基本結果的總數(shù)目。m表示事件A包含的試驗基本結果數(shù)。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。
頻率定義
隨著人們遇到問題的復雜程度的增加,等可能性逐漸暴露出它的弱點,特別是對于同一事件,可以從不同的.等可能性角度算出不同的概率,從而產(chǎn)生了種種悖論。另一方面,隨著經(jīng)驗的積累,人們逐漸認識到,在做大量重復試驗時,隨著試驗次數(shù)的增加,一個事件出現(xiàn)的頻率,總在一個固定數(shù)的附近擺動,顯示一定的穩(wěn)定性。R.von米澤斯把這個固定數(shù)定義為該事件的概率,這就是概率的頻率定義。從理論上講,概率的頻率定義是不夠嚴謹?shù)摹?/p>
統(tǒng)計定義
在一定條件下,重復做n次試驗,nA為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),如果隨著n逐漸增大,頻率nA/n逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近,則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率,記做P(A)=p。這個定義成為概率的統(tǒng)計定義。
在歷史上,第一個對“當試驗次數(shù)n逐漸增大,頻率nA穩(wěn)定在其概率p上”這一論斷給以嚴格的意義和數(shù)學證明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli) 。
從概率的統(tǒng)計定義可以看到,數(shù)值p就是在該條件下刻畫事件A發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量指標。
由于頻率 總是介于0和1之間,從概率的統(tǒng)計定義可知,對任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(Ω)=1,P(Φ)=0。其中Ω、Φ分別表示必然事件(在一定條件下必然發(fā)生的事件)和不可能事件(在一定條件下必然不發(fā)生的事件)。
公理化定義
柯爾莫哥洛夫于1933年給出了概率的公理化定義,如下:
設E是隨機試驗,S是它的樣本空間。對于E的每一事件A賦于一個實數(shù),記為P(A),稱為事件A的概率。這里P(A)是一個集合函數(shù),P(A)要滿足下列條件:
(1)非負性:對于每一個事件A,有P(A)≥0;
(2)規(guī)范性:對于必然事件Ω,有P(Ω)=1;
(3)可列可加性:設A1,A2……是兩兩互不相容的事件,即對于i≠j,Ai∩Aj=φ,(i,j=1,2……),則有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……
概率的歷史
第一個系統(tǒng)地推算概率的人是16世紀的卡爾達諾。記載在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。書中關于概率的內容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。
卡爾達諾的數(shù)學著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。然而,首次提出系統(tǒng)研究概率的是在帕斯卡和費馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的,他想找費馬請教幾個關于由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家,路易十四宮廷的顯要,也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個:擲骰子問題和比賽獎金分配問題。
概率的性質
概率具有以下7個不同的性質:
性質1:P(Φ)=0;
性質2:(有限可加性)當n個事件A1,…,An兩兩互不相容時: P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An);
性質3:對于任意一個事件A:P(A)=1-P(非A);
性質4:當事件A,B滿足A包含于B時:P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)≤P(B);
性質5:對于任意一個事件A,P(A)≤1;
性質6:對任意兩個事件A和B,P(B-A)=P(B)-P(AB);
性質7:(加法公式)對任意兩個事件A和B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
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