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數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的好方法
函數(shù)值域是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，有關(guān)函數(shù)值域的問題教材中介紹得很少，而求函數(shù)的值域較求定義域更困難、更靈活，沒有較完整較規(guī)范的方法，所以學(xué)生難以掌握。本文借助初等函數(shù)等有關(guān)知識，歸納出求函數(shù)值域的方法。
數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的好方法
一.觀察法
通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。
例1求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域。
點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3�！嗪瘮�(shù)的值域為{y∣y≥3｝.
點評：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數(shù)的非負性，(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函數(shù)法
當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。
解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。
點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。
這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域為{y∣y1｝)
三.配方法
當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域
例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]
點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。
配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
四.判別式法
若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。
例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當(dāng)y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2當(dāng)y=2時,方程(*)無解�！嗪瘮�(shù)的值域為2點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。
練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y0)。
五.最值法
對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。
解：∵3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時，z=-5;當(dāng)x=3/2時，z=15/4�！嗪瘮�(shù)z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。
練習(xí)：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為()A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)；(答案：D)。
六.圖象法
通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。
例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。
解：原函數(shù)化為-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，+∞]。
點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。
七.單調(diào)法
利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。
例7求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。
解：設(shè)f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為{y|y≤4/3｝。
點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。
練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
八.換元法
以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域。
例8求函數(shù)y=x-3+√2x+1的值域。
點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。
解：設(shè)t=√2x+1(t≥0),則x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域為{y|y≥-7/2｝。
點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。
練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
九.構(gòu)造法
根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。
例9求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。
解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點共線時取等號�！嘣瘮�(shù)的值域為{y|y≥5｝。
點評：對于形如函數(shù)y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。
練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
十.比例法
對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進而求出原函數(shù)的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。
點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。
解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng)k=-3/5時，x=3/5,y=-4/5時，zmin=1。函數(shù)的值域為{z|z≥1｝.
點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。
練習(xí)：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
十一.利用多項式的除法
例11求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3�！嗪瘮�(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。
點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。
練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
十二.不等式法
例12求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。
點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。
解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x)0，1-x≠0。解得：01或y
數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的好方法
給出函數(shù)的解析式和定義域可以求出其值域，有時我們也會遇到給出函數(shù)式并給出值域，要求其函數(shù)式中參數(shù)的取值范圍，很多學(xué)生遇到這類問題都會無從下手，其實有些問題雖然不是直接求函數(shù)的值域，而是已知函數(shù)的值域，求其函數(shù)中某個參數(shù)的范圍，但仍然離不開求值域的常用方法。學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)逆向思維還不會，所以碰到已知函數(shù)的某些性質(zhì)，求函數(shù)式里的參數(shù)問題就一籌莫展。
對于例1：已知函數(shù)的值域為，求的取值范圍。要大部分學(xué)生認為首先要開口向上，然后滿足。其實，這里學(xué)生犯的錯誤是沒理解清楚值域為的真正含義，它是要求值域從0開始全部都要取到，不能多也不能少。當(dāng)時，不滿足題意，所以只有時滿足。
對于例3:已知函數(shù)的值域為，求的取值范圍。
對這一題，求偶次根式下函數(shù)的定義域，要求是根號里的函數(shù)式的值要達到大于或等于0，在未指明函數(shù)定義域情況下，認為是錯的。這可以看作是一個復(fù)合函數(shù)，若設(shè)，則≥0是求定義域的必然要求，的值的范圍是能包含[0，+∞）的集合，要滿足值域為[0，+∞），要能夠取遍非負實數(shù)，所以且開口向上。
聽課的老師普遍認為這一節(jié)課只安排例1、例3，效果會更好。本節(jié)課的教學(xué)實例說明，已知函數(shù)的值域求參數(shù)是一個較復(fù)雜的問題，要根據(jù)不同的函數(shù)形式選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼�。從中也說明學(xué)習(xí)函數(shù)知識及解決函數(shù)問題，首先是要非常準(zhǔn)確理解與掌握函數(shù)中的每個概念，許多函數(shù)的概念都有很深刻的內(nèi)涵，解決問題時要仔細揣摩各種概念之間的聯(lián)系與不同，才能作出準(zhǔn)確的解答，并要在學(xué)習(xí)中不斷積累經(jīng)驗。
數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的好方法
1、配方法。將函數(shù)配方成頂點式的格式，再根據(jù)函數(shù)的定義域，求得函數(shù)的值域。（畫一個簡易的圖能更便捷直觀的求出值域。）
2、常數(shù)分離。這一般是對于分數(shù)形式的函數(shù)來說的，將分子上的函數(shù)盡量配成與分母相同的形式，進行常數(shù)分離，求得值域。
3、逆求法。對于y=某x的形式，可用逆求法，表示為x=某y，此時可看y的限制范圍，就是原式的值域了。
4、換元法。對于函數(shù)的某一部分，較復(fù)雜或生疏，可用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)變成我們熟悉的形式，從而求解。
數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的好方法
一、直接觀察法
對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。
例1 ：求函數(shù)y=3-■的值域。
解：因為■≥0，
所以-■≤0，3-■≤3，
故函數(shù)的值域是: （-∞,3]。
二、圖象法
利用函數(shù)的圖象，直觀地得出函數(shù)的值域。此方法廣泛應(yīng)用于一些分段函數(shù)的值域和求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域。其關(guān)鍵在于能否準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象。
例2：求函數(shù)y＝x■-x-6（如圖所示）,x∈-2,4的值域。
解：由函數(shù)圖象得所求函數(shù)的值域為-6.25,6.
三、配方法
當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域。其關(guān)鍵在于能否正確地將二次函數(shù)式配成完全平方式。
例3：求函數(shù)y=■的值域。
解：由-x■+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[－1，2].此時-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函數(shù)的值域是0,■。
四、判別式法
若函數(shù)式為分式結(jié)構(gòu)，分子分母均為二次式，且函數(shù)的定義域為R，則可用此法.通常先將分式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再由?駐≥0，確定y的范圍，即得原函數(shù)的值域.
例4：求函數(shù)y=■的值域。
解：函數(shù)的定義域為R（?駐=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程為(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以
�。�1）當(dāng)y≠1時，?駐=(1-y)■-4y(y-1)≥0，
解得-■≤y≤1。
�。�2）當(dāng)y=1時，1≠0，故y≠1。
綜上，原函數(shù)的值域為[-■,1)。
評注：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域.常適應(yīng)于形如y=■的函數(shù)。
五、換元法
通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，常用代數(shù)代換或三角代換法，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均為常數(shù)，且ac≠0）等。
例5 ：求函數(shù)y=x+■的值域。
解：令■=t(t≥0)，則x=t■+1，
所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知原函數(shù)的值域為[1,+∞)。
六、函數(shù)單調(diào)性法
首先確定函數(shù)的定義域，然后再根據(jù)函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)性求值域.常用到函數(shù)y=x+■(p＞0)的單調(diào)性：增區(qū)間為(-∞,-■]和[■,∞)，減區(qū)間為[-■,0]和[0,■]。
例6：求函數(shù)y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。
解：令y■=2■，y■=log■■,
則y■,y■在[2，10]上都是增函數(shù),
所以y=y■+y■在[2，10]上是增函數(shù)。
當(dāng)x=2時，y■=2■+log■■=■；
當(dāng)x=10時，y■=2■+log■■=33，
故所求函數(shù)的值域為：■,33。
例7：求函數(shù)y=x+■,x∈(0,5]的值域。
解：原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y＇=1-■，其單調(diào)遞增區(qū)間為[■,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,■]，故原函數(shù)在x=■處取得最小值2■，在x=5處取得最大值■，所以原函數(shù)的值域為[2■,■]。
七、分離常數(shù)法
此方法適用于分式型函數(shù),且分子、分母是同次,如y=■（a,b,c,d是常數(shù)，且ac≠0），這時通過拼湊,將分子進行常數(shù)分離。
例8：求函數(shù)y=■的值域。
解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。
評注：此題也可利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域，即反函數(shù)法。
八、函數(shù)有界性法
利用函數(shù)的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因為sinα≤1,x■≥0，可解出y的范圍，從而求出其值域或最值.
例9：求函數(shù)y=■的值域。
解：由原函數(shù)式可得e■=■，
e■＞0，
■＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函數(shù)的值域為(-1,1)。
求值域的方法篇3
1. 觀察法
對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。
例1.求函數(shù)y= 的值域。
解：x≠0， ≠0
顯然函數(shù)的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。
2. 二次函數(shù)法
例2.已知函數(shù)f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。
(1)若f(x)的定義域為(－∞，+∞)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若f(x)的值域為(－∞，+∞)，求實數(shù)a的取值范圍。
解：（1）依題意(a －1）x +(a+1)x+1＞0對一切x∈R恒成立，
當(dāng)a －1≠0時，其充要條件是
a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0
即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1
a＜-1或a＞ 。
又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意。
故a≤－1或a＞ 為所求。
(2)依題意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又當(dāng)a －1=0即a=1時t=2x+1符合題意，而a=-1時不合題意，1≤a≤ 為所求。
3. 配方法
配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。
例3.求函數(shù)y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。
解：將函數(shù)配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)x=1時，y =4
當(dāng)x=-1時，y =8
故函數(shù)的值域是［4，8］。
4. 反函數(shù)法
直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。
例4.求函數(shù)y= 值域。
解：由原函數(shù)式可得：x=
則其反函數(shù)為：y=
其定義域為x≠
故所求函數(shù)的值域為（-∞， ）。
5. 函數(shù)有界性法
直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。
例5.求函數(shù)y= 的值域。
解：由原函數(shù)式可得e =
e ＞0， ＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函數(shù)的值域為(-1，1)。
6. 換元法
通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。
例6.函數(shù)y=x+ 的值域是( )。
A. (－∞，1］
B. (－∞，－1］
C. R
D .［1，+∞）
解：令 =t(t≥0)，則x= 。
y= +t=－ (t－1) +1≤1
值域為(－∞，1］。
答案：A。
總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后選擇恰當(dāng)?shù)姆椒�，一般�?yōu)先考慮直接法、函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。
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